【正文】 C相似？若存在，請求出符合條件的 點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； （ 3）在直線 AC上方的拋物線是有一點 D，使得 △ DCA的面積最大，求出點 D的坐標(biāo)． , 圖 1 動感體驗 請打開幾何畫板文件名 ―09臨沂 26‖，拖動點 P在拋物線上運動，可以體驗到， △ PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕 ―P在 B左側(cè) ‖、 ― P在 x軸上方 ‖和 ―P在 A右側(cè) ‖，可以顯示 △ PAM與 △ OAC相似的三個情景． 雙擊按鈕 ―第 (3)題 ‖， 拖動點 D在 x軸上方的拋物線上運動，觀察 △ DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到， E是 AC的中點時， △ DCA的面積最大． 思路點撥 1．已知拋物 線與 x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設(shè)交點式比較簡便． 2．?dāng)?shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)表示線段的長． 3．按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程． 4．把 △ DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于 OA． 滿分解答 （ 1）因為拋物線與 x軸交于 A(4， 0)、 B（ 1， 0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為 ，代入點 C的 坐標(biāo)（ 0，－ 2），解得 ．所以拋物線的解析 2 115式為 ． 222 （ 2）設(shè)點 P的坐標(biāo)為 ． 1 2 ① 如圖 2，當(dāng)點 P在 x軸上方時， 1＜ x＜ 4， ， ． 1 2 如果 ，那么 ．解得 不合題意． 如果 ，那么 ．解得 ． 此時點 P的坐標(biāo)為（ 2， 1）． ② 如圖 3，當(dāng)點 P在點 A的右側(cè)時， x＞ 4， ， ． 2 解方程 ，得 ．此時點 P的坐標(biāo)為 ． 解方程 ，得 不合題意． ③ 如圖 4，當(dāng)點 P在點 B的左側(cè)時， x＜ 1， ， ． 2 解方程 ，得 ．此時點 P的坐標(biāo)為 ． 解方程 ，得 ．此時點 P與點 O重合，不合題意． 綜上所述，符合條件的 點 P的坐標(biāo)為（ 2， 1）或 或 ． 圖 2 圖 3 圖 4 （ 3）如圖 5，過點 D作 x軸的垂線交 AC于 E．直線 AC的解析式為 ． 2 ，點 E22 11511的坐標(biāo)為 ．所以 ． 22222設(shè)點 D的橫坐標(biāo)為 ，那么點 D的坐標(biāo)為 因此 4． 22 當(dāng) 時， △ DCA的面積最大，此時點 D的坐標(biāo)為（ 2， 1）． 圖 5 圖 6 考點伸展 第（ 3）題也可以這樣解： 如圖 6，過 D點構(gòu)造矩形 OAMN，那么 △ DCA的面積等于直角梯形 CAMN的面積減去 △CDN和 △ ADM的面積． 設(shè)點 D的橫坐標(biāo)為（ m， n） ，那么 由于 ． ， 所 以． 22 例 6 如圖 1， △ ABC中， AB＝ 5， AC＝ 3， cosA＝ 點 B重合），作 DE//BC交射線 CA于點 E.． (1) 若 CE＝ x， BD＝ y，求 y與 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域； (2) 當(dāng)分別以線段 BD， CE為直徑的兩圓相切時，求 DE的長度； (3) 當(dāng)點 D 在 AB 邊上時， BC 邊上是否存在點 F，使 △ ABC 與 △ DEF相似？若存在，請求出線段 BF的長；若不存在，請說明理由． 3． D為射線 BA 上的點（點 D不與 10 圖 1 備用圖 備用圖 動感體驗 請打開幾何畫板文件名 ―09閘北 25‖，拖動點 D可以在射線 BA 上運動．雙擊按鈕 ―第（ 2）題 ‖，拖動點 D可以體驗到兩圓可以外切一次， 22 因為 DE//BC，所以 ABAC5，即 ．于是得到 ，（ ）． （ 2）如圖 3，圖 4，因為 DE//BC，所以 DEAEMNAN，即 ， ．因此 ，圓心距 ． 圖 2 圖 3 圖 4 在 ⊙ M中， ，在 ⊙ N中， ． 22622 ．解得 或者 ． 62136① 當(dāng)兩圓外切時， 如圖 5，符合題意的解為 ，此時 ． 13313 ② 當(dāng)兩圓 圖 6 圖 7 （ 3）因為 △ ABC 是等腰三角形，因此當(dāng) △ ABC 與 △ DEF 相似時， △ DEF 也是等腰三角形． 如圖 8，當(dāng) D、 E、 F為 △ ABC的三邊的中點時， DE為等腰三角形 DEF的腰，符合題意，此時 BF＝ ．根據(jù)對稱性，當(dāng) F在 BC邊上的高的垂足時，也符合題意，此時 BF＝ ． 如圖 9，當(dāng) DE為等腰三角形 DEF的底邊時，四邊形 DECF是平行四邊形，此時 ． 34 圖 8 圖 9 圖 10 圖 11 考點伸展 第（ 3）題的情景是一道典型題，如圖 10，如圖 11， AH 是 △ ABC 的高， D、 E、 F 為 △ABC的三邊的中點，那么四邊形 DEHF是等腰梯形． 例 7 如圖 1，在直角坐標(biāo)系 xOy中，設(shè)點 A（ 0， t），點 Q（ t， b）．平移二次函數(shù) 的圖象，得到的拋物線 F 滿足兩個條件： ① 頂點為 Q； ② 與 x 軸相交于 B、 C 兩點（ ∣ OB∣∣ OC∣ ），連結(jié) A， B． （ 1）是否存在這樣的拋物線 F，使得 ？請你作出判斷，并說明理由； （ 2）如果 AQ∥ BC，且 tan∠ ABO＝ 23，求拋物線 F對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式． 2 圖 1 動感體驗 請打開幾何畫板文件名 ―08杭州 24‖，拖動點 A在 y軸上運動，可以體驗到， AQ與 BC保持平行， OA∶ OB與 OA∶ OB′保持 3∶ 2． 雙擊按鈕 ―t＝ 3‖， ―t＝ 0． 6‖， ―t＝－ 0． 6‖， ―t＝－ 3‖，拋物線正好經(jīng)過點 B（或 B′）． 思路點撥 1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想，把 轉(zhuǎn)化為 ． 2．如果 AQ∥ BC，那么以 OA、 AQ為鄰邊的矩形是正方形，數(shù)形結(jié)合得到 t＝ b． 3．分類討論 tan∠ ABO＝ 23，按照 A、 B、 C的位置關(guān)系分為四種情況． A在 y軸正 2 半軸時，分為 B、 C 在 y軸同側(cè)和兩側(cè)兩種情況； A 在 y軸負(fù)半軸時，分為 B、 C 在 y軸同側(cè)和兩側(cè)兩