【正文】 ………………… 17 附錄 ……………………………………………………………………………… 18 謝辭 ……………………………………………………………………………… 20 1 1 Hermite 插值概述 Hermite 插值的定義 理論背景： 許多實際插值問題中，為使插值函數(shù)能更好地和原來的函數(shù)重合，不但要求二者在節(jié)點上函數(shù)值相等，而且還要求相切，對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等。滿足這種要求的插值多項式就是埃爾米特插值多項式。同時還要求在節(jié)點處，插值多項式的一階直至指定階的導(dǎo)數(shù)值，也與被插函數(shù)的相應(yīng)階導(dǎo)數(shù)值相等。我們稱xi為 mi重插值點節(jié) ,因此， Hermite 插值應(yīng)給 出兩組數(shù)，一組為插值點 ??0ni ix ?節(jié)點，另一組為相應(yīng)的重數(shù)標(biāo)號 ? ?0ni im ?。 0 , 1 , ,l i i iH x f x l m i n?? ? ?… … 則稱 ??Hx為 ??fx關(guān)于節(jié)點 ?? 0ni ix ? 及重數(shù)標(biāo)號 ? ? 0ni im ? 的 Hermite 插值多項式。 0 , 1 , ,kikiikh x i k nikh x k n i r???????? ? ? ? (3) 1( ) , 0 , 1 , ,0( ) 0 , 0 , 1 , , 。 ( ) ( 0,1, )kh x k n? 由條件 (3)知 ( 0 ,1, , 。 )ix i r r n i k? ? ? ?是 ()khx的零點 3 （ 1）當(dāng) 0 kr??時 ()khx具有如下形式： 2 2 2 20 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k r r nh x A x B x x x x x x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?… （ ） （ ） … （ ） … 201( ) ( )rniii i rikAx B x x x x? ? ??? ? ? ??? (5) 其中， ,AB是待定系數(shù) 由條件（ 3）知 ( ) 1, ( ) 0k k k kh x h x??? 即 201( ) ( ) ( ) 1rnk k i k ii i rikAx B x x x x? ? ??? ? ? ??? 2200 1 0 121 01( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0r n r nrk i k i k k j k i k iji i r i i ri k i jikrnnk k i k ijr i i ri k i jA x x x x A x B x x x x x xA x B x x x x?? ? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ?? 由上述兩式解得： 01201112( ) ( )rnj j rk j k jrnk i k ii i rikx x x xAx x x x? ? ?? ? ????????????? 2011( ) ( )krnk i k ii i rikAxBx x x x? ? ????????? 將 A,B代入式 (5)，得 ( ) { 1 ( ) [ ( ) ( ) ] } ( ) ( )0 , 1 , ,k k k n k k r k k n k rh x x x l x l x l x l xkr??? ? ? ? ?(6) 其中， 0() n ikni kiikxxlx xx???? ?? 0() r ikri kiikxxlx xx???? ?? 01() nkn k i kiiklx xx??? ? ?? 01() rkr k i kiiklx xx??? ? ?? （ 2）當(dāng) 1r k n? ? ? 時， ()khx具有如下形式： 201( ) ( ) ( )rnk i ii i rikh x C x x x x? ? ??? ? ??? (7) 由條件（ 3）知 ( ) 1kkhx? 4 2011( ) ( )rnk i k ii i rikCx x x x? ? ??????? 將 C代入式 (7)，得 ()( ) ( ) , 1 , 2 , ,()rk k nrkwxh x l x k r r nwx? ? ? ? (8) 其中， 0( ) ( )rriiw x x x???? 0( ) ( )rr k k iiw x x x???? 0() n ikni kiikxxlx xx???? ?? 綜合 (1)(2)得到 ( ) ( 0,1, )kh x k n? 即式 (6),(8) ( ) ( 0,1, )kh x k n? 由條件 (4)知 ( 0 ,1, , 。 當(dāng) 0 kr??時， ()khx具有如下形式： 00( ) ( ) ( )nrk i iii ikh x D x x x x?? ?? ? ??? (9) 由條件（ 4）知 ( ) 1kkhx? ? 000 0 0 01( ) ( ) ( ) ( )n r n rnrk i k i k i k ijji i i ijki j i k i kijDx x x x x x x x??? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? 將 D代入式 (9)，得 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , 1 , ,k k k n k rh x x x l x l x k r? ? ? (10) 其中， 0() n ikni kiikxxlx xx???? ?? 0() r ikri kiikxxlx xx???? ?? 由式 (2)(6)(8)(10)所表示的多項式稱為 Hermite 插值多項式其中由式 (6)(8)(10)所表示的多項式稱為 Hermite 插值基函數(shù) 5 Hermite 插值多項式的余項為： 2 1 2 1( 2 2 ) 20( ) ( ) ( )() ( ) , [ , ]( 2 2) !nnn njjR x f x H xf x x a bn? ???????? ? ?? ? 幾個重要的定理 定理 1（ 誤差定理 ） 若 ? ?? ?22 ,nf C a b?? ，則為 ??fx關(guān)于 ? ?,ab 上節(jié)點 ??0ni ix ?的 二重 Hermite 插值多項式 誤差為 ( 2 2 ) 22 1 2 1 ()( ) ( ) ( ) ( )( 2 2 ) !nn n nfR x f x H x w xn ????? ? ? ? 這里 ? ? ? ? ? ?0 1 0 1, , .. ., , , , .. ., ,nnm in x x x x x m ax x x x x??? ? ? 定理 2（ 唯一性定理 ） Hermite 插值問題式（ 1）的解 H(x) 存在而且唯一 證明：存在性已由上面推導(dǎo)，下證唯一性 .反證法，設(shè)插值問題式 (1)有兩個不同的解 令 12( ) ( ) ( )G x H x H x??，并且其次為次數(shù)不大于 1nr??的多項式，且滿足( ) 0 , 0 ,1, ,( ) 0 , 0 ,1, ,iiG x i nG x i r??? ?? 于是 ()Gx必含有因式 2( ) ( 0 ,1, , )ix x i r?? 和 ( ) ( 1 , 2 , , )ix x i r r n? ? ? ? 故 ()Gx的次數(shù)至少為 2nr?? ，矛盾。 tF（ ） 在 (, )ab 內(nèi)至少有 n+r+2 個零點， ()Ft 至少有 n+r+1 個零點 依此類推可知： ( 2)()nrFt?? 在 (, )ab 內(nèi)至少有一個零點 因此 ( 2 ) ( 2 ) !( ) [ ( ) ( ) ] 0( ) ( )nrnrnrf f x H xw x w x??? ??? ? ? 即得 ( 2 ) ()( ) ( ) ( ) ( )( 2 ) !nrnrff x H x w x w xnr ??????? 若 rn? ，則響應(yīng)的 Hermite 差值多項式為 00( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnk k k kkkH x h x f x h x f x?? ????? (11) 其中 22( ) [ 1 2 ( ) ( ) ] ( ) , 0 , 1 , ,( ) ( ) ( ) , 0 , 1 , ,k k k n k k nk k k nh x x x l x l x k nh x x x l x k n?? ? ? ?? ? ? 余項公式為： ( 2 2 ) 2()( ) ( ) ( ) , ( , )( 2 2 ) !nnff x H x w x a bn ? ??? ? ?? 特別當(dāng) 1rn??時，插值條件為： ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0 , 1i i i iH x f x H x f x i??? ? ? 由此得三次 Hermite 插值多項式： 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x h x f x h x f x h x f x h x f x??? ? ? ?(12) 20 10 1 0 0 1( ) (1 2 ) ( )xx xxhx x x x x? ??? ?? 2011 0 1 1 0( ) (1 2 ) ( )xxxxhx x x x x???? ?? 7 2100 01( ) ( )( )xxh x x x xx??? ? 2011 10( ) ( )( )xxh x x x xx??? ? 多項式（ 12）常用作分段低次插值，稱為 分段三次 Hermite 插值 2 兩點三次 Hermite插值 及其余項 兩點三次 Hermite 插值 先考慮只有兩個節(jié)點的插值問題： 設(shè) ()fx在節(jié)點 01,xx處的函數(shù)值為 01,yy，在節(jié)點 01,xx處的一階導(dǎo)數(shù)值為 01,yy??，兩個節(jié)點最高可以用 3次 Hermite 多項式 3()Hx，作為插值函數(shù) 3()Hx應(yīng)滿足插值條件： 3 0 0()H x y? 3 1 1()H x y? 3 0 0()H x y??? 3 1 1()H x y??? 3()Hx應(yīng)用四個插值基函數(shù)表示，設(shè) 3()Hx的插值基函數(shù)為 ( ), 0,1, 2,3ih x i ? 3 0 0 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x a h x a h x a h x a h x? ? ? ? 希望插值系數(shù)與 Lagrange 插值一樣簡單重新假設(shè) 3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x y x y x? ? ? ???? ? ? ? 3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x y x y x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 其中 00()1x? ? 01( ) 0x? ? 00( ) 0x?? ? 01( ) 0x?? ? 10( ) 0x? ? 11( ) 1x? ? 10( ) 0x?? ? 11( ) 0x?? ? 00( ) 0x? ? 01( ) 0x? ? 00()1x?? ? 01( ) 0x?? ? 10( ) 0x? ? 11( ) 0x? ? 10( ) 0x?? ? 11( ) 1x?? ? 可知 1x 是 0()x? 的二重零點，即可假設(shè) 201( ) ( ) ( )x x x ax b? ? ? ? 8 由 00()1x? ? 00( ) 0x?? ? 可得 3012()a xx?? ? 0230 1