【正文】 DEA有效； 若 θ0=1，且 s0 = 0， s0+ = 0，則評價單元 DMUj0為DEA有效。 33 0 0 引入非阿基米德無窮小量之前 的 C2R模型： 0 0 34 帶有非阿基米德無窮小的 C2R模型 ? 其中， e∧ T=(1,1,…,1) ∈ Rm, eT=(1,1,…,1) ∈ Rp ε— 非阿基米德無窮小。 32 具有非阿基米德無窮小的 C2R模型 ? 根據(jù)定理 2，線性規(guī)劃（ D）判斷 DMUj0的 DEA有效性時，需檢查它的所有解 λ0, s0, s0+,θ0都滿足條件 VD =θ0=1， s0=0， s0+=0. ? 注意：如果只有 θ0=1，并非所有的 s0=0， s0+=0，不能保證 DMUj0的 DEA有效性。 （ P） 0 0 0 y0 0 0 30 定理 1 線性規(guī)劃 (P)及其對偶規(guī)劃 (D)都有可行解，因而都有最優(yōu)解，并且最優(yōu)值 VD = Vp≤1 ? 判定評價單元的 DEA有效性，可以用對偶規(guī)劃 (D). 定理 2 對于對偶規(guī)劃（ D）有： （ 1） DMUj0為 弱 DEA有效的充分必要條件是線性規(guī)劃（ D）的最優(yōu)解 VD =θ0=1。 ? DMUj0為 DEA有效 ，就是 DMUj0相對于其他評價單元，效率評價指標(biāo)取得最優(yōu)值，在多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出情況下，取得最佳經(jīng)濟(jì)效率。此時，有 =1。 例題附圖 DEA評價 C2R模型示意圖 0 0 (P) y0 0 26 27 評價系統(tǒng)的 DEA有效性 ? 定義 2 如果線性規(guī)劃 (P)的最優(yōu)解 ω0,μ0滿足條件 : Vp =μTy0 = 1 則稱評價單元 DMUj0為 弱 DEA有效。 0 0 19 ? 令： ， ω=t v， μ=t u，則 0000001xvyuyuxvyuyμ ?????? ??????? tjjjjjjttxvyuxvyuxωyμ????????? ???11 00T00 ??????? ??? xvxvxvxω t0T1xv?t20 ? 令： ， ω=t v,μ=t u，則由模型 2得 ω≥0， μ≥0 0T1xv?t000 xvyuyμ??? ?1?? ????jjjjxvyuxωyμ10 ?? xω01 ???? ??????jjjjjj yμxωxvyuxωyμ：，： 必須有要保證21 0 0 0 0 模型 2 22 0 0 0 0 (P) y0 0 參見例題 23 (P)的對偶形式為 24 0 0 0 0 (P) y0 0 25 ? 例題 （ 解決對號入座問題 ）：設(shè)有 4個評價單元， 2個投入指標(biāo)和 1個產(chǎn)出指標(biāo)的評價系統(tǒng)。 ? 在約束條件 hj≤1 (j =1, 2, …, n)下， 選擇一組最優(yōu)權(quán)系數(shù) u和 v, 使得 h0達(dá)到最大。 15 ? 設(shè)評價系統(tǒng)中，投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù)向量分別是 v = (v1, v2,…, vm)T； u = (u1, u2,…, up)T. ? 對于評價單元 DMUj, 定義其效率評價指標(biāo)為 16 ? 按效率評價指標(biāo)定義，有 （ 1）可以適當(dāng)選取向量 u, v，使得 hj≤1； （ 2）對于評價單元 DMUj0， hj0越大，表明 DMUj0能夠用 相對 較少的輸入得到相對較多的產(chǎn)出。 j=1, 2, …, p)。 yyxx ?? ????njjjnjjj λλ11,12 基本 C2R模型 C2R模型 ? 設(shè)有 n個部門或企業(yè)，稱為 n個評價單元 DMUj (j =1, 2, …, n)，每個評價單元都有 m種投入和 p種產(chǎn)出，分別用不同的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)表示，構(gòu)成了有 n個評價單元的多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的評價系統(tǒng)，如圖所示。 11 （ 4）最小性 ? 生產(chǎn)可能集 T是滿足上述條件（ 1） ~（ 3）的所有集的交集。 10 （ 2）錐性 ? 若 (x, y)∈ T及 k≥0, 則 k (x, y) = (kx, ky)∈ T 即，以原輸入的 k倍作為新的輸入，則得到原產(chǎn)出的 k倍是可能的。 7 2. DEA基本模型 基本概念 ? 在多投入和多產(chǎn)出的評價系統(tǒng)中，某種‘‘生產(chǎn)’’活動可以用一組投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值表示，評價單元 DMUj的一組投入指標(biāo)值 xj和產(chǎn)出指標(biāo)值 yj用向量表示為 xj = (x1j, x2j, …, xmj)T (1) yj = (y1j, y2j, …, ypj)T (2) 8 ? 定義 1 一般稱 T為所有可能的生產(chǎn)活動構(gòu)成的生產(chǎn)可能集： T =｛ (x, y)|產(chǎn)出 y能用輸入 x生產(chǎn)出來 ｝，有 (xj, yj)∈ T (j=1,2,…, n) ? 一般假設(shè)生產(chǎn)可能集滿足下列 4條公理： (1)凸性； (2)錐性； (3)無效性； (4)最小性。 6 ? 