固體物理課件——第五章-展示頁
2025-01-22 16:56本頁面
【正文】 例 1： 一維模式密度的計(jì)算 分布密度 體積 (長度 ) 其中， dZ是指 K空間中相隔 dω(對應(yīng) dk)厚度的 (等能面 )空間中所包含的體積。 據(jù)此可引入 “ 模式密度 ” 概念： 原來的計(jì)算方法：對所有格波逐個累加 ? 多且雜 ！ 現(xiàn)在的計(jì)算方法：相同的 ω放在一起 ,數(shù)目用因子 Z(ω)來表達(dá)， 然后累加 ?相對 簡潔！ 1. 簡正模式密度 D(ω)的定義 定義 : 在頻率 ω 附近 dω 范圍內(nèi)共含有 dZ個簡正模式 ，則模式密度定義如下 ： 引入簡正模式密度后，則熱能可表示為： （有時(shí)也用單位體積、單位頻率間隔中的簡正模式數(shù)）。則內(nèi)能表達(dá)式變?yōu)? 振動模式（格波）數(shù)很多，求解不方便 只與 ω 相關(guān)。 K分布的特點(diǎn) : 均勻分布 , 每 k占有體積一定。 (與 K無關(guān) ) ? ωs是標(biāo)量。該平面稱為 等能面 ，顯然所有在等能面上的 k具有相同的（平均）聲子數(shù)。 平均聲子數(shù) 令： 附：平均聲子數(shù) 的推導(dǎo)過程 ? 根據(jù)色散關(guān)系：在動量空間（ k空間中）作出色散圖。 (聲子數(shù) 對應(yīng)于格波振幅 ) 任一格波對應(yīng)于多個能量值 (聲子數(shù) )： 如何確定該格波所對應(yīng)的能量值 ?平均聲子數(shù) ? 每個能量狀態(tài)出現(xiàn)的幾率不同 附：平均聲子數(shù) 的推導(dǎo)過程 統(tǒng)計(jì)規(guī)律： 聲子分布滿足波爾茲曼分布條件 即能量 出現(xiàn)的幾率：與能量稱反比。 1. 點(diǎn)陣熱容 C = dU/dT 吸熱 — 內(nèi)能增 ? 晶格振動 — 可用格波描述 ? 諧振子 — 聲子數(shù)（反映格波的能量）。 但實(shí)際上，實(shí)驗(yàn)表明在低溫時(shí) ，晶體的比熱按 T3趨于零。 低溫時(shí)經(jīng)典理論不再適用。 晶體的定容比熱定義為： 晶體比熱的一般理論 E 晶體的平均內(nèi)能 eaV V VC C C??晶格振動比熱 晶體電子比熱 本節(jié)只討論晶格振動比熱。第五章 聲子 Ⅱ: 熱學(xué)性質(zhì) 本章是從量子角度討論 ? 內(nèi)能 ?熱容 晶體的比熱 實(shí)驗(yàn)規(guī)律 下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來解釋晶體比熱的規(guī)律。 (1)在高溫時(shí) ，晶體的比熱為 3NkB (N為晶體中原子的個數(shù) , kB=?1023J?K1為玻爾茲曼常量 ) ； (2)在低溫時(shí) ，晶體的比熱按 T3趨于零。 晶格比熱的 經(jīng)典理論 :杜隆 珀替定律 根據(jù)能量均分定理，每一個自由度的平均能量是 kBT,若晶體有 N個原子，則總自由度為： 3N。 它是一個與溫度無關(guān)的常數(shù)，這一結(jié)論稱為杜隆 珀替定律。 167。 反之，系統(tǒng)能量 =“ 所有格波：對應(yīng)的能量（聲子數(shù)）之和”。 能量越高（聲子數(shù)越多），出現(xiàn)幾率越低。 ? 將所有具相同 ω的 k連接起來，則形成一個平面。 對 平均聲子數(shù) n 的說明 ? 式中， n只與 ωs、 T有關(guān)。 ? 相同的 ωs， 可同時(shí)對應(yīng)多個不同的 k。 如此，晶格振動的總能量 = 所有 諧振子 對內(nèi)能的貢獻(xiàn)： 可將 各諧振子按照頻率進(jìn)行分類 ：將同頻率 (ω)的格波歸為一組 （即 ω 同， k不同，假設(shè)對應(yīng)的數(shù)目為數(shù)目為 Z(ω)個） 。 ω 相同 ?平均聲子數(shù)相同 相同的 ω ，不同的 k，只是對應(yīng)的格波不同，但平均聲子數(shù)一樣，可放在一起。 它反應(yīng)的是 單位頻率 間隔中所含有的簡正模式數(shù)。 Vg為群速度，當(dāng) Vg=0，則模式密度發(fā)散，出現(xiàn)一個奇點(diǎn)，這個奇點(diǎn)叫做一維模式密度的 Van Hove奇點(diǎn)，在奇點(diǎn)，晶體的熱學(xué)性質(zhì)要出現(xiàn)反常。 顯然， dV與色散關(guān)系函數(shù) (相當(dāng)于等能面
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