【正文】 xyf????，00yyxxyz?? 或 ),(00yxfy.00yyxxxz????，00yyxxxf????，00yyxxxz?? 或 ),( 00 yxf x .如果函數(shù) ),( yxfz ? 在區(qū)域 D 內(nèi)任一點(diǎn)),( yx 處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是 x 、 y 的函數(shù)，它就稱為函數(shù) ),( yxfz ? 對自變量 x 的偏導(dǎo)數(shù)， 記作xz??，xf??， xz 或 ),( yxf x .同理可以定義函數(shù) ),( yxfz ? 對自變量 y 的偏導(dǎo)數(shù)，記作yz??，yf??， yz 或 ),( yxf y .８、高階偏導(dǎo)數(shù) ),(22yxfx zxzx xx?????????? ???? ),(22yxfy zyzy yy?????????? ????),(2yxfyx zxzy xy??????????? ???? ).,(2yxfxy zyzx yx??????????? ???函數(shù) ),( yxfz ? 的二階偏導(dǎo)數(shù)為純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) . 如果函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),( yx 的全增量),(),( yxfyyxxfz ??????? 可以表示為)( ?oyBxAz ?????? ，其中 A , B 不依賴于yx ?? , 而僅與 yx , 有關(guān)，22)()( yx ????? ，則稱函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),( yx 可微分，yBxA ??? 稱為函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),( yx 的全微分，記為 dz ，即 dz = yBxA ??? .９、全微分概念 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系 函數(shù)可微 函數(shù)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 函數(shù)可導(dǎo) 全微分的應(yīng)用 ,),(),( yyxfxyxfdzZ yx ??????.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx ?????????有很小時(shí)當(dāng) , yx ??主要方面 :近似計(jì)算與誤差估計(jì) . 1復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 定理　如果函數(shù) )( tu ?? 及 )( tv ?? 都在點(diǎn) t 可導(dǎo)，函數(shù) ),( vufz ? 在對應(yīng)點(diǎn) ),( vu 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) )](),([ ttfz ??? 在對應(yīng)點(diǎn) t 可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： dtdvvzdtduuzdtdz?????? ．以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為 全導(dǎo)數(shù) . dtdz 如果 ),( yxu ?? 及 ),( yxv ?? 都在點(diǎn) ),( yx具有對 x 和 y 的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù) ),( vufz ? 在對應(yīng)點(diǎn) ),( vu 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))],(),([ yxyxfz ??? 在對應(yīng)點(diǎn) ),( yx 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算 xvvzxuuzxz????????????， yvvzyuuzyz????????????.1全微分形式不變性 無論 是自變量 的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的 . z vu、 vu、dvvzduuzdz ?????? .0),()1( ?yxF隱函數(shù)存在定理 1 設(shè)函數(shù) ),( yxF 在點(diǎn) ),(00yxP 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 0),(00?yxF ，0),(00?yxFy，則方程 0),( ?yxF 在點(diǎn) ),(00yxP 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) )( xfy ? ，它滿足條件 )(00xfy ? ，并有 yxFFdxdy?? .隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 1隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 隱函數(shù)存在定理 2 設(shè)函數(shù) ),( zyxF 在點(diǎn) ,(0xP),00zy 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 ,(0xF0),00?zy ， 0),(000?zyxFz，則方程 ,( yxF0) ?z 在點(diǎn) ),(000zyxP 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),( yxfz ? ，它滿足條件 ),(000yxfz ? ，并有 zxFFxz????， zyFFyz????.0),()2( ?zyxF?????0),(0),()3(vuyxGvuyxF隱函數(shù)存在定理 3 設(shè) ),( vuyxF 、 ),( vuyxG 在點(diǎn) ),(0000vuyxP 的某一鄰域內(nèi)有對各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 0),(0000?vuyxF , ),(0000vuyxG0? ，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式 （或稱雅可比式） vGuGvFuFvuGFJ????????????),(),(在點(diǎn) ),(0000vuyxP 不等于零，則方程組 0),( ?vuyxF 、 0),( ?vuyxG在點(diǎn) ),(0000vuyxP 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ),( yxuu ? ，),( yxvv ? ，它們滿足條件 ),(000yxuu ? , vv ?0),(00yx ，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu????????vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ????????),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu ????????.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv ????????1多元函數(shù)的極值 設(shè)函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),(00yx 的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于 ),(00yx 的點(diǎn) ),( yx ：若滿足不等式 ),(),(00yxfyxf ? ，則稱函數(shù)在 ),( 00 yx 有極大值；若滿足 不等 式),(),(00yxfyxf ? ，則稱函數(shù)在 ),(00yx 有極小值；定義 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn) .定理 1 （必要條件）設(shè)函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),(00yx 具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn) ),(00yx 處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 0),( 00 ?yxf x ， 0),(00?yxfy.多元函數(shù)取得極值的條件 定義 一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為多元函數(shù)的 駐點(diǎn) . 極值點(diǎn) 注意 駐點(diǎn) 定理 2 （充分條件）設(shè)函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),(00yx 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 0),( 00 ?yxf x , 0),( 00 ?yxf y ， 令A(yù)yxf xx ?),( 00 ， Byxf xy ?),( 00 ， Cyxf yy ?),( 00 ，則 ),( yxf 在點(diǎn) ),(00yx 處是否取得極值的條件如下：（ 1 ） 02?? BAC 時(shí)有極值， 當(dāng) 0?A 時(shí)有極大值， 當(dāng) 0?A 時(shí)有極小值；（ 2 ） 02?? BAC 時(shí)沒有極值；（ 3 ） 02?? BAC 時(shí)可能有極值 .求函數(shù) ),( yxfz ? 極值的一般步驟：第一步 解方程組 ,0),(