三角形角平分線專題講解-展示頁(yè)
2025-04-02 05:44本頁(yè)面
【正文】 ：如圖26,在正方形ABCD中，E為CD 的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC 上的點(diǎn)，∠FAE=∠DAE。AD平分∠CAB，CD=,DB=。練習(xí)：1．如圖24∠AOP=∠BOP=15求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。AB=AC，∠ABD=∠CBD。近而證∠ADC與∠B之和為平角。求證：∠ADC+∠B=180（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。求證：BMCMABAC4． 已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。用到的是截取法來證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來證明。其它問題自已證明。例2． 已知：如圖13，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來證明。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。但無論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。例1． 如圖12，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。①?gòu)慕瞧椒志€上一點(diǎn)向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分線平行線，等腰三角形來添。. .. . ..二 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線加垂線，三線合一試試看。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。如圖11，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。另外一個(gè)全等自已證明。自已試一試。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。例3． 已知：如圖14，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：ABAC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。試試看可否把短的延長(zhǎng)來證明呢？練習(xí)1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC2． 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3． 已知：在△ABC中，ABAC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BD+CDAB+AC。例1． 如圖21，已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。例2． 如圖22，在△ABC中，∠A=90求證：BC=AB+AD分析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。例3． 已知如圖23，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。PC//OA，PD⊥OA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3
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