【正文】 ； (Ⅱ )求數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS 。 （ Ⅱ）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用 100 元，設(shè) X 表示直到檢測(cè)出 2 件次品或者檢測(cè)出 3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 ． 15． 某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有 4個(gè)紅球、 6 個(gè)白球的甲箱和裝有 5 個(gè)紅球、 5 個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出 1 個(gè)球，在摸出的 2 個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有 1 個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng) ． （ Ⅰ ）求顧客抽獎(jiǎng) 1 次能獲獎(jiǎng)的概率； （ Ⅱ ）若某顧客有 3 次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在 3 次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為 X，求 的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差 ． 16． 甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的 日工資方案如下： 甲 公司底薪 70 元，每單抽成 2 元；乙 公司無(wú)底薪， 40 單以內(nèi) (含 40 單 )的部分每單抽成 4 元，超出 40 單的部分每單抽成 6 元．假設(shè)同一公司 送餐員 一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名 送餐 員，并分別記錄其 100 天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表： （ Ⅰ ）現(xiàn)從 甲 公司記錄的這 100 天中隨機(jī)抽取兩天，求這兩天送餐單數(shù)都大于 40 的概率； （ Ⅱ ）若將頻率視為概率，回答以下問(wèn)題： （ⅰ ）記 乙 公司 送餐員 日工資為 X (單位：元 ),求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ ⅱ ）小明擬到 甲 、 乙 兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員 ，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇 ，并說(shuō)明理由 ． 17． 從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取 500 件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： （ I） 求這 500 件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) x ,中位數(shù)和樣本方差 2s （同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）； （Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值 Z 服從正態(tài)分布 2( , )N?? ，其中 ? 近似為樣本平均數(shù) x ， 2? 近似為樣本方差 2s ． (i)利用該正態(tài)分布，求 (18 7. 8 21 2. 2)PZ??； （ ii）某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了 100 件這種產(chǎn)品，記 X 表示這 100 件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間（ 187． 8,212． 2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（ i）的結(jié)果，求 EX ． 附： 150 ≈ 12． 2． 若 Z ～ 2( , )N?? ，則 ()PZ? ? ? ?? ? ? ?=0． 6826， ( 2 2 )PZ? ? ? ?? ? ? ?=0． 9544． 18． 第 31 屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于 2022 年 8 月 5 日 —21 日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行 ． 下表是近五屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：枚） ． 第 30 屆 倫敦 第 29 屆 北京 第 28 屆 雅典 第 27 屆 悉尼 第 26 屆 亞特蘭大 中國(guó) 38 51 32 28 16 俄羅斯 24 23 27 32 26 （ Ⅰ ）根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運(yùn)會(huì)兩國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可）； （ Ⅱ ）甲、乙、丙三人競(jìng)猜今年中國(guó)代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)中的哪一個(gè)獲得的金牌數(shù)多（假設(shè)兩國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)不會(huì)相等），規(guī)定甲、乙、丙必須在兩個(gè)代表團(tuán)中選一個(gè)，已知甲、乙猜中國(guó)代表團(tuán)的概率都為45，丙猜中國(guó)代表團(tuán)的概率為35，三人各自猜哪個(gè)代表團(tuán)的結(jié)果互不影響 ． 