空間直角坐標系與空間向量典型例題-展示頁
2025-04-03 06:42本頁面
【正文】 求二面角的平面角． ∴．故所求二面角的余弦值為．（四）利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標系 例4 已知正四棱錐V－ABCD中，E為VC中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為h． ?。?）求∠DEB的余弦值； （2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值． 解析：（1）如圖4，以V在平面AC的射影O為坐標原點建立空間直角坐標系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，則由AB＝2a，OV＝h，有B（a，a，０）、C（a，a，０）、D（a，a，０）、V（0，0，h）、 ∴，． ∴， 即；（2）因為E是VC的中點，又BE⊥VC，所以，即，∴，∴．這時，即．引入空間向量坐標運算，使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標系進行向量運算，而如何建立恰當?shù)淖鴺讼?，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一．下面以高考考題為例，剖析建立空間直角坐標系的三條途徑．（五）利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標系圖形中雖沒有明顯交于一點的三條直線，但有一定對稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對稱性可建立空間直角坐標系．例5已知兩個正四棱錐P－ABCD與Q－ABCD的高都為2，AB＝4．（1）證明：PQ⊥平面ABCD；（2）求異面直線AQ與PB所成的角；（3）求點P到面QAD的距離．簡解：（1）略；（2）由題設(shè)知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分別以直線為x，
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