微分幾何課后習(xí)題解答-展示頁
2025-04-03 01:54本頁面
【正文】 = 0的方向為du = dv , u – v = 0的方向為δu=δv , 設(shè)兩曲線的夾角為，則有cos=分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解 由條件,沿曲線u = v有du=dv ，將其代入得=，ds = coshvdv , 在曲線u = v上，從到的弧長為。解 ，∴ I =，∵Ｆ＝０，∴坐標(biāo)曲線互相垂直。２．求正螺面={ u,∴２ 曲面的第一基本形式1.與三坐標(biāo)軸的交點分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。 證 。－ a b = 0此方程與t無關(guān)，對于的每一確定的值，確定唯一一個切平面，而的每一數(shù)值對應(yīng)一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面。所以切平面方程為：，即x bcos解 橢圓柱面的參數(shù)方程為x = cos, y = asin, z = t , + zsin=任意點的切平面方程為即 xcoscos3．求球面=上任意點的切平面和法線方程。證,u ,bv,u , bv }的坐標(biāo)曲線.解第二章 曲面論167。1曲面的概念={ u u曲線為={u}=｛0,0，bv｝＋u {,0}，為曲線的直母線；v曲線為={,bv }為圓柱螺線．２．證明雙曲拋物面＝｛a（u+v）, b（uv）,2uv｝的坐標(biāo)曲線就是它的直母線。 u曲線為={ a（u+）, b（u）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示過點{ a, b,0}以{a,b,2}為方向向量的直線。v曲線為=｛a（+v）, b（v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,b,2}表示過點(a, b,0)以{a,b,2}為方向向量的直線。解 =+ ycossin a = 0 ；法線方程為4．求橢圓柱面在任意點的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面。, + y asin5．證明曲面的切平面和三個坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常數(shù)。切平面方程為： 。于是，四面體的體積為：是常數(shù)。167。 求雙曲拋物面＝｛a（u+v）, b（uv）,2uv｝的第一基本形式. 解 I = 2。,u , bv }的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直。３．在第一基本形式為I =的曲面上，求方程為u = v的曲線的弧長。4．設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求它上面兩條曲線u + v = 0 ,u–v = 0的交角。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量，曲線u + v = 0與u – v = 0的交點為u = 0, v = 0,交點處的第一類基本量為。5．求曲面z = axy上坐標(biāo)曲線x = x= 6. 求u曲線和v曲線的正交軌線的方程.解 對于u曲線dv = 0,設(shè)其正交軌線的方向為δu:δv ,則有Eduδu + F(duδv + dvδu)
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