【正文】 1F ? ?? ?圖 210 f(t)=et及其采樣信號(hào)頻譜 北京航空航天大學(xué) 19 采樣定理 1．采樣定理 ? 連續(xù)信號(hào)被采樣，由于采樣在時(shí)域內(nèi)只保留了采樣時(shí)刻的信息，丟失了采樣間隔之間的信息，可能使采樣信號(hào)與原連續(xù)信號(hào)特性相差 較大 。 ? 混疊的程度與采樣頻率 大小有關(guān) 。 圖 29兩個(gè)余弦信號(hào)的采樣信號(hào)值 (T=1s) 北京航空航天大學(xué) 18 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 例 23 畫出 f (t)=et(t0時(shí)， f (t)＝ 0)和它對(duì)應(yīng)的采樣信號(hào)的幅頻特性 ? 信號(hào)的頻譜無限 。 ? 采樣信號(hào)頻譜在以下兩種情況下，將產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象： 連續(xù)信號(hào)的頻譜帶寬有限，但采樣頻率太低 , 如 ?s 2?m (?m 信號(hào)中的最高頻率 )。 北京航空航天大學(xué) 17 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 ? 假頻現(xiàn)象在時(shí)域中有清楚的物理意義 。 ? f2=7/8Hz的余弦信號(hào)，采樣后變?yōu)榈皖l f1=1/8Hz的余弦信號(hào) 。 圖 28兩個(gè)余弦信號(hào)采樣信號(hào)頻譜 北京航空航天大學(xué) 16 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 ? 采樣信號(hào)頻譜 如 圖 (b) 、 (d)所示 。試研究其頻譜及時(shí)域特性 。 ? 若 ?s2?m 時(shí)，采樣信號(hào)各頻譜分量互相交疊，產(chǎn)生嚴(yán)重的頻率混疊現(xiàn)象，如圖 27(b)所示 。 (2) 當(dāng) n?0時(shí)，派生出以 ?s為周期的高頻諧波分量 旁帶每隔 1個(gè) ?s，重復(fù)原連續(xù)頻譜 F(j?)/T 1次，如圖 26(b)所示。 北京航空航天大學(xué) 11 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 (3) 采樣信號(hào)的拉氏變換與連續(xù)信號(hào)的拉氏變換乘積的離散化，則有 ? 該特性在討論離散系統(tǒng)方塊圖簡化時(shí)將非常有用 。 ? F(s) 的零點(diǎn)的位置并不能唯一地確定 F*(s) 零點(diǎn)的位置。 1, 177。 1， 177。 ? 采樣開關(guān)采用單位脈沖序列描述，僅是數(shù)學(xué)上等效，理想采樣器在物理上是不可能實(shí)現(xiàn)的 。 ? 理想采樣信號(hào)是幅值強(qiáng)度為 f(kT) 的脈沖序列 。 北京航空航天大學(xué) 6 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 2 理想采樣信號(hào)的時(shí)域描述 1）理想采樣開關(guān)的數(shù)學(xué)描述 ? 用 ?函數(shù)來描述 ? 理想采樣開關(guān) 其時(shí)域數(shù)學(xué)表達(dá)式為 表示延遲 kT時(shí)刻出現(xiàn)的脈沖 ，定時(shí)作用 . 圖 22 理想采樣開關(guān)的數(shù)學(xué)描述 ()? ?t kT()Tkt k T???? ? ????北京航空航天大學(xué) 7 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 2) 理想采樣信號(hào)的時(shí)域數(shù)學(xué)描述 ? 理想采樣信號(hào) f *(t)可以看作是連續(xù)信號(hào) f(t) 被單位脈沖序列串 ?T調(diào)制的過程。 ? 單速率系統(tǒng)：系統(tǒng)里，各點(diǎn)采樣器的采樣周期均相同。 ? 非均勻采樣：采樣周期是變化的。 為避免在采樣時(shí)間內(nèi)被采樣信號(hào)的變化，提高采 樣信號(hào)的精度，通常在采樣開關(guān)之后接有零階保持器，以保證采樣器的輸出為恒值 。1 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng) 第 2章 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的 數(shù)學(xué)描述 北京航空航天大學(xué) 2 本章主要內(nèi)容 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)信號(hào) 離散系統(tǒng)的時(shí)域描述 差分方程 離散系統(tǒng) z域描述 脈沖傳遞函數(shù) 離散系統(tǒng)頻域描述 頻率特性 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述 狀態(tài)方程 應(yīng)用實(shí)例 ? 