現(xiàn)讓甲、乙、丙各猜一次，設(shè)三人中猜中國(guó)代表團(tuán)的人數(shù)為 X，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望 EX． 19． 如圖，五面體 ABCDEF 中，底面 ABCD 為矩形， AB=6， AD=4．頂部線段 EF∥ 平面ABCD，棱 EA=ED=FB=FC=62， EF=2，二面角 F﹣ BC﹣ A 的余弦值為 1717． 中國(guó) 俄羅斯 1 2 3 4 5 （ Ⅰ ）在線段 BC 上是否存在一點(diǎn) N，使 BC⊥ 平面 EFN； （ Ⅱ ）求平面 EFB 和平面 CFB 所成銳二面角的余弦值． 20． 如圖 1，在 Rt C??? 中， C 90??? ? ， C 60??? ? ， 2??? ， D 、 ? 分別為 C? 、D? 的中點(diǎn)，連接 ?? 并延長(zhǎng)交 C? 于 F ，將 D??? 沿 D? 折起，使平面 D?? ? 平面CD? ，如圖 2 所示． (Ⅰ )求證： ??? 平面 CD? ； （ Ⅱ ）求平面 F?? 與平面 DC? 所成的銳二面角的余弦值； （ Ⅲ ）在線段 F? 上是否存在點(diǎn) ? 使得 //?? 平面 DC? ？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn) ? 的位置；若不存在，說(shuō)明理由． 21． 如圖，在三棱柱 1 1 1ABC A B C? 中， 側(cè) 面 11ABBA 為矩形， 11, 2 ,A B B C A A D? ? ?為1AA 的中點(diǎn)， BD 與 1AB 交于點(diǎn) 1,O BC AB? ． （ Ⅰ ）證明： 1CD AB? ； （ Ⅱ ）若 33OC? ，求二面角 1A BC B??的余弦值 ． 22． 如圖，在四棱錐 P﹣ ABCD 中， PD⊥ 平面 ABCD，四邊形 ABCD 是菱形， AC=2， BD=2 ， E 是 PB 上任意一點(diǎn)． （ Ⅰ ）求證： AC⊥ DE； （ Ⅱ ）已知二面角 A﹣ PB﹣ D 的正切值為 36 ，若 E 為 PB 的中點(diǎn)，求 EC 與平面 PAB 所成角的正弦值． 23． 如圖，四邊形 PCBM 是直角梯形， 090 , / / , 1 , 2 ,PC B PM BC PM BC? ? ? ?又1 , 120 ,AC ACB AB PC? ? ? ? ?，直線 AM 與直線 PC 所成的角為 60? ． （ Ⅰ ）求證： PC AC? ； （ Ⅱ ）求二面角 M AC B??的余弦值； （ Ⅲ ）求點(diǎn) B 到平面 MAC 的距離 ． 24． 已知矩形 11ABBA ，且 12AB AA? ， CC,1 分別是 11BA 、 BA 的中點(diǎn)， D 為 CC1 中點(diǎn)，將矩形 11ABBA 沿著直線 CC1 折成一個(gè) 60o 的二面角，如圖所示 ． （ Ⅰ ）求證： 1AB ⊥ 1AD； （ Ⅱ ）求 1AB 與平面 11ABD 所成角的正弦值 ． DCBB 1C 1A 1A 25． F 以拋物線 P ： 2 4yx? 的焦點(diǎn) F 為圓心，且與拋物線 P 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)． （ I）求圓 F 的方程； C 1CB 1BA 1A （Ⅱ）過(guò)點(diǎn) ( 1,0)M? 作圓 F 的兩條切線與拋物線 P 分別交于點(diǎn) ,AB和 ,CD，求經(jīng)過(guò), , ,ABC D 四點(diǎn)的圓 E 的方程． 26． 如圖，已知圓 22: ( 3 ) 16E x y? ? ?，點(diǎn) ( 3,0)F ， P 是圓 E 上任意一點(diǎn)．線段 PF的垂直平分線和半徑 PE 相交于 Q ． （ Ⅰ ）求動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡 ? 的方程； （ Ⅱ ）已知 ,ABC 是 軌跡 ? 的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)， A 與 B 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 | | | |CA CB? ，問(wèn) ABC△的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn) C 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 27． 已知中心在原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率為 的橢圓過(guò)點(diǎn)（ ， ）． （ Ⅰ ）求橢圓的方程； （ Ⅱ ）設(shè)不過(guò)原點(diǎn) O 的直線 l 與該橢圓交于 P， Q 兩點(diǎn)，滿足直線 OP， PQ， OQ 的斜率依次成等比數(shù)列，求 △ OPQ 面積的取值范圍． 28． 已知 ,AB的坐標(biāo)分別為 ( 2, 0)? ， (2, 0) ． 直線 ,APBP 相交于點(diǎn) P ，且它們的斜率之積 為 34? ． （ Ⅰ ）求點(diǎn) P 的軌跡方程； （ Ⅱ ）設(shè) Q 的坐標(biāo)為 ? ?1,0 ,直線 AP與直線 2x? 交于點(diǎn) D，當(dāng)直線 AP繞點(diǎn) A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以 BD為 直徑的圓與直線 PQ 的位置關(guān)系，并加以證明． 