【正文】 , 2 , 3 , )( 1 ) !ntnn???)(1t1t1s21s1ns1!nns?1sa?22s???22ss ?? 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 Laplace變換幾個基本定理 （ 1）線性定理 : （ 2）微分定理 : )()()]([)]([)]()([ 212121 sFsFtfLtfLtftfL ?????( 2 ) ( 1 ).12( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )n nnn n nndL f t s F s s f s f s f fdt?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????若初始條件均為 0，則 )()]([ sFstfdtdL nnn? 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 （ 4）終值定理 : （ 3）積分定理 :若初始條件均為 0，則 )(1])(...[ sFsdttfL nnn?? ????)()()( l i ml i m0ssFtffst ?????? 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 Laplace反變換基本方法 ()Fs ()()()BsFsAs?12( ) ( ) ( ) ( )nF s F s F s F s? ? ? ?)(. ..)()()]([. ..)]([)]([)]([ 21121111 tftftfsFLsFLsFLsFL nn ???????? ????常見形式 ，部分分式展開成： 則由線性定理可知： 部分分式展開法： 只包含不同極點 包含重極點 具有共軛復(fù)數(shù)極點 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 線性微分方程的求解： 研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。拉普拉斯反變換的符號是 1L? ，可以通過下列反演積分，從 F(s)求得拉普拉斯反變換： 1 1[ ( ) ] ( ) ( )2cj stcjL F s f t F s e d sj? ??????? ?對 t0 式中， c為實常量，它選擇的實部比 F(s)所有奇點的實部都大。 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 常用函數(shù)的拉氏變換 ssFttf1)(),(1)( ??1)]([)( ?? tLsF ?21)(,)(ssFttf ??32 1)(,21)(ssFttf ??22)(,s i n)( ?????? ssFttf 單位階躍函數(shù)： 單位脈沖函數(shù)： 單位斜坡函數(shù)： 單位拋物線函數(shù)： 正弦函數(shù)： 其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。 0?t ??? ?0 )( dtetfst? ?? ?? 0 )()( dtetfsF st??? ?0 )( dtetf st 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ??? ? ?0)( dtetf st一個函數(shù)可以進行拉氏變換的充分條件是： ⑴ t0時， f(t)=0； ⑵ t≥0時， f(t)分段連續(xù)； ⑶ 。 拉普拉斯法可用圖解法預(yù)測系統(tǒng)的性能，無須實 際求解系統(tǒng)的微分方程。 微分方程的解可用拉普拉斯變換表和部分分式展 開法求得。 微分、積分可用復(fù)數(shù)平面內(nèi)的代數(shù)運算來取代。因此，拉氏變換成為自動控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。它 不僅可以表征系統(tǒng)動態(tài)特性，而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響 。 但是，如果系統(tǒng)中某個參數(shù)變化或者結(jié)構(gòu)形式改變，則需要重新列寫并求解微分方程，不便于對系統(tǒng)進行分析與設(shè)計。 ②求拉氏反變換，求得輸出函數(shù)的時域解。 在自動系統(tǒng)理論中 主要使用拉氏變換法 。 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 線性方程的求解： 研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。顯然， 上式描述了 m－ K－ f系統(tǒng)的動態(tài)關(guān)系，它是一個二階線性定常微分方程。 ? ??? iui dtCRidtdiL 1 ① dtiCou ?? 1② [解 ]：據(jù)基爾霍夫電路定理： iu 輸入 ou 輸出 iu ouL R C i [例 211]：寫出 RLC串聯(lián)電路的微分方程。 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 動態(tài)物理系統(tǒng) 建立微分方程 拉氏變換 求解微分方程 分析系統(tǒng)性能 系統(tǒng)設(shè)計 傳遞函數(shù) 分析系統(tǒng)性能 系統(tǒng)設(shè)計 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 控制系統(tǒng)微分方程的建立 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ?列寫基本步驟： ?分析各元件的工作原理，明確輸入、輸出量 ?建立輸入、輸出量的動態(tài)聯(lián)系 ?消去中間變量 ?標準化微分方程 單變量線性定常系統(tǒng)： 輸出在左，輸入在右，降階排列。所以 建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)進行分析的第一步也是最重要的一步 。 ?微分方程 傳遞函數(shù) 結(jié)構(gòu)圖（方框圖） 信號流圖 頻率特性 狀態(tài)空間描述等 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 對一個微分方程，若已知初值和輸入值，對微分方程求解，就可以得出輸出量的時域表達式。 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型 —— 描述系統(tǒng)中各變量關(guān)系的數(shù)學(xué)形式與方法。 ? 結(jié)構(gòu)圖等效變換 求傳遞函數(shù)的方法。 ? 典型環(huán)節(jié) 的傳遞函數(shù)形式。 ? 用拉氏變換求解微分方程 的方法。 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 基本要求 ? 動態(tài)微分方程 的一般方法。 ? 拉氏變換 的基本法則及典型函數(shù)的拉氏變換形式。 ? 傳遞函數(shù) 的概念及性質(zhì)。 ? 建立動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 的方法。 ? 、閉環(huán)傳遞函數(shù)，對參考輸入和對干擾的系統(tǒng) 閉環(huán)傳遞函數(shù) 及 誤差傳遞函數(shù) 的概念。是經(jīng)典控制與現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)。據(jù)此可對系統(tǒng)進行分析。 建模方法： （理論建模） （系統(tǒng)辨識） 定常系統(tǒng)： 系統(tǒng)物理參數(shù)不隨時間變化； 集總參數(shù)系統(tǒng)：系統(tǒng)物理參數(shù)不隨空間位置變化； 本書研究的系統(tǒng) 基本均為定常、集總參數(shù)系統(tǒng) 。 )()()()()()()()()()(1)2(2)1(1)(01)2(2)1(1)(trbtrbtrbtrbtrbtcatcatcatcatcnnnnnnnnnn????????????????????????? 自動控制理論 Automatic Control Theory 課程編碼： 202421 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 iooo uudtduRCdtudLC ???22dtduCi o?由②： ，代入①得： 這是一個線性定常二階微分