本章小結(jié) 北京航空航天大學(xué) 3 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)信號(hào) ? 本節(jié)主要內(nèi)容 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 采樣定理 信號(hào)的恢復(fù)與重構(gòu) 信號(hào)的整量化 北京航空航天大學(xué) 4 ? 采樣器就是不同形式的“開關(guān)” ? p采樣時(shí)間 ， 采樣所得的脈沖寬度 ? T采樣周期 ，采樣開關(guān)相鄰 2次閉合之間的間隔時(shí)間，單位為 s 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 圖 21 采樣過程描述 北京航空航天大學(xué) 5 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 ? fs=1/T采樣頻率 (Hz) 。 ? ?s＝ 2?fs＝ 2?/T采樣角頻率 (rad/s)，簡稱采樣頻率 ? 理想采樣過程 若 Tp，近似認(rèn)為采樣瞬時(shí)完成，即認(rèn)為 p?0，理想采樣信號(hào)用 f *(t)表示 。 ? 均勻采樣：整個(gè)采樣過程中采樣周期不變。 ? 隨機(jī)采樣：采樣間隔大小隨機(jī)變化。 ? 多速率系統(tǒng)：各點(diǎn)采樣器的采樣周期不相同。 圖 23 采樣器 — 脈沖幅值調(diào)制器 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???Tkkf t f t t f t t k T f t t k T北京航空航天大學(xué) 8 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 ? 理想采樣信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式 f(t)在 t 0時(shí)都為零， f(t) 僅在脈沖發(fā)生時(shí)刻有效，記為 f(kT) 。 ? 有時(shí)也可采用 f(kT)表示采樣信號(hào)序列 ， 表示一列數(shù)， 不能反映實(shí)現(xiàn)瞬時(shí)采樣的物理過程 。 *0( ) ( ) ( )kf t f k T t k T??????北京航空航天大學(xué) 9 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 3 理想采樣信號(hào)的復(fù)域描述 1) 理想采樣信號(hào)的拉氏變換 (1) 依時(shí)域信號(hào)求采樣信號(hào)拉氏變換 (2) 依 F(s) 求取采樣信號(hào)拉氏變換 * * *0000( ) [ ( ) ] ( ) e d( ) ( ) e d ( ) ess k TskkF s L f t ff k T k T f k T????? ? ????????????? ? ?????*s1( ) ( j )nF s F s nT ??? ? ????北京航空航天大學(xué) 10 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 ? 采樣信號(hào)拉氏變換 2) F*(s)的特性 (1) F*(s)是周期函數(shù)，其周期值為 j?s， F*(s+jm?s)＝ F*(s) m＝ 177。 2， … (2) 若 F(s)在 s＝ s1處有一極點(diǎn)， F*(s)必然在 s=s1+jm?s處具有極點(diǎn) m=0,177。 2， … ? F(s) 的極點(diǎn)在 s平面上的位置唯一地確定了 F*(s)極點(diǎn)的位置。 ? F*(s) 零點(diǎn)也是 ?s的周期函數(shù) 。 * * *( ) [ ( ) ( )]?Y s E s G s圖 24 F*(s) 的零 極點(diǎn)分布 * * * *( ) [ ( ) ] ( ) ( )??E s G s E s G s* * *( ) [ ( ) ( ) ]?Y s E s G s北京航空航天大學(xué) 12 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 4 理想采樣信號(hào)的頻域描述 1) 理想采樣信號(hào)的頻譜 ?幅頻譜的計(jì)算 ?工程近似為 ： *ss1( j ) ( j j )nF F nT? ? ??? ? ????*s s s11( j ) ( j j ) ( j j )nnF F n F nTT? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ???*s1( j ) ( j j )nF F nT? ? ??? ? ????* s1( ) ( j )nF s F s nT ??? ? ????s=j?s 北京航空航天大學(xué) 13 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 ? F*(j?)和 F(j?)的關(guān)系如下 ： (1) 當(dāng) n＝ 0時(shí)， F*(j?)＝ F(j?)/T采樣信號(hào)的基本頻譜 正比于原連續(xù)信號(hào) f (t)的頻譜，僅幅值相差 1/T。 圖 26 連續(xù)信號(hào)頻譜和采樣信號(hào)頻譜 北京航空航天大學(xué) 14 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 2). 頻譜混疊 ? 若連續(xù)信號(hào)的頻譜帶寬有限，最高頻率為 ?m， 采樣頻率 ?s≥2?m，則采樣后派生出的高頻頻譜和基本頻譜不會(huì)重疊，如圖 26(b)所示 。 02s?2s?()sm?? ?s?()sm?? ?m?m??()sm????s??()sm????1 / T* ()Fj ? 1n ??1n ? ?m?m??0()Fj ?1( a ）( b )?圖 27 ?m ?s /2時(shí)頻 譜 響應(yīng)產(chǎn)生混疊 北京航空航天大學(xué) 15 采樣過程數(shù)學(xué)描述及特性 例 22 兩個(gè)頻率為 f1=1/8Hz 、 f2=7/8Hz的余弦信號(hào)被采樣頻率為 fs=1Hz的采樣開關(guān)采樣。 ? 連續(xù)余弦信號(hào)的頻譜為位于相應(yīng)頻率處的脈沖，如圖（ a） 、 (c) 所示 。 ? 從圖可見，兩個(gè)信號(hào)的采樣信號(hào)頻譜完全相同。 ? f0=fs f2 =(17/8) Hz=1/8 Hz頻譜 7/8Hz的假頻 。 ? 兩個(gè)信號(hào)在所有采樣時(shí)刻都具有相同的采樣值 。 連續(xù)信號(hào)的頻譜是無限帶寬 。 ? 采樣信號(hào)的各頻譜分量 互相有混疊 。 ? 產(chǎn)生混疊時(shí)，輸出與 輸入信號(hào)靜態(tài)比值不 等于 1/T，視混疊程度而定 。 ? 圖 211為蒸汽加熱冷水系統(tǒng) .其中 ． (b)連續(xù)記錄 ． (c)T=2min時(shí)采樣記錄 ． (d)T=記錄 圖 211 正弦振蕩信號(hào)的采樣 北京航空航天大學(xué) 20 采樣定理 ? 采樣定理（香農(nóng)定理） ? 采樣定理可以利用采樣信號(hào)的頻譜特性加以說明 。 ? 上例中， T=2min時(shí)不滿足采樣定理，采樣信號(hào)失真 。 或者說，如果采樣頻率 ?s2?max， 那么就可以從 采樣 信號(hào)中不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào) 。 ? 如果兩個(gè)連續(xù)信號(hào)的頻率相差正好是 ?s的整數(shù)倍，即?1?2=n?s（ n為整數(shù)），則它們的采樣值相同。 ? ?22( ) c o s( ) c o s ( 2 π 7 / 8 ) 1 c o s( 2 π 2 π / 8 )x k T k T k k k?? ? ? ? ? ?? ? 1c os( 2 π / 8 ) c os ( 2 π / 8 ) ( )k k T x k T? ? ? ?北京航空航天大學(xué) 22 采樣定理 (2) 隱匿振蕩 (Hidden oscillation) ? 如果連續(xù)信號(hào) x(t) 的頻率分量等于采樣頻率 ?s的整數(shù)倍，則該頻率分量在采樣信號(hào)中將會(huì)消失 。 ?在采樣間隔之間， x(t) 中存在的振蕩稱為隱匿振蕩 。 ? 解決方法： 按高頻干擾的頻率選取采樣頻率 ?s， 但會(huì)使采樣頻率 ?s過高 ， 難于實(shí)現(xiàn) 。 ? 主要作用： 濾除連續(xù)信號(hào)中高于 ?s/2的頻譜分量，防止頻譜混疊 . 濾除高頻干擾 。 FF( ) 1 / ( 1 )G s T s??北京航空航天大學(xué) 25 1 理想恢復(fù)過程 ? 信號(hào)恢復(fù)： 時(shí)域上 — 由離散的采樣值求出所對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間函數(shù)； 頻域上 — 除去采樣信號(hào)頻譜的旁帶，保留基頻分量。 信號(hào)的恢復(fù)與重構(gòu) 圖 214采樣信號(hào)通過理想濾波器的恢復(fù) 北京航空航天大學(xué) 26 信號(hào)的恢復(fù)與重構(gòu) ? 理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的 。 2 非理想恢復(fù)過程 ?