【正文】 當(dāng)微擾影響較小時(shí)，一級(jí)近似很好 21t0 tink1nk dte)t(V1P 1nk??? ?? 現(xiàn)考慮原子被置于一個(gè)純輻射場(chǎng)中 02 V)A?eP?(m21H? ??? 在原子區(qū)域中，無(wú)外電場(chǎng) 0?? ， ? 0A??? 則 A 滿(mǎn)足 0t Ac1A 2222 ????? 令 ?? ? de)(AA )crnt(i ????????? 則有 )(A)(A * ?? ?? （由于 A 為實(shí)） 0)(An ?? ? （ 0A??? ） ? PAmeVm2PH? 02 ???? （電磁場(chǎng)弱，忽略 2A 項(xiàng)） 在電磁波很弱條件下，一級(jí)微擾很小，則 16 20 1222 11 kP?en)(AdedtmeP t)crn(it t)(ink nk ???? ?? ???? ???? ? ?? 可以證明： nkkn PP ?? ? 即受激輻射和退激發(fā)躍遷率相等 同樣可以證明在 ① 弱輻射場(chǎng) ② 長(zhǎng)波近似 ③ 輻射是非極化的（極化各向同性，某幾率條件下）。kk()2(39。kk ??? 1kkdk ?? 由這可見(jiàn)，在 k 空間中態(tài)密度為 1 。 如末態(tài)為平面波： rki23 e)2( 1 ?? ? )39。 ? 秒/104c2 15??? ??? 因此 ，當(dāng) 0nk ???? ， 則 ?? ?nk 很大 0nk ???? ， 則 ?? ?nk 很大 所以?xún)H一項(xiàng)起作用 當(dāng) t 足夠大時(shí)，總躍遷率（從 k 態(tài)出發(fā)） )EE()2V(2w 0k0nf2nk0 ??? ?? ??? 14 例：設(shè)有均勻的周期性電場(chǎng)作用在一個(gè)氫原子上，該氫原子在 0t? 時(shí)處于基態(tài)，試用微擾論求氫原子電離的躍遷率。 B．周期性微擾下的躍遷率 設(shè)：微擾隨時(shí)間作周期性變化 )ee(2Vtc osVV titi00 ??? ???? （ 0V 與 t 無(wú)關(guān)） 在一級(jí)近似下 11nkt0 ti)1(kn dt)t(Vei1a 1nk?? ?? )e1e1()2V(1 nkt)(inkt)(ink0 nknk????????????????? 根據(jù)前面分析，當(dāng) t 足夠大時(shí)，引起體系從 0H? 的 )r(k? 態(tài)發(fā)生躍遷的總躍遷率到 0H?的 0n? 態(tài)，是 0nk ???? ，即 ???? 0k0n EE 。 ② 當(dāng) t 一定大后，躍遷貢獻(xiàn)是來(lái)自同初態(tài)能量相同的末態(tài)。 ) 而單位時(shí)間躍遷幾率（稱(chēng)為躍遷速率或躍遷率） nk0nfnk nk2nk d)E(ts i nV2dtdPw ????? ?????? ? 我們也知 )(tsinlimt ????? ??? 13 所以，當(dāng) t 足夠大，則有 nknk0kf2nk d)()E(V2w ????? ?? ? )E(V2 0kf2nk ???? （ 0k0n EE ? ） 它表明： ① 單位時(shí)間躍遷幾率與時(shí)間無(wú)關(guān)。 由于 1n2110xn ??? ??? m? 10 ? 一級(jí)微擾為 0 ，一級(jí)躍遷幾率為 0 以此類(lèi)推，僅當(dāng) )10(010a 時(shí)才 不為 0 （最低級(jí)近似為第十級(jí)近似 2 1n1mx1m ??? ?） 即最低要到第十級(jí)近似下才不為 0 ??? ??20100a21 0tt 1tt 9nnntt 1010)10(010 dtdtdt)i1(a ??? 100ti10nti9nnti10n10 Pr)t(Vr)t(Vr)t(V 101n198n9n89109n109 ???? ? ? 202000 PP ?? 例 2：處于基態(tài)（ ???t ）的氫原子，受位勢(shì) t0 eExe)t(V ????? （ 0?? ）（為實(shí)參數(shù)）擾動(dòng) ① 求 ???t 時(shí)，處于 nlm 態(tài)的幾率 2t)EE(it02n lm 1nee100xn l meE1P ? ?? ?? ??? ?? ? dtedte100xn l mEe0 t)i(0 t)i(22202 1n1n ?? ? ???? ? ?? ????? 21n1n22 202 i1i1100xn l mEe ???? ????? ? ? ?22 1n2222202 4100xn l mEe????? ? ② 求 max)nlm(P 32 1n2322 1n2 )( 16)( 80P ?? ??? ?? ??????? ? 21n2 ?? ? 22 1n2202m a x)n lm( 100xn l m1eP ???? ③ 選擇定則：由 )YY(32rx 1111 ?? ?? 11 ? 211112 00YYlm3210rnl100xn l m ??? ?? 413210rnl ?????? ??? ? ? 對(duì) r 選擇定則為： 1l ??? 0,1m ??? 222 1n22220211n 10r1n)(32eP ?? ?? ??? ? 當(dāng) ?? 