29．已知函數(shù) f (x) = e xx 2－ mx + 1 ． （ Ⅰ ）若 m∈ (－ 2,2)，求函數(shù) y = f (x) 的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅱ ）若 m∈ (0,12 ]，則當(dāng) x∈ [0,m + 1] 時(shí)，函數(shù) y = f (x) 的圖像是否總在直線 y = x 上方 ?請(qǐng)寫出判斷過(guò)程． 30．已知函數(shù) f (x) = x 2－ ax(a≠ 0)， g(x) = ln x， f (x) 圖象與 x 軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn) M 處的切線為 l1， g(x－ 1) 與 x 軸的交點(diǎn) N 處的切線為 l2，并且 l1 與 l2平行． (Ⅰ ) 求 f （ Ⅱ ） 的值； (Ⅱ ) 已知實(shí)數(shù) t∈ R，求 u = x ln x， x∈ [1,e] 的取值范圍及函數(shù) y = f [xg(x) + t]， x∈ [1,e] 的最小值； (Ⅲ ) 令 F(x) = g(x) + g’(x)，給定 x x2∈ (1,+ )， x1 x2，對(duì)于兩個(gè)大于 1 的正數(shù) 、 ，存在實(shí)數(shù) m 滿足 = mx1 + (1－ m) x2， = (1－ m) x1 + mx2，并且使得不等式 | F( )－ F( ) | | F(x1)－ F(x2) | 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍． 31．設(shè) f (x) = sin xe x ， x∈ [0, 2 ] (Ⅰ ) 求 f (x) 的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ ) 證明 f (x)≤ x 恒成立； (Ⅲ ) 設(shè) x x2∈ [0, 2 ]， p、 q 0， p + q = 1，求證 : f (px1 + qx2)≥ pf (x1) + qf (x2)． 32．定義：若 f (x)x k 在 [k,+ ) 上為增函數(shù)，則稱 f (x) 為“ k 次比增函數(shù) ”，其中 k∈ N *，已知 f (x) = e ax． (其中 e = 2． 71238 ? ) (Ⅰ ) 若 f (x) 是“ 1 次比增函數(shù) ”，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； (Ⅱ ) 當(dāng) a = 12 時(shí)，求函數(shù) g(x) = f (x)x 在 [m,m + 1](m 0)上的最小值； (Ⅲ ) 求證： 1e + 12( e) 2 + 13( e) 3 + ? + 1n( e) n 72e ． 33．設(shè)函數(shù) f (x) = x 2－ (a－ 2) x－ a ln x． (Ⅰ ) 求函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ ) 若函數(shù) f (x) 有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足條件的最小正整數(shù) a 的值； (Ⅲ ) 若方程 f (x) = c 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x x2，求證： f’(x1 + x22 ) 0． 34． 已知函數(shù) f (x) = ln x－ m2 x 2 + x(m∈ R) (Ⅰ ) 當(dāng) m 0 時(shí)， 若 f (x)≤ mx－ 12 恒成立 ， 求 m 的取值范圍 ； (Ⅱ ) 當(dāng) m = － 1 時(shí)， 若 f (x1) + f (x2) = 0，求證： x1 + x2≥ 3 － 1． 35． 如圖， A， B， C， D 四點(diǎn)在同一圓上， AD 的延長(zhǎng)線與 BC 的延長(zhǎng)線交于 E 點(diǎn)，且 EC＝ED． （ I） 證明： CD∥ AB； （ II） 延長(zhǎng) CD 到 F，延長(zhǎng) DC 到 G， 使得 EF＝ EG，證明： A， B， G， F 四點(diǎn)共圓． 36． 如圖， AB 是圓 O 的直徑，弦 ABCD? 于點(diǎn) M ， E 是 CD 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 10AB? ，8CD? ， 34ED OM? ， EF 切圓 O 于 F ， BF 交 CD 于 G ． （ Ⅰ ）求證： EFG? 為等腰三角形； （ Ⅱ ）求線段 MG 的長(zhǎng)． 37． 如圖所示，已知圓 O 外有一點(diǎn) P ，作圓 O 的切線 PM ， M 為切點(diǎn)，過(guò) PM 的中點(diǎn) N ，作割線 NAB ，交圓于 A 、 B 兩點(diǎn)，連 接 PA 并延長(zhǎng)，交圓 O 于點(diǎn) C ，連接 PB 交圓 O 于點(diǎn)D ，若 MC BC? ． （ Ⅰ ）求證： APM? ∽ ABP? ； （ Ⅱ ）求證：四邊形 PMCD 是平行四邊形 ． 38． 已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程式 2cos??? ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線 L 的參數(shù)方程是3212x t myt? ?????? ???，（ t 為參數(shù)）． （ Ⅰ ）求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程和直線 L 的普通方程； （ Ⅱ ）設(shè)點(diǎn) ( ,0)Pm ，若直線 L 與曲線 C 交于兩點(diǎn) ,AB，且