高中數(shù)學(xué)函數(shù)經(jīng)典例題題詳解-展示頁(yè)
2025-01-24 09:39本頁(yè)面
【正文】 ）；②對(duì)，都有. 若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解（1）∵，∴ ，故 ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。 證明(1) 由消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0∴c20,∴Δ0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)。 二次函數(shù)1已知二次函數(shù)，不等式的解集為．(Ⅰ)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，求的解析式；(Ⅱ)若的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）∵不等式的解集為 ∴和是方程的兩根 ∴ ∴ 又方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 ∴ ∴ ∴ ∴或（舍） ∴ ∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ∵，∴的最大值為 ∵的最大值為正數(shù) ∴ ∴解得或 ∴所求實(shí)數(shù)的取值范圍是 2已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b是常數(shù)且a≠0)滿(mǎn)足條件f(2)=0且方程f(x)=x有等根.（1）求f(x)的解析式.（2）問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m,n(mn)，使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n].如果存在，求出m,n的值；如果不存在，說(shuō)明理由.解：(1) 依題設(shè)方程 ax2+(b1)x=0有等根， ∴(b1)2=0 得 b=1.又 f(2)=0，即 4a+2b=0，得 ， 所以，.(2)由(1) , ∴ ，即. 而拋物線f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，則f(x)在[m,n]上為增函數(shù)，（2）問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m,n(mn)，使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[2m,2n].如果存在，求出m,n的值；如果不存在，說(shuō)明理由.設(shè)m,n存在，可得： 即 ，得， 又 ，得 . 故存在實(shí)數(shù)m=2,n=0，使f(x)的定義域?yàn)閇2,0]值域?yàn)閇4,0].(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=－bx，其中a、b、c滿(mǎn)足abc,a+b+c=0,(a,b,c∈R)。 (1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長(zhǎng)的取值范圍。解(2) 設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=－,x1x2=。（2）令，則∴ （），∴ 在內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根，即，使成立（3） 假設(shè)存在，由①知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，且，∴，∴ ，從而由②知對(duì)，都有,令得, ∴ ,即, ∴ 由得,， 當(dāng),時(shí)，其頂點(diǎn)為滿(mǎn)足條件①，又對(duì)，都有滿(mǎn)足條件②.∴存在，使同時(shí)滿(mǎn)足條件①、②. 解法2：假設(shè)存在，由①知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，且，∴，∴ ，從而，都有,對(duì)恒成立， ①對(duì)恒成立,②所以：,，∴存在，使同時(shí)滿(mǎn)足條件①、②.(x)=ax2+bx+c(a,b,c均為實(shí)數(shù)),滿(mǎn)足ab+c=0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x 都有f (x)x≥0，并且當(dāng)x∈（0，2）時(shí),有f (x)≤. （1）求f (1)的值；（2）證明：ac≥；（3）當(dāng)x∈[2，2]且a+c取得最小值時(shí)，函數(shù)F(x)=f (x)mx (m為實(shí)數(shù))是單調(diào)的，求證：m≤或m≥..解：（1）∵對(duì)于任意x∈R，都有f (x)x≥0,且當(dāng)x∈(0,2)時(shí),有f (x) ≤.令x=1∴1≤f (1) ≤.即f (1)=1 （2） 由ab+c=0及f (1)=1.有,可得b=a+c=.又對(duì)任意x,f(x)x≥0,即ax2x+c≥0.∴a＞0且△≤0.即4ac≤0,解得ac≥. （3） 由(2)可知a＞0,c＞0.a+c≥2≥2f()≥1；(Ⅱ)若正實(shí)數(shù)xxx3滿(mǎn)足x1x3=1，證明：f(x1)f(x3)≥1.證明：(Ⅰ)∵f(1)=1∴a+b+c=1 當(dāng)x＞0時(shí)f(x)()=a2+b2+c2+ab(x+)+bc(x+)+ca(x2+) ≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2=1 當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得等號(hào). (Ⅱ)(ⅰ)若x1=x2=x3=1，則顯然有f(x1)f(x3)=1. (ⅱ)若xxx3不全相等，則其中必有xi＞1，xi＜1，i，j∈{1，2，3}(i≠j)，不妨設(shè)x1＞1，x2＜1，∵x1x3=1∴由(1)可知f(x1x2)f(x2)≥f(x1x2)即可.∵f(x1)(+bx2+c)=f(1)()=(11分)∴f(x1)f(x2)f(1)f(x1f(x2)＞f(x1x2)，又因f(x3)＞0，所以f(x1)f(x3)＞f(x1x2)f(x2)問(wèn)為何值時(shí)最大？求出這個(gè)最大的，證明你的結(jié)論。(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，x∈[1,1] 且∣f(x)∣≤1 ,求證：(1)∣g(x)∣≤2 (2)當(dāng)a0時(shí) g(x)的最大值為2，求f(x).（1）證1：∵x∈[1,1]時(shí)∣f(x)∣≤1 ∴∣f(0)∣=∣c∣≤1, ∣f(1)∣=∣a+b+c∣≤1 ∣f(1)∣=∣ab+c∣≤1則∣g(1)∣=∣a+b∣=∣(a+b+c)c∣=∣f(1)f(0)∣ ≤∣f(1)∣+∣f(0)∣≤1+1=2 ∣g(1)∣=∣ab∣=∣(ab+c)c∣=∣f(1)f(c)∣ ≤∣f(1)∣+∣f(0)∣≤1+1=2而g(x)在[1，1]是單調(diào)函數(shù) ∴, ∴ |g(x)|≤2.證2：∵ ，解得：∴ ∴ .證3：,而, ∴ .(2)解：∵a0, ∴g(x)在[1,1]單調(diào)遞增， ∴ gmax(x)=g(1)=a+b=f(1)f(0)=2. 則 1≤f(0)=f(1)2≤12=1. ∴ c=f(0)=1,而 x∈[1,1],f(x)≥1, ∴ x=0時(shí)，f(x)達(dá)到最小值， 則x=0為f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，即，得b=0. ∴ a=2，故 f(x)=2x21.16．已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c，方程f(x)=x的兩個(gè)實(shí)根為x1,x2，且x2x12. (1)求證：x1,x2為方程f(f(x))=x的兩個(gè)根.
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