【正文】 0)( ?xf 至少有一個(gè)根。 拉格朗日 （ JosephLouis Lagrange， 1736~1813）簡(jiǎn)介： 據(jù)拉格朗日本人回憶，幼年家境富裕，可能不會(huì)作數(shù)學(xué)研究，但到青年時(shí)代，在數(shù)學(xué)家（ Revelli）指導(dǎo)下學(xué)幾 何學(xué)后，萌發(fā)了他的數(shù)學(xué)天才。他的學(xué)術(shù)生涯可分為三個(gè)時(shí)期：都靈時(shí)期（ 1766 年以前）、柏林時(shí)期（ 1766— 1786）、巴黎時(shí)期（ 1787— 1813）。全部著作、論文、學(xué)術(shù)報(bào)告記錄、學(xué)術(shù)通訊超過(guò) 500 篇。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)是自然科學(xué)主體。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展使力學(xué)和天體力學(xué)深化，而力學(xué)和天體力學(xué)的課題又成為數(shù)學(xué)分析發(fā)展的動(dòng)力。下面就拉格朗日的主要貢獻(xiàn)介紹如下： 數(shù)學(xué)分析的開(kāi)拓者 1．變分法 這是拉格朗日最早研究的領(lǐng)域，以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，但從純分析方法出發(fā)，得到更完善的結(jié)果。發(fā)表前寫信給歐拉，稱此文 中的方法為“變分方法”。變分法這個(gè)分支才真正建立起來(lái)。他 4 在降階過(guò)程中提出了以后所稱的伴隨方程，并證明了非齊次線性變系數(shù)方程的伴隨方程，就是原方程的齊次方程。當(dāng)然，他的奇解理論還不完善，現(xiàn)代奇解理論的形式是由 。 3．方程論拉格朗日在柏林的前十年，大量時(shí)間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上。拉格朗日的想法已蘊(yùn)含了置換群的概念，他的思想為后來(lái)的 ,終于解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問(wèn)題 .此外 ,他還提出了一種格朗日極數(shù) . 拉格朗日在 1772 年把歐拉 40 多年沒(méi)有解決的費(fèi)馬另一猜想“一個(gè)正整數(shù)能表示為最多四個(gè)平方數(shù)的和”證明出來(lái)。 5．函數(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù) 同 18 世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家一樣，拉格朗日也認(rèn)為函數(shù)可以展開(kāi)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，而無(wú)窮級(jí)數(shù)同是多項(xiàng)式的推廣。 分析力學(xué)的創(chuàng)立者 拉格朗日在這方面的最大貢獻(xiàn)是把變分原理和最小作用原理具體化，而且用純分析方法進(jìn)行推理，成為拉格朗日方法。其中特別是根據(jù)他在微分方程解法的任意常數(shù)變異法，建立了以天體橢圓軌道根數(shù)為基本變量的運(yùn)動(dòng)方程，現(xiàn)在仍稱作拉格朗日行星運(yùn)動(dòng)方程，并在廣泛作用。 總之，拉格朗日是 18 世紀(jì)的偉大科學(xué)家，在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有歷史性的重大貢獻(xiàn)。使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，而不僅是其他學(xué)科的工具。由于歷史的局限，嚴(yán)密性不夠妨礙著他取得更多成果。為解決新問(wèn)題并澄清微積分概念，數(shù)學(xué)家們展開(kāi)了數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作，在分析基礎(chǔ)的奠基工作中，做出卓越貢獻(xiàn)的要推偉大的數(shù)學(xué)定柯西。父親是一位精通古典文學(xué)的律師，與當(dāng)時(shí)法國(guó)的大數(shù)學(xué)家拉格朗日，拉普拉斯交往密切。拉格朗日向其父建議“趕快給柯西一種堅(jiān)實(shí)的文學(xué)教育”，以便他的愛(ài)好不致反他引入岐途。 1807 年至 1810 年柯西在工學(xué)院學(xué)習(xí)。