初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題輔導(dǎo)勾股定理與應(yīng)用-展示頁(yè)
2025-04-13 03:49本頁(yè)面
【正文】 與Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB． 設(shè)五邊形ACKDE的面積為S，一方面 S=SABDE+2S△ABC， ① 另一方面 S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ② 由①，② 所以 c2=a2+b2． 關(guān)于勾股定理，在我國(guó)古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習(xí)題中展示其中一小部分，它們都以中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的名字命名． 利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論． 定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對(duì)的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長(zhǎng)線)上的射影的乘積的2倍． 證 (1)設(shè)角C為銳角，如圖219所示．作AD⊥BC于D， 則CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中， AB2=AD2+BD2， ① 在直角三角形ACD中， AD2=AC2CD2， ② 又 BD2=(BCCD)2， ③ ?、冢鄞擘俚谩 B2=(AC2CD2)+(BCCD)2 =AC2CD2+BC2+CD22BCCD， 即 c2=a2+b22aCD =AC2+BC2+2BCcd． ⑧ 綜合④，⑧就是我們所需要的結(jié)論 特別地，當(dāng)∠C=90176。； (2)若c2＜a2+b2，則∠C＜90176。． 勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應(yīng)用． 例1 如圖221所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求證：AB2=2FG2． 分析 注意到正方形的特性∠CAB=45176。所以AG=FG， AF2=AG2+FG2=2FG2． ② 由①，②得AB2=2FG2． 說明 事實(shí)上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應(yīng)
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