【正文】 所成的銳二面角的余弦值為 ． （Ⅲ） 設(shè) ，其中 , , ，其中 ． ． 由 ，得 ，解得 ]1,0[43??? ∴在線段 AF 上存在點(diǎn) M，使 EM//平面 ADC，且 AM:AF=3:4． 21． 解： （Ⅰ） 在 1R R D At AB B t B??與 中 ， 1 12 6 B D A B 2A D = , B D = , A B = 3 , = = ,2 2 A B B C 2由 得 1ABB?? ∽ DBA? ， 1B B A= AB D.?? ? 由于 0011B B A+ B AB = 90 , AB D+ B AO = 90 ,? ? ? ? ?所以 BD AD? ． 又 1B C AB ,B D B C =B ,? AB B DC ,C D B DC , C D AB .? ? ? ? ?平 面 平 面 （Ⅱ） 由于 3 BC=13OC ? ， ， 6A B D O B B O C B O C O .3? ? ? ?在 中 可 得 ， 所 以 是 直 角 三 角 形 ， 由 （Ⅰ） 知 1 1 1C O AB , C O AB B A .??則 平 面以 O 為原點(diǎn)， OA,OD,OC 所在直線分別為 x軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則13 6 3 2 3( , 0 , 0 ), ( 0 , , 0 ), ( 0 , 0 , ), ( , 0 , 0 ).3 3 3 3A B C B?? 16 3 3 6 2 3 6( 0 , , ), ( , , 0 ), ( , , 0 )3 3 3 3 3 3B C A B B B? ? ? ? ? ? 設(shè)平面 ABC,平面 1BCB 的法向量分別為 1 1 1 1 2 2 2 2( , , ), ( , , )n x y z n x y z??， 則1 1 1111163 033 , ( 2 , 1 , 2 )36 033B C n y znA B n x y? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ???． 2 2 221 2 2 263 033 , ( 1 , 2 , 2 )2 3 6 033B C n y znB B n x y? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ???． 12 2 7 0co s , .35nn? ? ?? ? 2 7 0 .35??二 面 角 余 弦 值 為 22． 解： （ Ⅰ ） ∵ PD⊥ 平面 ABCD， AC?平面 ABCD∴ PD⊥ AC 又 ∵ ABCD 是菱形， ∴ BD⊥ AC， BD∩PD=D, ∴ AC⊥ 平面 PBD， ∵ DE?平面 PBD, ∴ AC⊥ DE． （ Ⅱ ） 連接 OE,在 △ PBD 中， OE//PD,所以 OE⊥ 面 ABCD,分別以 OA， OB， OE 方向?yàn)?x，y， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) PD=t，則 由（ I）知：平面 PBD 的法向量為 ， 令平面 PAB 的法向量為 ，則根據(jù) 得∴ 因?yàn)槎娼?A﹣ PB﹣ D 的余弦值為 ，則，即 ，∴ ． ∴ 設(shè) EC 與平面 PAB 所成的角為 θ， ∵ ， ∴ ． 所以 EC 與平面 PAB 所成角的正弦值為 515 ． 23． 解： （Ⅰ） ,PC BC PC AB AB BC B? ? ? ?, PC??平面 ABC ， AC? 平面 ABC ， PC AC??． （Ⅱ） 在平面 ABC 內(nèi)，過(guò)點(diǎn) C 作 BC 的垂線，并建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示 設(shè) ? ? ? ? ? ? 3 1 3 30 , 0 , 0 , 0 , , 0 , 1 , , , 0 , ,2 2 2 2P z C P z A M z z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 22c o s 60 c o s 3AM C P zAM C PAM C P zz?? ? ? ? ? ? ?? ??，且 0z? , 21 3 31 , , 12 2 23z z A Mz ??? ? ? ? ? ? ??????． 設(shè)平面 MAC 的一個(gè)法向量為 ? ?, ,1n x y? , 則由33 10 30 2230 311022xyn AM xn C A yxy? ?? ? ? ??? ?? ??? ? ???? ? ???? ??? ???? ???， 3 , 1,13n ??? ? ? ?????, ?平面 ABC 的一個(gè)法向量為 ? ?0,0,1CP? , 21c o s , 7n C Pn C Pn C P?? ? ? ??, 顯然，二面角 M AC B??為銳二面角， 所以二面角 M AC B??的余弦值為 217 ． （Ⅲ） (0, 2,0)BC ?? ,點(diǎn) B 到平面 MAC 的距離 2 217BC ndn???． 24． 解： （Ⅰ） 解法一 ：連結(jié) AB 、 11AB ， ∵ CC,1 分別是矩形 11ABBA 邊 11BA 、 BA 的中點(diǎn)， ∴ 1AC CC? ， 1BC CC? ， AC BC C??, ∴ 1CC ?