由于身欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師而致力于純數(shù)學(xué)的研究，柯西在數(shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)是 5 在微積分中引進(jìn)了極限概念，并以極 限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。 1821 年柯西提出極限定義的 ? 方法，把極限過(guò)程用不等式來(lái)刻劃，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進(jìn)，成為現(xiàn)在所說(shuō)的柯西極限定義或叫 ??? 定義。他對(duì)微積分的解釋被后人普遍采用。他把定積分定義為和的“極限”。他利用中值定理首先嚴(yán)格證明了微積分基本定理。從而結(jié)束微積分二百年來(lái)思想上的混亂局面，把微積分及其推廣從對(duì)幾何概念，運(yùn)動(dòng)和直覺(jué)了解的完全依賴中解放出來(lái)，并使微積分發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)最龐大的數(shù)學(xué)學(xué)科。在一次學(xué)術(shù)會(huì)議上柯西提出了級(jí)數(shù)收斂性理論。 棲西在其它 方面的研究成果也很豐富。在代數(shù)方面、理論物理、光學(xué)、彈性理論方面，也有突出貢獻(xiàn)。柯西全集有 27卷，其論著有 800 多篇。他的光輝名字與許多定理、準(zhǔn)則一起銘記在當(dāng)今許多教材中。但他常忽視青年人的創(chuàng)造。 1857 年 5 月 23 日柯西在巴黎病逝。 第二節(jié) 洛必達(dá)法則 在第一章中，我們?cè)?jì)算過(guò)兩個(gè)無(wú)窮小之比以及兩個(gè)無(wú)窮大之比的未定式的極限 . 在那里，計(jì)算未定式的極限往往需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危D(zhuǎn)化成可利用極限運(yùn)算法則或重要極限的形式進(jìn)行計(jì)算 . 這種變形沒(méi)有一般方法，需視具體問(wèn)題而定，屬于特定的方法 . 本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)作為工具，給出計(jì)算未定式極限的一般方法，即洛必達(dá)法則 . 本節(jié)的幾個(gè)定理所給出的求極限的方法統(tǒng)稱為 洛必達(dá)法則 . 本節(jié)主要內(nèi)容 1 未定式的基本類型： 2 未定式的其它類型： 內(nèi)容要點(diǎn)： 一、未定式的基本類型 ： 00 型與 ?? 型； .)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax ??? ?? .)( )(l i m)( )(l i m xF xfxF xf x ??? ???? 二、未定式的其它類型： ??0 型， ??? 型， 00 ,1,0 ?? 型 (1) 對(duì)于 ??0 型，可將乘積化為除的形式，即化為 00 或 ?? 型的未定式來(lái)計(jì)算 . 6 (2) 對(duì)于 ??? 型，可利用通分化為00型的未定式來(lái)計(jì)算 . (3) 對(duì)于 00 ,1,0 ?? 型，可先化以 e 為底的指數(shù)函數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性， 化為直接求指數(shù)的極限，指數(shù)的極限為 ??0 的形式，再化為00或??型的未定式來(lái)計(jì)算 . 例題選講： 00型 例 1 求 ??? )0(sinlim0 kxkxx 解：原式 =k 例 2 求 ???? ??? 123lim 23 31 xxx xxx 解：原式 =3/2 例 3 求 ).0(sinsinlim0 ?? bbxaxx 解：原式 =a/b ??型 例 4 求 .lncotlnlim0 x xx ?? 解 ：原式 = 1cotcsclim 20 ????? xxxx 例 5 求 ???? xnx ex?lim (n 為正整數(shù) , 0?? ) 解： 相繼應(yīng)用洛必達(dá)法則 n 次，得 0!l i ml i ml i m 1 ???? ?????????? xnxxnxxnx enenxex ??? ?? ? 洛必達(dá)法則雖然是求未定式的一種有效方法 , 但若能與其它求極限的方法結(jié)合使用 , 效果則更好 . 例如能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能先化簡(jiǎn)，可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小替換或重要極限 時(shí)，應(yīng)盡可能應(yīng)用，以使運(yùn)算盡可能簡(jiǎn)捷 . 例 6 求 xxxx sin1sinlim20? 