【正文】 ② 服從泡利原理 在 T=0K時，由 N個電子組成的自由電子系統(tǒng)，對能量許可態(tài)的占有，是從能量最低的 k=0態(tài)開始，按能量從低到高，每個 k態(tài)容納兩個電子，依次填充而得到。 )(22 222222zyxK kkkmkm ?????????ε三維情況下能級： 對于一個三維晶體，需要的量子數(shù)為： (1)波矢 k（三個分量 kx、 ky、 kz） (2)自旋量子數(shù) 給定了 就確定了能級， 代表同能級上自旋相反的一對電子軌道。 運用周期邊界條件： 得： 其中 n1n2n3為量子數(shù)，可取除零以外的任何整數(shù)。 （此部分可參考第三章相關(guān)內(nèi)容）： 求解三維薛定諤方程，先進行變量分離，得到三個常微分方程，每一個都只針對一維勢阱。 在固定邊界條件下，薛定鍔方程的解具有駐波形式，而能量的本征值： n為正整數(shù) 0)()0( ?? Lnn ??22)(2 Lnmn πε ??...... i n)( ??? nLnkkxAxn πψ 描寫一個電子的量子態(tài)需要兩個量子數(shù)： 能量量子數(shù) 自旋量子數(shù) )(nk21??sm 固定邊界條件不利于處理電子在金屬中的輸運問題，所以我們一般用周期邊界條件。 將電子的勢能和邊界條件代入，求解薛定諤方程，就能得到在穩(wěn)定條件下電子的能量和概率分布。 取平均勢能為能量零點 , 電子逸出體外相當(dāng)于在一定深度的勢阱中運動的粒子所具有的能量。在首先求得單電子的能級的基礎(chǔ)上，利用泡利不相容原理，將 N個電子填充到這些能級中，獲得 N個電子的基態(tài)。即忽略電子和離子實之間的相互作用以及電子與電子之間的相互作用，忽略晶格周期場的影響，只考慮一個電子在晶格平均場和其它電子的的平均場中的運動。這種“凝膠”的作用純粹是為了補償傳導(dǎo)電子之間的排斥作用，以至于使得這些傳導(dǎo)電子不至于因為彼此之間很強的排斥作用而從金屬晶體中飛濺出去，這就相當(dāng)于“凝膠”模型。 傳導(dǎo)電子在金屬中自由運動，電子與電子之間有很強的排斥力，電子與離子實之間有很強的吸引力。 ?索末菲模型與特魯?shù)履Ｐ偷膮^(qū)別： 在特魯?shù)履Ｐ椭校J(rèn)為金屬電子氣體類似于理想氣體，是玻色子（如原子，離子等），遵循玻爾茲曼統(tǒng)計規(guī)律。 ?索末菲模型 認(rèn)為傳導(dǎo)電子不應(yīng)看作經(jīng)典粒子氣體，而應(yīng)當(dāng)看作自由電子費米氣體。 Tnku B23? TuC mV ???, BmV nkC 23, ? 這一結(jié)論，與實驗結(jié)果不相符（實際值較高溫度時 3NkB，極低溫度下，與 T3成比例）；此外，特魯?shù)履Ｐ驮谔幚泶呕实葐栴}上也遇到了根本性的困難。 馳豫時間： 平均自由程： 特魯?shù)履Ｐ蛻?yīng)用實例 : (2) 熱導(dǎo) 特魯?shù)履Ｐ桶呀饘匐娮涌闯山?jīng)典理想氣體。這就將電子的遷移率與它們的平均自由時間聯(lián)系起來了。在沒有外加電場的情況下，在任何方向上沒有凈漂移 在外加電場 Ex的作用下，沿x方向有一凈漂移，該沿電場力方向的凈漂移加在電子的隨機運動上。因此，特魯?shù)履Ｐ碗m然可以成功說明金屬的某些輸運過程，卻在處理比熱和磁化率等問題上遇到了不可克服的障礙。