1986年，查恩斯、庫伯和 中國人民大學(xué)魏權(quán)齡 教授為了進(jìn)一步的估計 有效生產(chǎn)前沿面 ，提出了評價無窮多個評價單元的一種新的 C2W模型 。 ? 1985年，查恩斯、庫伯、格拉尼 (B. Golany)、賽福德 (L. Seiford)和斯圖茨 (J. Stutz)提出了 C2GS2模型 。 5 DEA方法的提出和發(fā)展 ? 1978年，查恩斯 (A. Charnes)、庫伯 ()和羅茲 (E． Rhodes)提出了第一個 DEA模型，評價部門間的相對有效性，這個模型被命名為 C2R模型 。 ? 被評價對象是 相同類型的部門 、 企業(yè) 或者 同一部門（企業(yè)）的不同時期 的相對效率。 4 1. DEA方法概述 ? DEA (Data Envelopment Analysis)方法又稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法，是對 多指標(biāo)投入 和 多指標(biāo)產(chǎn)出 的相同類型部門（企業(yè)） ，進(jìn)行 相對有效性 綜合評價的 一種方法。 ? 假設(shè)各企業(yè)規(guī)模收益不變，同比例擴(kuò)大產(chǎn)量到 120. 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 投入 1（ x1j） 19 1 1 2 10 5 8 20 投入 2（ x2j） 10 1 6 15 17 1 1 20 產(chǎn)出（ yj） 120 8 24 40 120 20 24 60 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 x1j 19 15 5 6 10 30 40 40 x2j 10 15 30 45 17 6 5 40 yj 120 120 120 120 120 120 120 120 3 x1j x2j 20 40 20 40 1 5 3 4 8 2 6 7 ? 把 8個生產(chǎn)點(diǎn)包圍在右上方最小的凸集中，形成的折線總體，稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)曲線。1 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析技術(shù) 參考文獻(xiàn) 1葉義成等 . 系統(tǒng)綜合評價技術(shù)及其應(yīng)用 . 冶金工業(yè)出版社 2020. 2 杜棟等 . 現(xiàn)代綜合評價方法與案例精選 . 清華大學(xué)出版社 2020. 3 秦守康等 . 綜合評價原理與方法 . 電子工業(yè)出版社 2020. 4 魏權(quán)齡等 . 數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué) . 中國人民大學(xué)出版社2020. 2 導(dǎo) 例 ? 設(shè)有 8個雙投入、單產(chǎn)出的同類型企業(yè)，投入產(chǎn)出量如表 1所示。試對其生產(chǎn)效率進(jìn)行概略分析。 ? 凡是凸包中 △ x2j /△ x1j＜ 0的邊界點(diǎn)，都是生產(chǎn)效率相對高的點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)都是生產(chǎn)效率相對低的點(diǎn)。它也是研究多投入多產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)的有力工具。 ? 被評價的這些 部門 、 企業(yè) 或 時期 稱為決策單元（ DMU）或評價單元。用這個 模型評價多投入多產(chǎn)出生產(chǎn)部門的規(guī)模有效性和技術(shù)有效性 ，都是卓有成效的。這種模型評價 生產(chǎn)部門間技術(shù)有效性 是十分有效的。 DEA模型的特點(diǎn)之一 ： ? 應(yīng)用客觀數(shù)據(jù)，避免了主觀性。 ? 為什么？ 9 生產(chǎn)可能集 4公理 （ 1）凸性 對任意的 (x, y)∈ T和 (x’,y’)∈ T，以及 α∈ [0,1], 有 α (x, y)+(1α)(x’,y’)∈ T ? 即，如果分別以 x和 x’的 α倍和 (1α)倍之和作為新的輸入，則可得到原產(chǎn)出相同比例之和的新的產(chǎn)出，凸性表明 T是凸集。 （ 3）無效性 ? 設(shè) (x, y)∈ T， 若 x’≥x, 則 (x’, y)∈ T；若 y’≤y，則 (x, y’)∈ T. 此即，在原來生產(chǎn)活動的基礎(chǔ)上，增加投入或減少生產(chǎn)總是可能的。 ? 在滿足上述 4條公理的基礎(chǔ)上 ，對于已有的觀測值(xj, yj), j =1,2,…, n，可以構(gòu)造生產(chǎn)可能集 ? T ={(x, y)| ,λj≥0, j =1,2,…, n} ? 后邊的模型及其求解，建立在這個集合之上。 13 DEA評價系統(tǒng)構(gòu)成 權(quán)重 權(quán)重 14 圖中， xij—DMUj評價單元第 i種投入指標(biāo)， xij＞ 0； yrj—DMUj評價單元第 r種產(chǎn)出指標(biāo)的產(chǎn)出量， yrj＞ 0； vi—第 i種投入指標(biāo)的權(quán)系數(shù)， vi≥0； ur—第 r種產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù)， ur≥0； (i=1, 2, …, m。 xij和 yrj是向量 xj