【正文】 i n次獨(dú)立重復(fù)的試驗中，隨機(jī)事件 A 平均 將要發(fā)生 np 次；或者是在有放回的抽樣中， 取出的 n 件產(chǎn)品里平均要包含 np 件次品。 X ? ? 隨機(jī)變量的 (中心 )標(biāo)準(zhǔn)化 4. D(X) = 0 P{X=C}=1,C=E(X) 1( ) ( ) [ ( ) ] 0XE Y E E X? ????? ? ? ?2211( ) ( ) ( ) ( ) 1XD Y D D X D X? ?? ? ??? ? ? ? ?例 假定 n 個獨(dú)立隨機(jī)變量 X1 ,… ,Xn 具有相同的期望 ? 和方差 ?2 ，定義 Sn = X1 +… +Xn 計算 Sn的期望、方差并且把 Sn 中心標(biāo)準(zhǔn)化。 如果只射擊一次，誰的成績可能更好一些 ？ X 8 9 10 Y 8 9 10 p p 與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比較： E(a+bX) = a + b EX 平移改變隨機(jī)變量期望，但不會改變方差 1. 隨機(jī)變量線性變換的方差公式 設(shè) a、 b 是兩個常數(shù)，則有 D(a+bX) = b2 DX ； 2. 獨(dú)立 和的方差等于方差的和 如果 X X … 、 Xn 相互獨(dú)立 ，則 D(X1+X2+…+ Xn) = DX1 + DX2 + … + DXn 與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比較： 任意隨機(jī)變量和的期望等于期望的和 ； 獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積。 即 DX = 0 ? P (X=EX) = 1 例 射擊教練將從他的兩名隊員中選擇 一人參加比賽，應(yīng)該是甲還是丙更合適？ 解 . 這里甲、丙兩人的平均成績都是 EX = EZ = 需要比較方差，簡單計算后可以得到： DX = ， DZ = 因此應(yīng)該選擇甲隊員去參加比賽。 期望是一個隨機(jī)變量取值的平均，方差是 隨機(jī)變量在這個平均值附近取值的分散程度。 方差 1. 方差的計算公式 方差總是非負(fù)常數(shù)，期望可以是任意實數(shù)。 1,0iiX ????第 站 有 人 下1 2 1 0X X X X??209{ 0 } ( )10iPX ??209{ 1 } 1 ( )10iPX ? ? ?209( ) 1 ( )10iEX ??209( ) 1 0 [ 1 ( ) ] 8 . 7 8 410EX ? ? ?則 習(xí)題： 9 方差的定義 如果 (X – EX)2 的數(shù)學(xué)期望存在， 即 E(X EX)2 ＜ + ∞ ， 則稱它是 X 的方差，記為 DX 或者 Var(X)。其規(guī)律為 到站時間 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率 1/6 3/6 2/6 一旅客 8:20到站，求他候車時間的數(shù)學(xué)期望。 例 有 2個相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命 Xk服從同一指數(shù)分布 1,0( ) 00 , 0xexfx x??????????? ??若將這 2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命 N的數(shù)學(xué)期望。 這種賭博對莊家有利，平均每一局 他將凈賺 元。 以 X 記每局賭博中莊家的獲利 (可以為負(fù) ) ， 則 X 所有可能的取值是 400 與 100 。如果全是真的，則贏得 這 400元；如果這 4 張中至少有一張假幣， 只輸 100 元。 平均利潤為： EX = 5 + 0 + ( 10) = ， 而同期銀行的利息是 10 = ， 因此從期望收益的角度應(yīng)該投資這個項目。 □ 例 一位射擊教練將從兩個候選人中挑選 一人作為他的隊員，甲還是乙的成績更好？ 成績 (環(huán)數(shù) ) 8 9 10 甲的概率 乙的概率 解 . 以 X、 Y 分別表示甲、乙射擊一次的結(jié)果， X 的數(shù)學(xué)期望 (甲射擊一次的平均成績 )是 EX = 8 + 9 + 10 = (環(huán) )， 同理，乙射擊一次的平均成績是 EY = 8 + 9 + 10 = (環(huán) )。 剩下的比賽中最多再進(jìn)行兩局，所有可能 的情況是：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙；其中有 3 種情況是甲贏得全部 200元。 級數(shù)絕對收斂 2. 連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 如果 X 的密度函數(shù) f (x) 滿足 | ( ) |x f x d x????? ? ??則連續(xù)隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望是積分： ()E X xf x dx????? ?例 (期望概念的來源 ) 甲、乙各出 100元賭注，約定誰先獲勝 3 局 就贏得全部 200元，他們在每一局中輸贏的機(jī)會 相同，在前 3 局比賽后賭博因故中止，此時甲 二勝一負(fù)，問他們應(yīng)該如何分賭注？ 解 . 兩人各分 100元顯然對甲不公平； 按照 2 :1 的比例仍然不合理。 1. 離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 如果 X 的分布律 P { X=xk }= pk ,k≥1 滿足 ∑k≥1 | xk pk | ＜ + ∞， 則 X 的數(shù)學(xué)期望定義為求和： EX = ∑k≥1 xk pk 級數(shù)絕對收斂的條件是為了保證期望 不受求和順序的影響。第 4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 數(shù)學(xué)期望 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 矩 方差 數(shù)學(xué)期望 (均值 ) 的定義 即一個隨機(jī)變量的平均取值，是它所有 可能取值的加權(quán)平均，權(quán)是這些可能值相應(yīng) 的概率。 數(shù)字特征是由隨機(jī)變量決定的一些常數(shù)， 期望與方差是其中最重要的兩個特征，它們 只能刻化隨機(jī)變量的部分性質(zhì)。并不是任何隨機(jī)變量 都有期望（習(xí)題第 4題）。 公平的方法是： 假定賭博能夠繼續(xù)進(jìn)行， 他們應(yīng)該按照各自的“期望”所得來分。 以 X、 Y 分別定義甲、乙兩人最終所得， X 0 200 Y 0 200 p p 顯然 EX = 150， EY = 50，所以公平 的辦法是他們以 3 :1 的比例分賭注。 □ 解 . 以 X 記這個項目 的投資利潤。 □ 利潤 5 0 10 概率 例 某人有 10 萬元，如果投資于一項目 將有 30%的可能獲利 5 萬， 60% 的可能不賠 不賺，但有 10%的可能損失全部 10 萬元； 同期銀行的利率為 2% ，問他應(yīng)該如何決策？ 例 假定某人設(shè)計了如下一個賭局： 每個人從有 3 張假幣的 10 張 100 元紙幣中 隨機(jī)地抽出 4 張。問這種規(guī)則是否公平，或者 說你是否愿意參加？ 解 . 一個公平合理的賭博或博弈規(guī)則必須是 雙方的平均獲利都等于 0。 在古典概率模型中已經(jīng)得到 X 的分布律 xk 400 100 pk — — X 的數(shù)學(xué)期望，即莊家在每局賭博中 的平均獲利為：