假設(shè)電子和周圍環(huán)境達到熱平衡僅僅是通過碰撞實現(xiàn)的，碰撞前后電子的速度毫無關(guān)聯(lián)。 特魯?shù)碌慕?jīng)典理論將自由電子看作是經(jīng)典離子氣體，服從波爾茲曼分布 (速度分布 )，與中性稀薄氣體一樣去處理，認(rèn)為電子之間無相互作用，同時也不考慮離子實勢場的作用，這樣一個簡單的物理模型處理金屬的許多動力學(xué)問題是很成功的。第五章 金屬的電子論基礎(chǔ) 經(jīng)典電子氣體模型 —— 特魯?shù)履Ｐ? ?特魯?shù)履Ｐ偷幕炯僭O(shè) 特魯?shù)聦饘俳Y(jié)構(gòu)的描述： 離子實 和 價電子 金屬原子可分為原子核、內(nèi)層電子和價電子，把原子核和內(nèi)層電子看成離子實，即我們常說的金屬離子，其價電子與金屬離子分離并可在固體中自由移動，形成一種電子云或者電子氣。這些可移動電子在外加電場的作用下產(chǎn)生一定的電流，這些作為電子氣的價電子稱為 導(dǎo)帶電子 。 特魯?shù)履Ｐ停唇?jīng)典的 自由電子氣模型 ，是建立在金屬電子氣體假設(shè)基礎(chǔ)上的，利用經(jīng)典的分子運動學(xué)理論處理問題，主要包括四層基本含意： （ 1）自由電子近似 忽略掉電子和離子之間相互作用的近似 （ 2）獨立電子近似 忽略電子與電子之間的庫侖排斥相互作用 （ 3）碰撞假設(shè) 忽略電子之間的碰撞，僅考慮電子與離子實之間的碰撞。 （ 4）馳豫時間近似 假設(shè)馳豫時間與電子位置和速度無關(guān) 特魯?shù)履Ｐ偷娜毕荩? 忽略了電子與離子實之間的相互作用，認(rèn)為電子氣系統(tǒng)的總能量為電子的動能，勢能被忽略 。 電子氣中的導(dǎo)帶電子在金屬中以平均速率 u隨機運動，并因原子的熱振動而頻繁的發(fā)生隨機散射。經(jīng)過多次散射后，電子從其初始位置向正端呈現(xiàn)一凈位移 △ x 特魯?shù)履Ｐ蛻?yīng)用實例 : (1) 電導(dǎo) 若 uxi是 x方向上第 i個電子剛碰撞后的速率，由于eEx/me是電子的加速度，其在 x方向上時刻 t的速率 vxi為： )( iexxixi ttmeEuv ???)(][1 21 iexxNxxdx ttmeEvvvNv ?????? ?xedx Emev ?? 其中 τ是平均自由時間 式中可看出漂移速率隨所加電場線性增加，其比例常數(shù) eτ/me稱為遷移率 μd。 xddx Ev ??xdx EenJ ?? xx EJ ?? den ?? ?能計算出金屬的直流電導(dǎo)率，成功的解釋了歐姆定律； xx EJ ??能估算出金屬電子的平均自由時間（馳豫時間） 和平均自由程： ed mneen ??? 2???dxvl ?xedx Emev ?? 由此算出平均自由程約在 ，與實驗相符。因此其遵循玻爾茲曼統(tǒng)計規(guī)律：每個電子有 3個自由度，每個自由度對應(yīng) kBT/2的平均能量。 自由電子氣體模型 —— 索末菲模型 索末菲模型是建立在量子理論與費米統(tǒng)計規(guī)律的基礎(chǔ)上的。忽略傳導(dǎo)電子與離子實之間的相互作用，忽略傳導(dǎo)電子之間的相互作用，這種自由電子氣體服從費米 — 狄喇克統(tǒng)計規(guī)律。 在索末菲模型中，引入了泡利不相容原理，認(rèn)為金屬電子氣體是費米子（如電子、質(zhì)子、中子等），遵循費米統(tǒng)計規(guī)律。 S