【正文】 關 n 的解分別乘以任意常數(shù)后相加， 即得 方程 ① 的通解。 ∵ xiey )(1 ???? 、 xiey )(2 ???? 是方程①的特解， )s i n(c os1 xixey x ???? ? ， )s i n(c os2 xixey x ???? ? ， 由 歐拉公式 可得????? s inc o s ie ixeyyy x ???? ? c os)(21 211 ， xeyyiyx ???? ? s i n)(21212 ， , c ots i nc os21 不是常數(shù)xxexeyyxx???????（其中 ?? , 為特征方程的復根的實部及虛部）。 設 為待定函數(shù))( ,)(2 xuexuy rx? 。xrxr eCeCy 21 21 ??)]()(2)([ 22 xurxurxuey rx ???????? 代入方程①得 0)]()()()2()([ 2 ????????? xucbrarxubarxuae rx ， ∵ 0?rxe ， 0a ,02 2 ????? cbrrbar ， ∴ 0)( ??? xu ， 取 0)( ??? xu 的一個解 xxu ?)( ，則 rxxey ?2 。2 ．特征方程的根是兩個相等實數(shù)的情形。 若 是一元 r 二次方程②的一個根 ， 則 rxey ? 就是 方程①的一個特解。 （一）二階常系數(shù)線性齊次方程的解法將 rxrey ?? ， rxery 2??? ， rxey ? 代入方程①， 0?????? cyybya ， ① 猜想方程①具有 rxey ? 形式的解， 其 中 為待定常數(shù) r ， 得 0)( 2 ??? cbrare rx ， 但 0?rxe ， 故有 02 ??? cbrar ， ② 方程②叫做方程①的 特征方程 。 1232 . 1 ,1 , 1xxy x ey e y x? ? ?? ? ? ?例 已知某二階線性非齊次微分方程的三個特解：，求該方程的通解。 上面結論也適合于一階線性非齊次方程，還可推廣到二階以上的線性非齊次方程。 求二階線性非齊次方程通解的一般步驟 ：（ 1 ）求二階線性齊次方程 0)()()( 21 ?????? yxayxayxa ? 的 兩個線性無關的特解，得該方程的通解 2211 yCyCY ?? 。 （二） 二階線性微分方程解的結構 設 二階線性齊次方程為 0)()()( 21 ?????? yxayxayxa ? ① 二階線性非齊次方程為 )()()()( 21 xfyxayxayxa ??????? ② 定理 1 定理 3 ② 若函數(shù) 是 )( x y ? 二階線性非齊次方程②的一個特解， 是 )( x Y 方程②所對應的齊次方程①的通解，則 ) ( ) ( ) ( x y x Y x y ? ? ? 是方程 的通解。 例 1 ． 判別下列兩函數(shù) 是否是線性無關的？ （ 1 ） 若 )()( 21 xyxy 和 是二階線性齊次方程①的兩個解， 則 )()( 2211 xyCxyCy ?? 仍為方程①的解，其中 21 , CC 為兩個常數(shù)。 xe ? ， xxe ? 。 若 kxyxy?)()(21（或 kxyxy?)()(12）， 則 與)(1 xy )(2 xy 線性無關。 否則就稱 )( , ),( ),( 21 xyxyxy m? 在 上區(qū)間 I 線 性無關。 （ 1 ） 065 ?????? yyy ； （ 2 ） xyyy si n3 ????? ； （ 3 ） 053222??? xdtdxdtxd； （ 4 ） 0c o s ???? yy。 )()()()( 21 xfyxayxayxa ???????這類方程的特點是：右邊是已知函數(shù)或零，左邊的 每一項僅含 yyy 或或 ??? ， 且每項均為 yyy 或或 ??? 的 一次項。167。 4. 3 二階線性微分方程 二階線性微分方程的一般形式為（ 1 ）當 0)( ?xf 時，稱為 二階線性齊次方程 ， （ 2 ）當 0)( ?xf 時，稱為 二階線性非齊次方程 。 例 1 ．判定下列方程是否是二階線性微分方程。 （一） 函數(shù)的線性相關性定義 1 設函數(shù) )( , ),( ),(21xyxyxym? 在 上區(qū)間 I 有 定義 ，若存在不全為零的常數(shù)mkkk , , ,21? ，使當 時 Ix ? ，有 0)()()(2211???? xykxykxykmm? ， 則稱 函數(shù) )( , ),( ),(21xyxyxym? 在 上區(qū)間 I 線性相關。 167。 在 I上線性相關 在 I 上成比例 . )(),( 21 xyxy? )(),( 21 xyxy解 : （方法一） 設 021 ?? ?? xx xekek ， 即 0)( 21 ??? xkke x ， ∵ 0?? xe ，故 021 ?? xkk ，則必有 021 ?? kk ， ∴ xx xee ?? 與 線性無關。 （方法二） ∵ 常數(shù)???? 1xxeexx ， ∴ xx xee ?? 與 線性無關。 （ 2 ）若 )()( 21 xyxy 和 是二階線性非齊次方程②的兩個解， 則 )()( 21 xyxyy ?? 為對應的齊次方程①的解。 定理 2 若 )()( 21 xyxy 和 是二階線性齊次方程①的兩個線性 無關的解，則方程①的通解為 )()( 2211 xyCxyCy ?? ， 其中 21 , CC為任意常數(shù)。 （ 2 ）求二階線性非齊次方程 )()()()( 21 xfyxayxayxa ???