【正文】 （也稱為互質(zhì)）的，如果 。這就 是說，兩個多項式的最大公因式在可以相差一個非 零常數(shù)倍的意義下是唯一確定的。 (此定理的逆定理不一定成立。 )()()()( xrxgxqxf ??)(xf )(xg )(xg )(xr][xF )(xf )(xg)(xf )(xg][xF )(xf )(xg ][xF)(xd )(xd )(xf )(xg][xF )(),( xvxu)()()()()( xgxvxfxuxd ??定理 若 是 與 的最大公因式，那 么在 中存在多項式 使得一下等式成 立 : 。 證明 :利用輾轉(zhuǎn)相除法加以證明。 定理 中的任意兩個多項式 ， ，一 定有最大公因式。特別地，根據(jù)定義，兩個零多項式的 ( ) ( ) [ ]f x g x F x?，][xF )(xh )()( xfxh )()( xgxh)(xh )(xf )(xg)(xd)(xf )(xg )(xd )(xf )(xg)(xd )(xf )(xg)(xf )(xf )(xf最大公因式就是 0。若 能整除 與 的每一個公因式，則稱 是 與 的最大公 因式 。 若 中的一個多項式 滿足 且 ，那么 就稱為 與 的一個公因式。 167。 ?難點 運用展轉(zhuǎn)相除法求最大公因式，最大公因 式性質(zhì)的運用。 例 2 計算 : 11 ?? nd xx167。 多項式的整除性不會因數(shù)域的擴大而改變。 設(shè) （ 6） ， 證明略（板書） 定理 )(xf? ][)( xFxg ?、 ，且 0)( ?xg，則一定 ][)(),( xFxrxq ?? ， 使 )()()()( xrxgxqxf ??(1) 成立，其中 ))(())(( xgxr ??? 或者 0)( ?xr ，并且這樣的 )(),( xrxq 是唯一決定的。 ： )()( xgxf )()( xhxg )()( xhxf（ 1）如果 ， ，那么 ； )()( xfxh )()( xgxh ))()(()( xgxfxh ?（ 2）如果 ， ，那么 ； )()( xfxh ][)( xFxh ??)()()( xgxfxh（ 3）如果 ，那么 ，有 ； )()( xfxh i ti ,2,1 ?? ][)( xFxg i ??（ 4） 如果 ， ，則 有 ))()()()()()(()( 2211 xgxfxgxfxgxfxh tt??? ?； ( ) ( )c f x f x ， )(xfa ][)( xFxf ? Fca ?,0?ac（ 5） （ ， 且 ）； 。 )(|)( xfxg)(xg )(xf用 表示 整除 “ ， 用 ( ) | ( ) g x f x? 表示 )(xg ()fx。 一、概念和性質(zhì) 例： 1)(,122)( 223 ??????? xxxgxxxxf )(xg )(xf( ) ( ) ( 1 )f x g x x?? 。 ?重點 整除及其判定方法 。 PP][xP167。 推論 若 )()()()( xhxfxgxf ? 且 0)( ?xf ，則 )()( xhxg ? 。 ( ) , ( )f x g x F定理 設(shè) 是數(shù)域 上的多項式， )))(()),((m a x())()(( xgxfxgxf ?????則（ 1） ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) .f x g x f x g x? ? ? ? ?（ 2） 上面的結(jié)果都可以推廣到多個多項式的情形。 利用多項式的加法可以定義多項式的減法： ))(()()()( xgxfxgxf ????))()(()()())()(( xhxgxfxhxgxf ????? ： PP由多項式的加法、乘法和減法的定義可知，數(shù) 中的多項式經(jīng)過加、減、乘之后，仍是 中的的多項式 。 設(shè) nn xaxaaxf ???? . . . . . .)( 10mm xbxbbxg ???? . . . . . .)( 10是數(shù)域 F 上兩個多項式，那么可以寫成 ???niii xaxf0)( ； ???mjjj xbxg0)()(xf )(xg在表示多項式 與 的和時， 如果 mn ? ， 為了方便起見，在 )(xg 中令 011 ???? ?? mnn bbb ?， 那么 )(xf )(xg與 的和為 ???????????????niiiinnnmmmxbaxbaxbaxbabaxgxf01100)()()()()()()( ??)(xf )(xg而 與 的乘積為 001001111 )()()()( baxbabaxbabaxbaxgxf mnmnmnmnmn ??????? ????? ?其中 s次項的系數(shù)是 ( ) ( )f x g x所以 可表成 smns sjiji xbaxgxf )()()(0? ??? ??? 。 )(xf )(xg )()( xgxf ?與 相等，記為 。 定義 ， 如果 0?na 那么 nnxa 稱為多項式（ 1）的首項， na稱為首項系數(shù)， n 稱為多項式的次數(shù)。 用 ?),(),( xgxf ?, gf或 等來表示多項式。這里 數(shù)域 F 上的一元多項式。 一元多項式的定義和運算 12 ?x11?x 2yx ? xx c o ss in ? ； ； ； 定義 大家能告訴我它們是一些什么式子嗎？ 大家來看以下的式子： naaa , 10 ?FF?是一個數(shù)域， 。 ?難點 一元多項式的概念。 一元多項式的定義 和運算 ? 教學(xué)目標(biāo) 掌握一元多項式的定義并會進行簡單運算。 最大公因式的求法； 有理根的求法及應(yīng)用。第四章 多項式 教學(xué)要求： 了解多項式的基本概念； 掌握多項式的整除概念及其判定方法； 掌握多項式的因式分解定理及最大公因式 的求解方法； 了解多項式函數(shù)及其根等概念； 有理多項式解的理論 (了解 )。 教學(xué)重點 ： 除概念及其判定方法； 難 點： 多項式互素的概念及其應(yīng)用； 轉(zhuǎn)相除法、綜合除法； 因式分解定理； 有理數(shù)域上的多項式。 167。 ?重點 一元多項式的概念。 167。 n x是一非負整數(shù)， 是一個文字， 設(shè) 由此引出： 則形式表達式 nn xaxaxaa ???? . . . . . .2210 （ 1） 稱為系數(shù)在數(shù)域 F 中的一元多項式， 或者簡稱為 比較）。 （與初中所學(xué)的多項式進行 iixaiai稱為 次項， 稱為 i 次項的系數(shù)。 定義 )(xf )(xg若多項式 與 同次項的系數(shù)全相等 ， 那么就 系數(shù)全為零的多項式稱為 零多項式，記為 0。零多項式 為 ))(( xf? 。 稱多項式 多項式 )(xf 的次數(shù)記 是唯一不定義次數(shù)的多項式。 smns sjiji xbaxgxf )()()(0? ??? ??? 。 域 )()()()( xfxgxgxf ???1. 加法交換律： 運算法則： )()()()( xfxgxgxf ?乘法交換律： ))()()(()())()(( xhxgxfxhxgxf ?4. 乘法結(jié)合律：