很大（即微擾時(shí)間很短）， 0P 11n ?? ，所以氫原子受擾動(dòng)后仍處于基態(tài)（ Sudden 近似） 當(dāng) ?? 很?。ㄎ_緩慢加上）， 0P 11n ?? ，所以氫原子擾動(dòng)仍處于基態(tài)（非簡(jiǎn)并態(tài)） （ 3）微擾引起的躍遷 A. 常微擾下的躍遷率：在某些實(shí)驗(yàn)中，微擾常常是不依賴(lài)于 t 的（在作用時(shí)間內(nèi)） ?? t0 1tink)1(kn dteVi1)t(a 1nk?? rd)r()r(V)r(V k*nnk ???? （即從 0t? 開(kāi)始加上一個(gè)與 t 無(wú)關(guān)的外作用 )r(V ） nktink nke1V1????? （ 0)0(a )1(kn ? ， kn? ） ? 0t? 時(shí)，體系處于 0H? 本征態(tài) k ，而在 t 時(shí)刻，體系處于 0H? 本征態(tài) n 的 幾率為 2nk nk22nknk tc os1V2P ? ????? ? （當(dāng) 1Vnknk??時(shí)，一級(jí)近似就滿(mǎn)足了） 2nknk222nk t2s inV4???? ? (躍遷幾率 ) 而我們知 )(tt2sin2lim22t ???????? 即 T 很大時(shí)， )(T2T2s innk2nknk2?????? 由此可見(jiàn)， 0k0n EE ? 時(shí)， nkP? 最大，而 0k0n EE ? 時(shí)， nkP? 小 12 （ Tm2nk ?? ?時(shí)， nkP? 為 0 ， ?,2,1m? ） 0nk?? 時(shí)，最大 這表明，當(dāng) T 大時(shí)， 0Tnk ??? ，保持 0T? 時(shí)的 0kE 變化不大的躍遷幾率較大。H0 i? i? 當(dāng)突然加一外場(chǎng) 00 HH ?? ，波函數(shù)不變 ????? ?? ??? ?j 0jj0i ttb tt? ? 在 39。 00xnPP 22220n0 ??? ?? ? 末態(tài) ? 初態(tài)。 ③ 當(dāng) ? 很小，即微擾在很短時(shí)間加上，即在非?？斓倪^(guò)程（微 擾施加），則體系狀保 持不變，這稱(chēng)為 Sudden approximation。 因此，我們?cè)?t 時(shí)刻，測(cè)量發(fā)現(xiàn)體系處于這一態(tài)的幾率為 21ti1tt nk22)1(knnk dte)t(V1)t(aP 1nk0 ????? ? 例：一線性諧振子，被時(shí)間相關(guān)的位勢(shì)所擾動(dòng) x)t(P)t,x(V ? 而 2)t(0 eP)t(P ?? ?? ???t （即 ???0t ），體系處于基態(tài)。nn)2(kn 39。n39。nn)1(n nk39。n39。nn)2(n 39。n39。nn)1(n 39。n39。 假設(shè) V 很小，可看作一微擾，則可通過(guò)逐級(jí)近似求解。nn ?? （ n? 為 0H? 的本征態(tài)） )t(an 是 t 時(shí)刻，以 H? 描述的體系，處于 0H? 的本征態(tài) n? 中的幾率振幅。nn ??? ?? rd)r()t,r(V)r(V 39。nn?? ? ?)EE( 0 39。n ti39。n0n? ?? ?? )t(aeV 39。n t)EE(i39。n0n? ???? ?? 得方程 )t(aeV)t(adtdi 39。n t)EE(i39。ne)r()t(a ?? 代人 .，并與 )t,r(n? 標(biāo)積，得 )t(aeV)t(aE)t(aE)t(adtdi 39。n39。n )t,r()t(a)t( ? ? ??39。n 39。 設(shè)： VH?H? 0?? ????? H?ti? 當(dāng)然， ? 仍可按 0H? 的定態(tài) n? 展開(kāi)，但由于 n? 不是 H? 的定態(tài)，所以展開(kāi)系數(shù)是與 t有關(guān)。 (1) 含時(shí)間的間的微擾論 H? 與 t 有關(guān)，體系原處于 )P?,r(H?0 ，隨 t 加一微動(dòng) )t(V ?? H?ti ???? )t(VH?)t(H? 0 ?? 因 0H? 不顯含 t ，而有 )r(E)r(H? n0nn0 ?? ? 則 ??0H?ti ???? 的通解為 ? ??? n tiEnn 0nea)t,r( ?? 0H 的定態(tài) ??n n )t,r(a ? ?tiEn ne)r()t,r( ?? ? 而 na 是常數(shù) ))0,r(),r(())t,r(),t,r((a nnn ???? ?? 不隨 t 變 當(dāng) nkna ?? 時(shí)，即 0t? ，處于 )r(k? 時(shí) )t,r(e)r()t,r( ktiEk k ?? ??? ? ? 即微擾不存在時(shí)，體系處于定態(tài) )t,r(k? 上。這就需要利用含時(shí)間的微擾論。當(dāng)然，這與作用前的幾率已有所不同。而且無(wú)法獲得解析結(jié)果。 現(xiàn)在要處理的問(wèn)題是：體系原處于 0H? 的本征態(tài)（或疊加），而有一與 t 有關(guān)的微擾)t(H?1 附加到該體系。 量子躍遷 前二節(jié)，我們解決的是 H? 與 t 無(wú)關(guān)，但不能直接求解，而