【正文】 2021備戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題專題平行四邊形的經(jīng)典綜合題附答案一、平行四邊形1．如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE．（1）①猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系，不必證明；②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷．（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例簡要說明理由．（3）在第（2）題圖4中，連接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，證明見解析；（2）BG⊥DE，證明見解析；（3）．【解析】分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時針旋轉(zhuǎn)90176。即可得到三角形DCE，從而判斷兩條直線之間的關系；②結(jié)合正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE，從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)兩條對應邊的比相等，且夾角相等可以判定上述兩個三角形相似，從而可以得到（1）中的位置關系仍然成立；（3）連接BE、DG．根據(jù)勾股定理即可把BE2+DG2轉(zhuǎn)換為兩個矩形的長、寬平方和．詳解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90176?！唷螩DE+∠DHG=90176?！唷螩DE+∠DHG=90176。∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4++1=．點睛：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理．2．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到到B′的位置，AB′與CD交于點E.（1）求證：△AED≌△CEB′（2）若AB = 8，DE = 3，點P為線段AC上任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥ + PH的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由折疊的性質(zhì)知，則由得到；（2）由，可得，又由，即可求得的長，然后在中，利用勾股定理即可求得的長，再過點作于，由角平分線的性質(zhì)，可得，易證得四邊形是矩形，繼而可求得答案.【詳解】（1）四邊形為矩形， ，又 ， ；（2） ， ， ， ，在中，過點作于， ， ， ， ， 、共線， ，四邊形是矩形， ， .【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.3．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】分析：（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結(jié)論；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，∴∠A=90176。DE=x，AE=6x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6x）2，解得：x= ，∵BD= =2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．點睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關鍵 4．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點，點F在邊BC的延長線上，且，連接DE，DF，EF. FH平分交BD于點H.（1）求證：；（2）求證：：（3）過點H作于點M，用等式表示線段AB，HM與EF之間的數(shù)量關系，并證明.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3），證明詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)， 得到.（2）由，平分，,所以.（3）過點作于點，由正方形性質(zhì)，所以.由，得.【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，.∴.∵。(2)不相切，證明見解析；（3）t=、.【解析】【分析】（1）由題意得出AB=2BE，t=2時，BE=22=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11時，2t=22，得出BC=18，當t=0時，點P在E處，m=△AEQ的面積=AQAE=20即可；（2）當t=1時，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出PQ=2，設以PQ為直徑的圓的圓心為O39。N⊥BC于N，延長NO39。M∥AB，MN=AB=8，由三角形中位線定理得出O39。N=MNO39。的半徑，即可得出結(jié)論；（3）分三種情況：①當點P在AB邊上，A39。=PA，A39。Q=∠A=90176。F==6，得出A39。F=4，在Rt△A39。=AP=8（42t）=4+2t，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當點P在BC邊上，A39。P=AP，證出∠APQ=∠AQP，得出AP=AQ=A39。落在CD邊上時，由折疊的性質(zhì)得：A39。Q=AQ=10，在Rt△DQA39。=6，得出A39。=2，在Rt△ABP和Rt△A39?！郟Q=，設以PQ為直徑的圓的圓心為O39。N⊥BC于N，延長NO39。M∥AB，MN=AB=8，∵O39。39。M=AP=3，∴O39。M=5＜，∴以PQ為直徑的圓不與BC邊相切；（3）分三種情況：①當點P在AB邊上，A39。CD=AB=8，AD=BC=18，由折疊的性質(zhì)得：PA39。Q=AQ=10，∠PA39。∴A39。B=BFA39。BP中，BP=42t，PA39。落在BC邊上時，連接AA39。P=AP，∴∠APQ39。PQ，∵AD∥BC，∴∠AQP=∠A39。P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP==6， 又∵BP=2t4，∴2t4=6，解得：t=5；③當點P在BC邊上，A39。P，如圖4所示：由折疊的性質(zhì)得：A39。Q=AQ=10，在Rt△DQA39。==6，∴A39。=2，在Rt△ABP和Rt△A39。P2=22+（222t）2，∴82+（2t4）2=22+（222t）2，解得：t=；綜上所述，t為或5或時，折疊后頂點A的對應點A′落在矩形的一邊上．【點睛】四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)圖象、直線與圓的位置關系、三角形中位線定理、等腰三角形的判定、以及分類討論等知識.7．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．性質(zhì)：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．應用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30176。根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB與