【正文】 對晶格周期場采用能帶論量子力學(xué)方式處理 模型 每個電子具有確定的位置 r 、波矢 k 和能帶指標 n 建立模型描述 r 、 k 和 n 隨時間的變化規(guī)律 能帶指標 電子的速度 波矢隨時間的變化 1/ ( ) ( )n k nd r d t k k??? ? ?.n cons?/ ( , ) ( ) ( , )nd k d t e E r t k B r t???? ? ? ???(1)電子總呆在同一能帶中 (2)忽略不同帶間的躍遷 167。 Bloch電子運動的半經(jīng)典模型 1/ ( ) ( )n k nd r d t k k??? ? ?/ ( , ) ( ) ( , )nd k d t e E r t k B r t???? ? ? ???Bloch 電子的運動方程 對晶格周期場的量子力學(xué)處理全部概括在 函數(shù)中 ()n? k能帶結(jié)構(gòu) 輸運性質(zhì) 半經(jīng)典模型使能帶結(jié)構(gòu)與輸運性質(zhì)即電子對外場的響應(yīng)相聯(lián)系 輸運性質(zhì) 能帶結(jié)構(gòu) 同基于理論得到的能帶結(jié)構(gòu)進行比較從而驗證能帶結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)的正確與否 提供了從能帶結(jié)構(gòu)推斷出電子輸運性質(zhì)的理論基礎(chǔ) 基于輸運性質(zhì)的測量結(jié)果 推斷出電子的能帶結(jié)構(gòu) 167。 外場下載流子運動規(guī)律可基于半經(jīng)典模型 現(xiàn)在要解決的是如何考慮碰撞以及碰撞和外場同時作用對載流子運動規(guī)律的影響？ 引入分布函數(shù) ， 并將這些影響歸結(jié)到對分布函數(shù)的影響 定義 對于單位體積樣品， t時刻、第 n個能帶中，在（ r,k） 處 相空間體積內(nèi)的電子數(shù)為： drdk3( , 。 ?有外場 /溫度不均勻時 ， 電子將偏離熱平衡 ，相應(yīng)的分布函數(shù) , , )f r k t（( , )rk 點范圍內(nèi) , , )f r k t（如何隨時間變化呢？ 0 ( ) /1()1kBk u k Tfe ?? ???, , )r v dt k k dt t dt? ? ?（, , )r k t（, , )f r k t（t 時刻（ r,k）處的電子 由于碰撞的存在 ， dt 時間內(nèi)從 （ rdr,kdk） 處出發(fā)的電子并不都能到達 （ r,k） 處 ，另一方面 ， t 時刻 （ r,k） 處的電子也并非都來自 tdt 時刻 （ rdr,kdk） 處漂移來的電子 ， 因此有： ( , , ) ( , , )f r k t f r d t k k d t t d t?? ? ? ?( , , ) ( , , )f r k t f r d t k k d t t d t?? ? ? ? ? 碰 撞 項若將因碰撞引起的 f 變化寫成 則有 ( / )collft??( , , ) ( , , ) ( ) c o l lff r k t f r d t k k d t t d t d tt? ?? ? ? ? ? ?必來自 tdt 時刻（ rdr,kdk）處漂移來的電子 若沒有碰撞，則有 , , )f r v d t k k d t t d t? ? ?（kfr f k ft?? ?? ? ? ? ? ?? coll玻爾茲曼方程 ( , , ) ( , , ) ( ) c o l lff r k t f r d t k k d t t d t d tt? ?? ? ? ? ? ?右邊第一項展開，保留到 dt的線性項，有 ( , , ) ( , , ) ( ) c o l lf f f ff r k t f r k t r k d t d tt r tk????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ????() c o l lf f f frkt r tk??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??對于穩(wěn)態(tài) 0ft? ??kfr f k ft?? ?? ? ? ? ? ?? collBoltzmann方程 決定于體系的能帶結(jié)構(gòu) 與外場有關(guān) 因此， Boltzmann方程將能帶結(jié)構(gòu)、外場作用以及碰撞作用通過引入分布函數(shù)而相聯(lián)系，成為研究固體電子輸運性質(zhì)的理論基礎(chǔ) 半經(jīng)典模型 1/ ( ) ( )n k nd r d t k k??? ? ?/ ( , ) ( ) ( , )nd k d t e E r t k B r t???? ? ? ???167。 假設(shè) 沒有外場 ，也 沒有溫度梯度 ，那么如果電子的分布函數(shù)偏離了平衡值，系統(tǒng)必須以碰撞機制來恢復(fù)平衡態(tài)的分布。 方程的解： /0 1 1 ( 0) tf f f f t e ??? ? ? ?該方程說明：由于碰撞作用 ， 系統(tǒng)將以時間常數(shù) ? 弛豫回到平衡分布 。 固體 電阻率 314 kJ e f d k???? ?在沒有溫度場 、 磁場的情況下 ， 僅有電場時的 Boltzmann方程為 0 1e f fkE??? ? ? ??00fef f Ek? ?? ? ??泰勒定理 ： 0) ( 0 ) 39。 直流 電導(dǎo)率 說明：在電場作用下，分布函數(shù)相當于平衡分布函數(shù)沿著外場相反的方向剛性移動了 e E??e E?? 或者說，在 k空間中，外加電場引起費米球剛性平移了 注意到 00kkff ???? ? ??00 kef f E f?? ? ??00 ()ff f v E e???? ? ??0) ( )ef k f k E????（e E??0 ()f vk????1/ ( )kv k m k?? ? ?知道了分布函數(shù)就可以很方便的求出電流密度，只需對分布函數(shù)在相空間求積分： 1314J e v f d k??? ?03 ()4fe v e v E d k????? ? ???00 ()ff f v E e???? ? ??010 ()ff f f v E e???? ? ? ??兩個等能面之間的距離為 dk? 面元為 ds 體積元為 dk dsd k ??由于： kd dk?? ???kd sddk ????203 ()4kfe d s dJ v v E ??? ? ??? ? ????01()e x p [ ( ) / ] 1k k F BfE E E k T? ??而： 考慮 K空間的兩個等能面 由于 只在費米面附近才不為零，即 0 /f ???0 ()Ff ? ? ???? ? ??所以積分只需考慮在費米面附近進行 23 ()4 FFSkdSeJ v v E???????考慮一個立方體晶體，外場方向沿著 Ox方向，電流沿著 Ox 2234 FFx S x x xkdSeJ v E E????? ? ???所以立方體晶體的電導(dǎo)率 2234 FFSxkdSev???????203 ()4kfe d S dJ v v E ??? ? ??? ? ????利用對稱性 2213xvv?1/ ( )kv k m k?? ? ?以及關(guān)系 23112 F FSe v d S????? ?利用 2 1 / 3( 3 )Fkn ??2 2 / 34 ( 3 )FSn???/*v k m?2234 FFSxkdSe v???????2 ()*Fn e Em?? ?得到 得到 和在自由電子氣模型中得到的結(jié)果形式上相同 ， 不同之處有兩點 ， 一是電子的質(zhì)量為有效質(zhì)量 ， 二是馳豫時間為費米面上電子的馳豫時間 。 ( ( ) ) ( )nL n n L nH V r R R V r R??? ? ? ? ????R u39。 明顯地，周期勢場因晶格振動而被破壞，附加的偏離周期性勢場 離子實對平衡位置的偏離 167。 ( ( ) ) ( )nL n n L nH V r R R V r R??? ? ? ? ????R u可看作為微擾，它使得電子從一個穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)，即出現(xiàn)散射 假設(shè)偏離很小，則有 ( ) ( )nn L nR V r R? ? ? ??R u為簡單起見，只考慮簡單格子，此時僅有聲學(xué)支 將波矢 q、頻率 ?的簡正模引起的原子位移寫成實數(shù)形式 ( ) c os( )nnR A e q R t???u e 為振動方向上的單位矢量 ()1122nnq R t q R tA e e A e e??? ? ???1 ()2nnqRLnRs A e e V r R?? ? ? ? ??令 則 有39。? i t i tH e s e s??? ????這是量子力學(xué)中典型的含時周期性微擾問題 在這樣的微擾下， 電子從 k態(tài)躍遷到 k’態(tài)的幾率為 2, 39。 39。39。39。 格波的量子稱為聲子 因此晶格振動對電子的散射實際上就是聲子對電子的散射。 量子力學(xué)語言 39。kkkk? ? ?? ? ????? ???吸收聲子 39。k?k?散射矩陣元 39。39。 )39。1 ()