【正文】 x o x x??，即 39。 在本文的研究中主要用到以下基本概念和相關(guān)定理。本文將系統(tǒng)地研究泰勒公式的若干問題，從泰勒公式的證明到泰勒公式的中間點的漸近性，最后再討論泰勒公式的應(yīng)用以及泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系等。 在一般的《數(shù)學(xué)分析》中，僅給出 了泰勒公式 的 證明以 及 在 計算極值問題 方面的應(yīng)用 ， 但在實際的生產(chǎn)和生活中， 我們經(jīng)常會 應(yīng)用泰勒公式來解決一些實際問題， 因此有必要對泰勒公式的若干問題進行深入研究。其中 劉瑜 [3]給出了泰勒公式在 n 階行列式計算中的應(yīng)用問題 ； 邱 忠文 [5]討論了利用泰勒公式 證明函數(shù)的凸凹性問題； 續(xù)鐵權(quán)[8]討論了泰勒公式“中間點”當(dāng) x?? 的漸 近 性 態(tài) 問題 ； 鮑春梅 [12]討論了當(dāng)區(qū)間長度趨于零與無窮時 “中間點” ? 的漸近性問題。determinant。 Ke y words： Taylor formula。 In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 011lim 1 1nm m n????? ? ? ?and 1( 1 )lim [ ]! (1 )x anx a n ??? ?? ?? ? ? ? ??? ? ?。 Secondly, we discuss the application of Taylor formula。 關(guān)鍵詞： 泰勒公式 ；斂散性；行列式 ； 漸 近 性 濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 1 ABSTRACT In this paper， we discuss some problems of Taylor formula。其次我們討論了泰勒公式的應(yīng)用問題，主要分析了泰勒公式在計算行列式，判斷級數(shù)斂散性，判斷函數(shù)凹凸性等方面的應(yīng)用，并輔以具體的例子進行說明，另外我們研究了泰勒公式中間點的漸近性問題，主要分區(qū)間 長度趨于零 和區(qū)間長度趨于無窮大兩種情況進行了討論， 當(dāng)區(qū)間長度趨于零與無窮時中間點 ? 分別滿足的條件011lim 1 1nm m n????? ? ? ?與 1( 1 )lim [ ]! (1 )x anx a n ??? ?? ?? ? ? ? ??? ? ?。 畢業(yè) 論文 題 目 泰勒公式的若干問題研究 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計算科學(xué) 班 級 計算 0901 學(xué) 生 呂晗 學(xué) 號 20200921073 指導(dǎo)教師 徐美榮 二〇一 三 年 五 月 二 十 五 日 摘 要 本文 探討了泰勒 公式 的若干問題。 首先給出了幾種不同形式的泰勒公式并給出了相應(yīng)的證明。 最后討論了 泰勒公式與泰勒級數(shù)之間的關(guān)系 以及泰勒公式與泰勒級數(shù)在計算方面的應(yīng)用 。 Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。 We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant， judging the convergence of series， determining the application of convex function bined with concrete example to explain。 Finally, we discusses the relationship between the Taylor formula and Taylor series and the Taylor formula and Taylor Series in putational applications。 convergence。 asymptotic behavior 濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 2 目 錄 摘要 ……… ……………………………………… ..…… .… .… ……… .. ...... .....I ABSTRACT… ………… ………… … ..………………………… …………………… ..… II 1 前言 ……… .…………… …………… ..……… ……………… .…… … .… … ……… … ..1 引言 ……………………………………………………………………………… ..1 相關(guān)概念 ……… ........................................…… …… .…… …… .… …… ...… … .… ..1 2 泰勒公 式 ......................…… ..… .………………………… .… ..… .………… .5 泰勒公式 的 幾種形式 …… ...…………………………… .……… ……………… ..5 泰勒公式 的 證明 ..… … … ………………………… .…………………… ..……… 6 3 泰勒公式 的應(yīng)用 … … …………………………………………… ……… ……… .