面 ABC ． ∴ ACB? 為二面角 11A CC A?? 的平面角， 則 60OACB?? ． ∴ ABC? 為正三角形，即幾何體 111 CBAABC ? 是正三棱柱 ． ∴四邊形 11AABB 為正方形 ,∴ BAAB 11 ? ． 取 BC 中點(diǎn) O ，連結(jié) AO ，則 BCAO? ． ∵正三棱柱 111 CBAABC ? 中，平面 ABC ⊥平面 11BBCC 交于 BC， ∴ AO ⊥平面 11BBCC , ∵ ?BD 平面 11BBCC ,∴ AO ⊥ BD , 在正方形 11BBCC 中，∴ BDOB ?1 , ∵ OOBAO ?? 1 ,∴ BD ⊥面 OAB1 ，∴ BD ⊥ 1AB ． 1BD A B B? ∴ 1AB ⊥平面 DAB1 ．∴ 1AB ⊥ 1AD． （Ⅰ） 解法二： 連結(jié) AB 、 11AB ， ∵ CC,1 分別是矩形 11ABBA 邊 11BA 、 BA 的中點(diǎn)， ∴ 1AC CC? ， 1BC CC? ， AC BC C??,∴ 1CC ?面 ABC ∴ ACB? 為二面角 A CC A???? 的平面角，則 60OACB?? ． ∴ ABC? 為正三角形，即幾何體 111 CBAABC ? 是正三棱柱 ． 取 BC 中點(diǎn) O ，連結(jié) AO 則 BCAO? ， ∵正三棱柱 111 CBAABC ? 中，平面 ABC ⊥平面 11BBCC ， ∴ AO ⊥平面 11BBCC ,取 11CB 中點(diǎn) 1O ，以 O 為原點(diǎn)， OAOOOB ， 1 的方向?yàn)?,xyz 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè) 1 2AA? ，則)0,0,1(B ，)0,1,1(?D , )3,0,0(A , )3,2,0(1A , )0,2,1(1B 則 1 (1, 2 3)AB ?? ， 1 ( 1, 1, 3 )AD ? ? ? ?， ∴11 ( 1 , 1 , 3 ) ( 1 , 2 3 ) 1 2 3 0A B A D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 11AB AD? ∴ 1AB ⊥ 1AD． （Ⅱ） 解： 設(shè)平面 DAB 11 的法向量為 ),( zyxn? ∵ )3,0,1(11 ??BA ， )3,1,1(1 ????DA ∵ 11BAn? , DAn 1? ∴???????0.0.111DAnBAn ,∵ 3 0,3 0,xzx y z? ????? ? ? ??? ∴ 2 3 ,3yzxz? ??????? 令 1z? 得 ( 3, 2 3,1)n ?? 為平面 DAB 11 的一個(gè)法向量 ． 由 （Ⅰ） 得 1 (1, 2, 3)AB ??,設(shè) 1AB 與平面 11ABD 所成角為 ? ， 11(x) 0， 此時(shí) f (x) 單調(diào)遞增， x∈(m + 1,1) 時(shí)， f 39。(x)≥ 0， 此時(shí) f (x) 在 R 上單調(diào)遞增 ② 當(dāng) m + 1 1， 即 0 m 2 時(shí)， x∈ (－ ,1) 時(shí)， f 39。時(shí)，折線段道 MNP 最長(zhǎng) 5． 解： 設(shè) , ?? ???? M A CB A M 則由 B A MC ??? tan 1tan 得 0)cos( ???C ， 則 o90???C ???? 90B? ABM? 中，由正弦定理得 .s ins in,s ins in MBAMBBAMBM ?? ?? 即 同理得 ,sinsin MCAMC ?? ,MCMB ?? ,sinsinsinsin ?? CB ?? BC s ins ins ins in ?? ?? ,90,90 ?????? BC ??? ???? c o ss inc o ss in ?? 即 ,2sin2sin ?? ? ????? 90???? 或 當(dāng) 090???? 時(shí)， ,21 MCBCAM ?? 與 AMC? 的三邊長(zhǎng)是連續(xù)三個(gè)正整數(shù)矛盾， CB ?????? ,?? ， AB?? 是等腰三角形。 （ Ⅱ）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用 100 元，設(shè) X 表示直到檢測(cè)出 2 件次品或者檢測(cè)出 3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 ． 15． 某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有 4個(gè)紅球、 6 個(gè)白球的甲箱和裝有 5 個(gè)紅球、 5 個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出 1 個(gè)球，在摸出的 2 個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有 1 個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng) ． （ Ⅰ ）求顧客抽獎(jiǎng) 1 次能獲獎(jiǎng)的概率； （ Ⅱ ）若某顧客有 3 次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在 3 次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為 X，求 的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差 ． 