【正文】 和 MP的值，然后分點(diǎn) E在 AC上和點(diǎn) E在 BC上兩種情況，根據(jù)△EBP∽△ABCC ，求出 AP的值，從而得出 AM和 BN的值，再根據(jù) △AME∽△ENB ，求出 a 的值，得出 AP的長(zhǎng)。 【考點(diǎn)】勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直 角三角形的應(yīng)用。 89 =42。 ∴ 89a? 。 ∴BN=9 a － 5a =4a ， AM=50－ 9a － 5a =50－ 14a 。 ② 當(dāng)點(diǎn) E在 BC上時(shí)，如圖，設(shè) EP=12a ，則 EM=13a ， MP=NP=5a ， ∵△EBP∽△ABC ， ∴ BP EPBC AC? ，即 BP 1230 40a? 。 ∴AP=16179。 6 ∵△AME∽△ENB ， ∴ AM MEEN NB? ，即 11 1313 50 21aa? ? 。 由（ 1），當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn) C重合時(shí)， AP= 2 2 2 2A C C P 40 24 32? ? ? ?， ∴ 函數(shù)的定義域是： 0＜ x ＜ 32。 ∴ x =16a ， 16xa? ， ∴BP=50 － 16a ， ∴y=50 － 21a ， =50－ 21178。 ∵EM=EN ， ∴EN=13 a ， PN=5a 。 ∴CM=CP 24 2612sin EM P13???。 ∴ AB ACBC CP? ，即 50 4030 CP? 。 ， ∴AC= 2 2 2 2A B B C 50 30 40? ? ? ? 。 3.（上海 14分）在 Rt△ABC 中， ∠ACB ＝ 90176。 ② 應(yīng)用勾股定理和相似三角 形的判定和性質(zhì)求出PF和 QF即可。 【分析】 (I) 只要把二次函數(shù)變形為 ? ?2y a x m n? ? ?的形式即可。 ∴m 的最大值為 8。 解得 0 2x? ， 39。 ∴ 22 1 ( 4)2yx??。 ∴ 將 0 2x? 帶入 21()2 x h x??， 得 21(2 ) 22 h??。 ∴ 當(dāng) 0 2x? 時(shí)．所對(duì)應(yīng)的 39。0x 的值不斷增大， ∴ 當(dāng)滿足 2 xm?? ，． 2yx? 恒成立時(shí)， m的最大值在 39。0x ，且 0x 39。 4 ∴ PF 1 PFQF QF 1?? ? ，即 112PF QF??。 ， ∠MFP=∠NFQ ， ∴△PMF∽△QNF 。 ∴Rt△PMF 中，有勾股定理，得 2 2 2 2 2PPP F F M P M (1 ) (1 )xy? ? ? ? ? ? 又點(diǎn) P（ PPxy， ）在拋物線 1C 上，得 2PP11( 1)22yx? ? ?， 即 2PP( 1) 2 1xy? ? ? ∴ 2 2 2P P PP F 2 1 (1 )y y y? ? ? ? ?，即 PPFy? 。 （ 3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及其四個(gè)頂點(diǎn)均在圖形 C上，可能會(huì)出現(xiàn)四種情況，分類討論即可。 【分析】（ 1）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，從而判定三角形 ADB為等腰直角三角形，其直角邊的長(zhǎng) 等于兩直線間的距離。 綜上，點(diǎn) M的橫坐標(biāo) x的取值范圍是﹣ 2＜ x ＜﹣ 1或 0≤ x ＜ 22 。 當(dāng)點(diǎn) M在弧 RB上時(shí)，如圖 5， 直線 PQ必在直線 AM的下方，此時(shí)不存在滿足題意的平行四邊形。 ③ 當(dāng)點(diǎn) M在弧 BD上時(shí)，設(shè)弧 DB的中點(diǎn)為 R，則 OR∥BF ， 當(dāng)點(diǎn) M在弧 DR上時(shí)，如圖 4， 過點(diǎn) M作 OR的垂線交弧 DB于點(diǎn) Q，垂足為點(diǎn) S，可得 S是 MQ的中點(diǎn)． ∴ 四邊形 AMPQ為滿足題意的平行四邊形。 ∴ ﹣ 2＜ x ＜﹣ 1。 ∴0 ＜ PQ＜ 2 。 （ 2）當(dāng)一次函數(shù) y =x +b的圖象與圖形 C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， b的取值范圍是 b= 2 或﹣ 1＜ b＜ 1； 當(dāng)一次函數(shù) y =x +b的圖象與圖形 C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， b的取值范圍是 1＜ b＜ 2 （ 3）假設(shè)存在滿足題意的平行四邊形 AMPQ，根據(jù)點(diǎn) M的位置，分以下 四種情況討論： ① 當(dāng)點(diǎn) M在射線 AE上時(shí)，如圖 2． ∵AMPQ 四點(diǎn)按順時(shí)針方向排列， ∴ 直線 PQ必在直線 AM的上方。 在 Rt△DO B中，由勾股定理得， BD= 2 。 。 1 2020 年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題解析（ 5） 1.（北京 8 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 x Oy 中，我把由兩條射線 AE， BF 和以 AB 為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形 C（注：不含 AB線段）．