…… .8 泰勒公式在計算行列式中的應(yīng)用 ..… … … .… …… .……………………… … … ..8 泰勒公式在 判別 斂散性 方面 的 應(yīng)用 .……… … …………… … ...…………… ..… 9 性中 的應(yīng)用 … … ..……………………… …… ..…… 11 4 泰勒公式的“中間點”的漸近性 …………………………………………………… .12 當(dāng) 區(qū)間長度趨于零時 “中間點” 的漸近性 …………………… ……… .…… ..12 當(dāng) 區(qū)間長度趨于無窮 時 “中間點” 的漸 近 性 ..……… ………… .…………… .12 5 泰勒公式與泰勒級數(shù) … …………… .…………………… … …… ……….… ……… … 19 泰勒公式與泰勒級數(shù) 的區(qū)別 … ……… ..… …………… ..… ...… … ……… …… .19 泰勒公式與泰勒級數(shù)的應(yīng)用 … ……… ………………………… .…………… ...20 結(jié)論 ......................… …… .………….…………………… ..… .…… ...… ..… . ……… ........22 參考文獻 ......................…………….………………… ..… .… ..……………… .………… .23 致謝 ......................………………….…………………… ..…… .………… ...…………… .24 濟南大學(xué)畢業(yè) 論文 3 1 前言 引言 泰勒公式在數(shù)學(xué)上占有非常重要的地位， 近年來，關(guān)于 泰勒公式的證明以及應(yīng)用的研究已經(jīng)引起國內(nèi)外很多學(xué)者的關(guān)注和思考，對于泰勒公式的證明，“中間點 ” 的漸 近 性及利用泰勒定理判斷 級數(shù)斂散性 、判斷函數(shù)凹凸性，泰勒公式與泰勒級數(shù)之間的關(guān)系等方面的研究，都取得了 一定的進展。 鮑培文 [5]給出了泰勒公式與泰勒級數(shù)的異同和典型應(yīng)用問題 。在一些文獻中只是具體地研究了泰勒公式的應(yīng)用問題或中間點的漸近性問題。 對于泰勒公式的應(yīng)用太少， 我們要研究的泰勒公式問題 ，不僅要熟練應(yīng)用泰勒公式計算極值 ，還要研究泰勒公式 在 更多方面的作用，如 當(dāng)“中間點”趨于零與無窮時? 滿足的條件 ,利用泰勒公式計算行列式，利用泰 勒公式證明函數(shù)凹凸性，以及研究泰勒公式與泰勒級數(shù)之間的關(guān)系，更進 一步了解泰勒公式的 性質(zhì)。 相關(guān)概念 及定理 定義 [1]對于一般函數(shù) f ，設(shè)它在點 0x 存在直到 n 階的導(dǎo)數(shù) .由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個 n 次多項式 ()20 0 00 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ! 2 ! !n nn f x f x f xT x f x x x x x x xn? ??? ? ? ? ? ? ?，則稱為函數(shù) f 在點 0x 處的泰勒多項式， ()nTx的各項系數(shù) ()0()!kfxk ( 1,2, , )kn? 稱為泰勒系數(shù) 。39。2 000 0 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ( ) )2 ! !n nnf x f xf x f x f x x x x x x x o x xn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 稱為函數(shù) f 在點 0x 處的泰勒公式， ( ) ( ) ( )nnR x f x T x??稱為泰勒公式的余項 。39。2 000 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )2 ! !n nf x f xf x f x f x x x x x x xn? ? ? ? ? ? ? ? ?， 其中 00()()!n nfx xxn ? ，稱為拉格朗日余項，以上函數(shù)展開式稱為泰勒級數(shù) 。 定理 [1]洛必達法則 設(shè)函數(shù) ()fx與 ()Fx滿足下列條件 : (1) lim ( ) 0xafx? ? ， lim ( ) 0xaFx? ? ； (2) 在點 a 的某去心鄰域內(nèi) ()fx? 與 ()Fx? 都存在且 ( ) 0Fx? ? ； (3) lim ( ( ) / ( ))xa f x F x? ??存在或為無窮大 ； 則 l i m ( ( ) / ( ) ) l i m ( ( ) / ( ) )x a x af x F x f x F x?? ???。 本部分 在現(xiàn)行教材對 泰勒公式證明的基礎(chǔ)上， 研究 泰勒公式的一種新的更為簡單的證明方法 。 定 義 [1] 帶有 Peano 型余項的泰勒公式 :函數(shù) ()fx在， [, ]ab 上具有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則 [ , ]x ab?? 有