【正文】 uuzyz????????????.1全微分形式不變性 無論 是自變量 的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的 . z vu、 vu、dvvzduuzdz ?????? .0),()1( ?yxF隱函數(shù)存在定理 1 設函數(shù) ),( yxF 在點 ),(00yxP 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且 0),(00?yxF ，0),(00?yxFy，則方程 0),( ?yxF 在點 ),(00yxP 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù) )( xfy ? ，它滿足條件 )(00xfy ? ，并有 yxFFdxdy?? .隱函數(shù)的求導公式 1隱函數(shù)的求導法則 隱函數(shù)存在定理 2 設函數(shù) ),( zyxF 在點 ,(0xP),00zy 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，且 ,(0xF0),00?zy ， 0),(000?zyxFz，則方程 ,( yxF0) ?z 在點 ),(000zyxP 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)),( yxfz ? ，它滿足條件 ),(000yxfz ? ，并有 zxFFxz????， zyFFyz????.0),()2( ?zyxF?????0),(0),()3(vuyxGvuyxF隱函數(shù)存在定理 3 設 ),( vuyxF 、 ),( vuyxG 在點 ),(0000vuyxP 的某一鄰域內(nèi)有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，且 0),(0000?vuyxF , ),(0000vuyxG0? ，且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式 （或稱雅可比式） vGuGvFuFvuGFJ????????????),(),(在點 ),(0000vuyxP 不等于零，則方程組 0),( ?vuyxF 、 0),( ?vuyxG在點 ),(0000vuyxP 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù) ),( yxuu ? ，),( yxvv ? ，它們滿足條件 ),(000yxuu ? , vv ?0),(00yx ，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu????????vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ????????),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu ????????.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv ????????1多元函數(shù)的極值 設函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),(00yx 的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于 ),(00yx 的點 ),( yx ：若滿足不等式 ),(),(00yxfyxf ? ，則稱函數(shù)在 ),( 00 yx 有極大值；若滿足 不等 式),(),(00yxfyxf ? ，則稱函數(shù)在 ),(00yx 有極小值；定義 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 .使函數(shù)取得極值的點稱為極值點 .定理 1 （必要條件）設函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),(00yx 具有偏導數(shù)，且在點 ),(00yx 處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零： 0),( 00 ?yxf x ， 0),(00?yxfy.多元函數(shù)取得極值的條件 定義 一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為多元函數(shù)的 駐點 . 極值點 注意 駐點 定理 2 （充分條件）設函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),(00yx 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又 0),( 00 ?yxf x , 0),( 00 ?yxf y ， 令Ayxf xx ?),( 00 ， Byxf xy ?),( 00 ， Cyxf yy ?),( 00 ，則 ),( yxf 在點 ),(00yx 處是否取得極值的條件如下：（ 1 ） 02?? BAC 時有極值， 當 0?A 時有極大值， 當 0?A 時有極小值；（ 2 ） 02?? BAC 時沒有極值；（ 3 ） 02?? BAC 時可能有極值 .求函數(shù) ),( yxfz ? 極值的一般步驟：第一步 解方程組 ,0),( ?yxf x 0),( ?yxf y求出實數(shù)解，得駐點 .第二步 對于每一個駐點 ),( 00 yx ，求出二階偏導數(shù)的值 CBA 、 .第三步 定出 2BAC ? 的符號，再判定是否是極值 .拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù) ),( yxfz ? 在條件 0),( ?yx? 下的可能極值點，先構(gòu)造函數(shù) ),(),(),( yxyxfyxF ???? ，其中 ? 為某一常數(shù)，可由 ??????????.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx?????解出 ?, yx ，其中yx ,就是可能的極值點的坐標 .條件極值 ：對自變量有附加條件的極值． 定 義 幾何意義 性 質(zhì) 計算法 應 用 二重積分 定 義 幾何意義 性 質(zhì) 計算法 應 用 三重積分 （一） 二重積分 定義 設 ),( yxf 是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域 D 任意分成 n 個小閉區(qū)域1?? ， ?,2?? ，n?? ，其中i?? 表示第 i 個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個i?? 上任取一點 ),(ii?? ，作乘積 ),( iif ?? i?? ， ),2,1( ni ?? ，并作和 iiniif ??? ???),(1，二重積分的定義 如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 ? 趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),( yxf 在閉區(qū)域 D 上的 二重積分 ，記為 ??Ddyxf ?),( ，即 ??Ddyxf ?),(iiniif ?????? ???),(li m10２、二重積分的幾何意義 當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積． 當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值． 性質(zhì)１ 當 為常數(shù)時， k.),(),( ???? ?DDdyxfkdyxkf ??性質(zhì)２ ?? ?Ddyxgyxf ?)],(),([.),(),( ???? ??DDdyxgdyxf ??３、二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)３ 對區(qū)域具有可加性 .),(),(),(21?????? ??DDDdyxfdyxfdyxf ???)( 21 DDD ??性質(zhì)４ ?若 為 D的面積 .1?? ?????D Ddd ???性質(zhì)５ 若在 D上， ),(),( yxgyxf ?.),(),( ???? ?DDdyxgdyxf ??特殊地 .),(),( ???? ?DDdyxfdyxf ??設 M 、 m 分別是 ),( yxf 在閉區(qū)域 D 上的最大值和最小值， ? 為 D 的面積，則 ?? ??DMdyxfm ??? ),( （二重積分估值不等式）性質(zhì)６ 設函數(shù) ),( yxf 在閉區(qū)域 D 上連續(xù)， ? 為 D的面積，則在 D 上至少存在一點 ),( ?? 使得 ???? ???? ),(),( fdyxfD.性質(zhì)７ （二