克萊姆法則矩陣及其運(yùn)算-展示頁(yè)
2025-05-23 20:44本頁(yè)面
【正文】 11 22 12 21 0a a a a??時(shí) 1 2 2 2 1 211 1 2 2 1 2 2 1b a b axa a a a???2 1 1 1 2 121 1 2 2 1 2 2 1b a b axa a a a??? 可見(jiàn)，在求解方程組的過(guò)程中，只有方程組的 系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算 ，未知量只是進(jìn)行同類項(xiàng)的合并。 ● 齊次線性方程組 11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 200........................................0nnnnn n nn na x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??常數(shù)項(xiàng)全為零 的線性方程組，稱為 齊次線性方程組 。 （ 3） 計(jì)算量大 ，要計(jì)算 n+1 個(gè) n 階行列式的值。學(xué)習(xí)要求 理解 Cramer法則，會(huì)用 Cramer法則解方程組； 理解矩陣的概念，了解單位矩陣、對(duì)角矩陣 三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對(duì)稱矩陣、反 對(duì)稱矩陣的定義及性質(zhì)； 掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算率， 了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)。 如果線性方程組 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2nnnnn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??的 系數(shù)行列式 D不等于零 ， 則方程組有唯一解 11 ,DxD?22 ,DxD?nnDxD?,● 行列式的應(yīng)用 —— Crammer法則 （ 1） 證明 例 1 用 Cramer法則求解線性方程組 ?????????????????????????01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解 系數(shù)行列式為 1 4 211213513241211111???????D11 1 12 1 4142352151 2 1120D?? ? ?? ? ???25221 1 11 1 42842 1 53 2 110D?? ? ?????所以 1,3,2,1 44332211 ????????? DDxDDxDDxDDx31 1 11 2 44262 3 53 1 115220D??? ? ???4521 1 11 2 11422 3 13 1 220D???? ???小結(jié)： Crammer法則的使用有極大的局限性 （ 1） Crammer法則只能用于求解 方程個(gè)數(shù)與未知數(shù) 個(gè)數(shù)相等 的線性方程組； （ 2） Crammer法則只能求得 系數(shù)行列式不為零 時(shí)的 線性方程組的唯一解； 即如果方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不相等，或系數(shù) 行列式等于零，則 Crammer法則失效。 如何解決這些問(wèn)題呢？留待第七章解決。 這樣的方程組一定有解， 至少有零解 12 0nx x x? ? ? ?根據(jù) Crammer法則，當(dāng)系數(shù)行列式 D≠0時(shí)，齊次線性 方程組只有 唯一的零解 ；否則，當(dāng)系數(shù)行列式 D=0 時(shí)， 齊次線性方程組 有非零解 （無(wú)窮多個(gè)）。 在日常生活中，我們也經(jīng)常關(guān)心一些 數(shù)表 ：如價(jià)格表、股票行情表、財(cái)務(wù)報(bào)表等等，這些重要的“矩形數(shù)表”，在數(shù)學(xué)學(xué)科中，則可用 矩陣來(lái)表示。 ija其中： 稱作矩陣的 元素 。 ? ?12 ? ?1 2 4? ? ?12 ... na a a等 …… ● 列矩陣（列向量） —— 只有一列的矩陣。 0mn? ● 方陣 —— 行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。 ?● 單位矩陣 —— 主 對(duì)角線上的元素都是 1的對(duì)角形矩陣， 簡(jiǎn)記作 。如： 等 …… ● 下三角形矩陣 —— 主對(duì)角線上方的元素全為零，下方
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