解：原式 = 01s inlims in1s inlim 00 ?? ?? xxxxxxxx ??0 型， ??? 型， 00 ,1,0 ?? 型 例 7 求 .lim 2 xx ex???? ??0 型 解：原式 = ?????? 2lim xexx 例 8 求 )tan(seclim2xxx ???. ??? 型 7 解：原式 = 0cossin1lim2 ??? xxx ? 例 9 求 .lim0 xx x?? ??0 解：設(shè) xxy? ，取對(duì)數(shù)得 xxy lnln ? ，當(dāng) 0ln,0 ?? ? xxx 所以 0lnlimlnlim00 ?? ?? ?? xxy xx 則 1lim 00 ???? ex xx 例 10 求 .lim111 xx x?? ?1 型 解：解法同上題 例 11 求 xx x ln10 )(cotlim??. 0? 型 解：設(shè) xxy ln1)(cot? ，取對(duì)數(shù)，則 ???? ?? ?? x xy xx lnc otlnlimlnlim 00 所以 0)(c otlim ln10 ??? xx x 課堂練習(xí) 1. 設(shè) )(xf 有一階導(dǎo)數(shù) , ,1)0()0( ??? ff 求 .)(ln 1)(sinlim0 xf xfx ?? 2. 設(shè))( )(lim xg xf是未定式極限 , 如果)()(xgxf??的極限不存在且不為 ? , 是否)( )(xgxf的極限也一定不存在 ? 舉例說(shuō)明 . 洛必達(dá) （ L’ Hospital， 1661~1704）簡(jiǎn)介： 洛必達(dá) (L’Hospital)是法國(guó)數(shù)學(xué)家， 1661 年生于巴黎， 1704 年 2 月 2 日卒于巴黎。青年時(shí)期一度任騎兵軍官，因眼睛近視自行告退，轉(zhuǎn)向從事學(xué)術(shù)研究。 洛必達(dá)是萊布尼茲微積分的忠實(shí)信徒，并且是約翰 .伯努利的高足，成功地解答過(guò)約。他是法國(guó)科學(xué)院院士。這部著作出版于 1696 年，后來(lái)多次修訂再版，為在歐洲大陸，特別是在法國(guó)普及微積分起了重要作用。不久以后，他答應(yīng)為年輕的洛必達(dá)講授微積分，定期領(lǐng)取薪金。他把自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傳授給洛必達(dá)，并允許他隨時(shí)利用。 洛必達(dá)曾計(jì)劃出版一本關(guān)于積分學(xué)的書，但在得悉萊布尼茲也打算撰寫這樣一本書時(shí)，就放棄了自己的計(jì)劃。此書在他 8 逝世之后 16 年才出版。由于他與當(dāng)時(shí)歐洲各國(guó)主要數(shù)學(xué)家都有交往。 第三節(jié) 泰勒公式 對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù) ,為了便于研究 ,往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá) . 多項(xiàng)式函數(shù)是最為簡(jiǎn)單的一類函數(shù) ,它只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次的加、減、乘三種算術(shù)運(yùn)算 ,就能求出其函數(shù)值 ,因 此 ,多項(xiàng)式經(jīng)常被用于近似地表達(dá)函數(shù) ,這種近似表達(dá)在數(shù)學(xué)上常稱為 逼近 . 英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（ Taylor. Brook, 16851731）在這方面作出了不朽的貢獻(xiàn) . 其研究結(jié)果表明 : 具有直到 1?n 階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的 n 次多項(xiàng)式近似表達(dá) . 本節(jié)我們將介紹泰勒公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 . 本節(jié)主要內(nèi)容 1 問(wèn)題 2 泰勒中值公式 講解提綱： 一、 問(wèn)題： 設(shè) 函數(shù) )(xf 在含有 0x 的開(kāi)區(qū)間 (a, b)內(nèi)具有直到 1?n 階導(dǎo)數(shù) , 問(wèn)是否存在一個(gè) n 次多項(xiàng)式函數(shù) nnn xxaxxaxxaaxp )()()()( 0202020 ???????? ? () 使得 )()( xPxf n? , () 且誤差 )()()( xpxfxR nn ?? 是比 nxx )( 0? 高階的無(wú)窮小 ,并給出誤差估計(jì)的具體表達(dá)式