已知 A（﹣ 1， 0）， B（ 1， 0）， AE∥BF ，且半圓與 y 軸的交點(diǎn) D在 射線 AE的反向延長(zhǎng)線上． （ 1）求兩條射線 AE， BF 所在直線的距離； （ 2）當(dāng)一次函數(shù) y =x +b的圖象與圖形 C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出 b 的取值范圍；當(dāng)一次函數(shù) y =x +b 的圖象與圖形 C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出 b的取值范圍； （ 3）已知 AMPQ（四個(gè)頂點(diǎn) A， M， P， Q按順時(shí)針方向排列）的各頂點(diǎn)都在圖形 C上，且不都在兩條射線上，求點(diǎn) M的橫坐標(biāo) x 的取值范圍． 【答案】解：（ 1）連接 AD、 DB，則點(diǎn) D在直線 AE 上，如圖 1。 ∵ 點(diǎn) D在以 AB為直徑的半圓上， ∴∠ADB=90176。 ∴BD⊥AD 。 ∵AE∥BF ， ∴ 兩條射線 AE、 BF所在直線的距離為 2 。 ∴PQ 兩點(diǎn)都在弧 AD上，且不與點(diǎn) A、 D重合。 ∵AM∥PQ 且 AM=PQ， ∴0 ＜ AM＜ 2 。 2 ② 當(dāng)點(diǎn) M不在弧 AD上時(shí)，如圖 3， ∵ 點(diǎn) A、 M、 P、 Q四點(diǎn)按順時(shí)針方向排列， ∴ 直線 PQ必在直線 AM的下方，此時(shí)，不存在滿足題意的平行四邊形。 ∴0≤ x ＜ 22 。 ④ 當(dāng)點(diǎn) M在射線 BF上時(shí)，如圖 6， 直線 PQ必在直線 AM的下方，此 時(shí)，不存在滿足題意的平行四邊形。 【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角定理。 （ 2）利用數(shù)形結(jié)合的方法得到當(dāng)直線與圖形 C有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)自變量 x 的取值范圍即可。 2.（天津 10分）已知拋物線 1C ： 21 1 12y x x? ? ? ．點(diǎn) F(1， 1)． (Ⅰ) 求拋物線 1C 的頂點(diǎn)坐標(biāo)； (Ⅱ) ① 若拋物線 1C 與 y 軸的交點(diǎn)為 A．連接 AF，并延長(zhǎng)交拋物線 1C 于點(diǎn) B，求證： 3 112AF BF?? ② 拋物線 1C 上任意一點(diǎn) P（ PPxy， ） )（ 01Px??）．連接 PF．并延長(zhǎng)交拋物線 1C 于點(diǎn) Q（ xy， ），試判斷 112PF QF??是否成立？請(qǐng)說明理由； (Ⅲ) 將拋物線 1C 作適當(dāng)?shù)钠揭疲脪佄锞€ 2C ： 22 1 ()2y x h??，若 2 xm?? 時(shí)． 2yx? 恒成立，求 m的最大值． 【答案】解： (I)∵ 221 1 1 11 ( 1 )2 2 2y x x x? ? ? ? ? ?， ∴ 拋物線 1C 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 11 2， )． (II)① 根據(jù)題意，可得點(diǎn) A(0， 1)， ∵F(1 ， 1)． ∴AB∥ x 軸．得 AF=BF=1， 112AF BF?? ② 112PF QF??成立．理由如下： 如圖，過點(diǎn) P（ PPxy， ）作 PM⊥AB 于點(diǎn) M，則 FM= P1x? ， PM= P1y? （ P01x??）。 過點(diǎn) Q（ xy， ）作 QN⊥ AB，與 AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) N， 同理可得 Fy? ∵∠PMF=∠QNF=90176。 ∴ PF PMQF QN? ，這里 PP M 1 1 P Fy? ? ? ?， N 1 Q F 1y? ? ? ?。 (Ⅲ) 令 3yx? ，設(shè)其圖象與拋物線 2C 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 0x ， 39。0x ， ∵ 拋物線 2C 可以看作是拋物線 212yx? 左右平移得到的， 觀察圖象．隨著拋物線 2C 向右不斷平移， 0x ， 39。0x 處取得。0x 即為 m的最大值。 解得 4h? 或 0h? （舍去）。此時(shí)， 23yy? ， 得 21( 4)2 xx??。0 8x? 。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，拋物線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圖象平移，解一元二次方程。 (II) ① 求出 AF 和 BF 即可證明。 (Ⅲ) 應(yīng)用圖象平移和拋物線的性質(zhì)可以證明。 ， BC＝ 30， AB＝ 50．點(diǎn) P是 AB邊上任意一點(diǎn)，直線 PE⊥AB ，與邊 AC 或 BC 相交于 E．點(diǎn) M 在線段 AP 上，點(diǎn) N 在線段 BP 上， EM＝ EN， 5 12sin EMP 13??． （ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn) C重合時(shí)，求 CM的長(zhǎng)； （ 2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E在邊 AC上時(shí)，點(diǎn) E不與點(diǎn) A、 C重合，設(shè) AP＝ x ， BN＝ y ，求 y 關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域； （ 3）若 △AME∽△ENB （ △AME 的頂點(diǎn) A、 M、 E 分別與 △ENB 的頂點(diǎn) E、 N、 B 對(duì)應(yīng)），求 AP的長(zhǎng)． 【答案】解：（ 1） ∵∠ACB=90176。 ∵CP⊥AB ， ∴ △ABC∽△CPB 。 ∴CP=24 。 （ 2） ∵ 12sin EMP 13??， ∴ 設(shè) EP=12a ，則 EM=13a ， PM=5a 。 ∵△AEP∽△ABC ， ∴ PE BCAP AC? ，即 12 3040ax ? 。 16x ， =50－ 2116x 。 （ 3） ① 當(dāng)點(diǎn) E在 AC上時(shí)，如圖 2，由（ 2）知， AP=16a ， BN= y=50－ ? ?21 16 50 2116 aa??， EN=EM=13a ， AM=AP－ MP=16a － 5a =11a 。 ∴ 118a? 。 118 =22。 ∴BP=9 a 。 ∵△AME∽△ENB ， AM MEEN NB? ，即 50 14 1313 4aa? ? 。 ∴AP=50 － 9179。 綜上所述， AP的長(zhǎng)為： 22或 42。 【分析】（ 1）根據(jù)已知條件得出 AC的值，再根據(jù) CP⊥AB 求出 CP，從而得出 CM的值。 4.（重慶１２分）如圖，矩形 ABCD中， AB=6， BC=23 ，點(diǎn) O 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) P在 AB 的延長(zhǎng)線上，且 BP=3．一動(dòng)點(diǎn) E從 O點(diǎn)出發(fā)，以每秒 1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 OA勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá) A 點(diǎn)后，立即以原速度沿 AO 返回；另一動(dòng)點(diǎn) F從 P 點(diǎn)發(fā)發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線 PA 勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) E、 F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn) E、 F的運(yùn)動(dòng)過程中，以 EF為邊作等邊 △EFG ，使 △EFG 和矩形 ABCD在射線 PA的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t秒（ t≥0 ）． （ 1）當(dāng)?shù)冗?△ EFG的邊 FG恰好經(jīng)過點(diǎn) C 時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值； （ 2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)等邊 △EFG 和矩形 ABCD 重疊部分的面積為 S，請(qǐng)直接寫出 S 與 7 t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量 t的取值范圍； （ 3）設(shè) EG與矩形 ABCD 的對(duì)角線 AC 的交點(diǎn)為 H，是否存在這樣的 t，使 △AOH 是等腰三角形？若存大，求出對(duì)應(yīng)的 t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】解：（ 1）當(dāng)邊 FG恰好經(jīng)過點(diǎn) C時(shí)， ∠CFB=60176。= 23BF 。 ∴ 當(dāng)邊 FG恰好經(jīng)過點(diǎn) C時(shí)， t=1。 （ 3）存在。 。 ， ∴∠HAE=∠AHE=30176。 ∴AE=HE=3 ﹣ t或 t﹣ 3。=32AE ， ∴AE= 3 ，即 3﹣ t= 3 或 t﹣ 3= 3 。 2）當(dāng) HA=HO時(shí)，（如圖 ③ ） 則 ∠HOA=∠HAO=30176。 ， 8 ∴∠EHO=90176。 又 ∵AE+EO=3 ， ∴AE+2AE=3 ， AE=1。 ∴t=2 或 t=4。 ， ∴∠HOB=60176。 ∴AE=3 ，即 3﹣ t=3或 t﹣ 3=3， ∴t=6 （舍去）或 t=0。 【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)關(guān)系式，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)。 ， BF=3﹣ t，在 Rt△CBF 中，解直角三角形可求 t的值。 （ 3）存在。 5.（重慶綦江 10分）如圖，等邊 △ABC 中， AO是 ∠BAC 的角平分線， D為 AO上一點(diǎn)，以 CD為一邊且在 CD下方作等邊 △CDE ，連接 BE． （ 1）求證： △ACD≌△BCE ； （ 2）延長(zhǎng) BE至 Q， P為 BQ上一點(diǎn)，連接 CP、 CQ使 CP=CQ=5，若 BC=8時(shí)，求 PQ的長(zhǎng)． 【答案】解：（ 1） ∵△ABC 與 △DCE 是等邊三角形， ∴AC=BC ， DC=EC， ∠ACB=∠DCE=60176。 ∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60176。 ∴∠ACD=∠BCE 。 （ 2）過點(diǎn) C作 CH⊥BQ 于 H， 9 ∵△ABC 是等邊三角形， AO是角平分線， ∴∠DAC=30176。 。8=4 ， ∵PC=CQ=5 ， CH=4， ∴PH=QH=3 。 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含 30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理。 ，又由 ∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60