16． 甲、乙兩家外賣(mài)公司，其送餐員的 日工資方案如下： 甲 公司底薪 70 元，每單抽成 2 元；乙 公司無(wú)底薪， 40 單以內(nèi) (含 40 單 )的部分每單抽成 4 元，超出 40 單的部分每單抽成 6 元．假設(shè)同一公司 送餐員 一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名 送餐 員，并分別記錄其 100 天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表： （ Ⅰ ）現(xiàn)從 甲 公司記錄的這 100 天中隨機(jī)抽取兩天，求這兩天送餐單數(shù)都大于 40 的概率； （ Ⅱ ）若將頻率視為概率，回答以下問(wèn)題： （ⅰ ）記 乙 公司 送餐員 日工資為 X (單位：元 ),求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ ⅱ ）小明擬到 甲 、 乙 兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員 ，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇 ，并說(shuō)明理由 ． 17． 從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取 500 件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： （ I） 求這 500 件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) x ,中位數(shù)和樣本方差 2s （同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）； （Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值 Z 服從正態(tài)分布 2( , )N?? ，其中 ? 近似為樣本平均數(shù) x ， 2? 近似為樣本方差 2s ． (i)利用該正態(tài)分布，求 (18 7. 8 21 2. 2)PZ??； （ ii）某用戶從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了 100 件這種產(chǎn)品，記 X 表示這 100 件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間（ 187． 8,212． 2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（ i）的結(jié)果，求 EX ． 附： 150 ≈ 12． 2． 若 Z ～ 2( , )N?? ，則 ()PZ? ? ? ?? ? ? ?=0． 6826， ( 2 2 )PZ? ? ? ?? ? ? ?=0． 9544． 18． 第 31 屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于 2022 年 8 月 5 日 —21 日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行 ． 下表是近五屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：枚） ． 第 30 屆 倫敦 第 29 屆 北京 第 28 屆 雅典 第 27 屆 悉尼 第 26 屆 亞特蘭大 中國(guó) 38 51 32 28 16 俄羅斯 24 23 27 32 26 （ Ⅰ ）根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運(yùn)會(huì)兩國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可）； （ Ⅱ ）甲、乙、丙三人競(jìng)猜今年中國(guó)代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)中的哪一個(gè)獲得的金牌數(shù)多（假設(shè)兩國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)不會(huì)相等），規(guī)定甲、乙、丙必須在兩個(gè)代表團(tuán)中選一個(gè)，已知甲、乙猜中國(guó)代表團(tuán)的概率都為45，丙猜中國(guó)代表團(tuán)的概率為35，三人各自猜哪個(gè)代表團(tuán)的結(jié)果互不影響 ． 現(xiàn)讓甲、乙、丙各猜一次，設(shè)三人中猜中國(guó)代表團(tuán)的人數(shù)為 X，求 的分布列