【正文】 專 業(yè) 班 級 學 號 姓 名 指導教師 2009年 12 月 15 日課 程 設 計 任 務 書課程名稱 數值分析 課 題 初值問題、邊值問題 專業(yè)班級 學生姓名 學 號 指導老師 審 批 任務書下達日期 2011 年 12 月 5 日任務完成日期 2011 年 12 月 15日 目 錄一、設計內容與要求..............................................................................4二、問題提出的背景...............................................................................6三、問題的提出.......................................................................................6四、算法的理論依據及推導...................................................................7五、程序模塊 函數模塊.............................................................................13 模塊流程圖.........................................................................14六、實驗結果與調試..............................................................................24七、心得體會..........................................................................................27八、附件..................................................................................................28一、設計內容與設計要求1．設計內容： 對課程《計算方法》中的常見算法進行綜合設計或應用（具體課題題目見后面的供選題目）。2．設計要求：l 課程設計報告正文內容a. 問題的描述及算法設計；b. 算法的流程圖（要求畫出模塊圖）；c. 算法的理論依據及其推導；d. 相關的數值結果（通過程序調試)，；e. 數值計算結果的分析；f. 附件（所有程序的原代碼，要求對程序寫出必要的注釋）。行距為22。d．封面格式如下頁。具體考核標準包含以下幾個部分：a．平時出勤 （占10%）b．系統(tǒng)需求分析、功能設計、數據結構設計及程序總體結構合理與否（占10%）c．程序能否完整、準確地運行，個人能否獨立、熟練地調試程序（占40%）d．設計報告（占30%）注意：不得抄襲他人的報告（或給他人抄襲），一旦發(fā)現，成績?yōu)榱惴帧 課程驗收要求a．判定算法設計的合理性，運行相關程序，獲得正確的數值結果。c．提交課程設計報告。e．依內容的創(chuàng)新程度，完善程序情況及對程序講解情況打分。我們知道人口是反應國情、國力基本情況的重要指標，例如評價一個國家或一個地區(qū)的發(fā)展?jié)摿r離不開現在與今后各類人口數量比例指數和年齡分布。三、問題的提出常用的用于人口預測的模型是阻滯增長模型，即Logistic模型。） 利用分離變量法可以求解得： 1. 對該微分方程，分別用顯示歐拉法，隱式歐拉法，改進歐拉法，梯形公式，經典龍格—庫塔法，理查德森外推法近似求解，得出估算人口；2. 有限差分法求解方程: 四、算法的理論基礎及其推導 顯示歐拉公式： 推導：把區(qū)間[a,b]分成n等分，記分點為 那么由上式有： 用向前差商法近似代替導數得： 即： 若用近似值代替，可得顯示歐拉公式。梯形公式： 推導：把區(qū)間[a,b]分成n等分，記分點為 分別由顯示歐拉公式和隱式歐拉公式，求其平均值可得。 經典龍格—庫塔公式： 推導：由微分中值定理知 從而得到：若簡單地取左端點處的斜率： 作為平均斜率的近似值，則得 若用點處的斜率近似值與右端點處的斜率近似值 的算術平均值作為斜率的近似值，則得 由上式可知，利用兩個點上斜率近似值與的加權平均值作為平均斜率的近似值，利用歐拉公式預估，可構造形如： 的計算公式（稱為二階龍格—庫塔法），為確定系數與，將在處泰勒展開，并注意到，就有 另一方面：由上兩式知： 利用類似的推導法即可求得四階龍格—庫塔法. 理查德森外推法公式（歐拉步長自適應法）： 推導：從結點出發(fā)，先以h為步長，經一步計算出的近似值,如果使用的是p階的方法，則： ...............（1）在一般情況下，式中系數c既依賴于h，又依賴于，但當h較小時，可近似地看作常數。 若將（4）式改寫為： 則由立即可得： 由此可見，若以作為的近似值，則其誤差可用前后兩次計算結果之差來表示，即可用： 來判斷所選取色步長是否適當。五、程序模塊 函數模塊 void GJEulerMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l) //改進歐拉公式 void ExplicitEulerMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l) //顯示歐拉公式 void ImplicitEulerMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l) //隱式歐拉公式 void TxingMethord(double N,int a,int b,double y0,doub