【正文】 AE=FC．∵AB=CD，∴ABAE=CDCF. ∴BE=DF. ∴BE=DE．Rt△AED中，由勾股定理，得，即，∴AE=AD.∴BE=2ADAD=.∴.（2）如圖3，延長PM交EA延長線于G，∴∠GAM=90176。．∵M為AD的中點，∴AM=DM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90176。，AB∥CD.∴∠GAM=∠PDM．在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3），值不變，理由如下：如圖1，連接BM交EF于點Q，過點F作FK⊥AB于點K，交BM于點O，∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90176。.∵四邊形FKBC是矩形，∴KF=BC，F(xiàn)C=KB.∵∠FKB=90176。，∴∠KBO+∠KOB=90176。.∵∠QOF+∠QFO=90176。，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.∵∠A=∠EKF=90176。，∴△ABM∽△KFE.∴即.∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴.∴的值不變．考點：；；；；．11．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE＝2．（1）如圖①，當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；（2）如圖②，當四邊形EFGH為菱形，且BF＝a時，求△GFC的面積（用a表示）；（3）在（2）的條件下，△GFC的面積能否等于2？請說明理由．【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能【解析】解：（1）過點G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，∠HEF＝90176。，EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90176。．∵∠AEH＋∠AHE＝90176。，∴∠AHE＝∠BEF．又∵∠A＝∠B＝90176。，∴△AHE≌△BEF．同理可證△MFG≌△BEF．∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．∴．（2）過點G作GM⊥BC交BC的延長線于M，連接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG．又∵∠A＝∠GMF＝90176。，EH＝GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．∴．（3）△GFC的面積不能等于2．說明一：∵若S△GFC＝2，則12－a＝2，∴a＝10．此時，在△BEF中，．在△AHE中，∴AH＞AD，即點H已經(jīng)不在邊AD上，故不可能有S△GFC＝2．說明二：△GFC的面積不能等于2．∵點H在AD上，∴菱形邊EH的最大值為，∴BF的最大值為．又∵函數(shù)S△GFC＝12－a的值隨著a的增大而減小，∴S△GFC的最小值為．又∵，∴△GFC的面積不能等于2．12．已知邊長為1的正方形ABCD中， P是對角線AC上的一個動點（與點A、C不重合），過點P作PE⊥PB ，PE交射線DC于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為點F．（1）當點E落在線段CD上時（如圖），①求證：PB=PE；②在點P的運動過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由；（2）當點E落在線段DC的延長線上時，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍然成立（只需寫出結(jié)論，不需要證明）；（3）在點P的運動過程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長，如果不能，試說明理由．【答案】（1）①證明見解析；②點PP在運動過程中，PF的長度不變，值為；（2）畫圖見解析，成立 ；（3）能，1.【解析】分析：（1）①過點P作PG⊥BC于G，過點P作PH⊥DC于H，如圖1．要證PB=PE，只需證到△PGB≌△PHE即可；②連接BD，如圖2．易證△BOP≌△PFE，則有BO=PF，只需求出BO的長即可．（2）根據(jù)條件即可畫出符合要求的圖形，同理可得（1）中的結(jié)論仍然成立．（3）可分點E在線段DC上和點E在線段DC的延長線上兩種情況討論，通過計算就可求出符合要求的AP的長．詳解：（1）①證明：過點P作PG⊥BC于G，過點P作PH⊥DC于H，如圖1．∵四邊形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45176。．∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90176。．∵PE⊥PB即∠BPE=90176。，∴∠BPG=90176。﹣∠GPE=∠EPH．在△PGB和△PHE中，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB=PE．②連接BD，如圖2．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOP=90176。．∵PE⊥PB即∠BPE=90176。，∴∠PBO=90176。﹣∠BPO=∠EPF．∵EF⊥PC即∠PFE=90176。，∴∠BOP=∠PFE．在△BOP和△PFE中， ∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO=PF．∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠BOC=90176。，∴BC=OB．∵BC=1，∴OB=，∴PF=．∴點PP在運動過程中，PF的長度不變，值為．（2）當點E落在線段DC的延長線上時，符合要求的圖形如圖3所示．同理可得：PB=PE，PF=．（3）①若點E在線段DC上，如圖1．∵∠BPE=∠BCE=90176。，∴∠PBC+∠PEC=180176。．∵∠PBC＜90176。，∴∠PEC＞90176。．若△PEC為等腰三角形，則EP=EC．∴∠EPC=∠ECP=45176。，∴∠PEC=90176。，與∠PEC＞90176。矛盾，∴當點E在線段DC上時，△PEC不可能是等腰三角形．②若點E在線段DC的延長線上，如圖4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE=135176。，∴CP=CE，∴∠CPE=∠CEP=176。．∴∠APB=180176。﹣90176。﹣176。=176。．∵∠PRC=90176。+∠PBR=90176。+∠CER，∴∠PBR=∠CER=176。，∴∠ABP=176。，∴∠ABP=∠APB．∴AP=AB=1．∴AP的長為1．點睛：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、四邊形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)等知識，有一定的綜合性，而通過添加輔助線證明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵．13．數(shù)學(xué)活動課上，老師給出如下問題：如圖，將等腰直角三角形紙片沿斜邊上的高AC剪開，得到等腰直角三角形△ABC與△EFD，將△EFD的直角頂點在直線BC上平移，在平移的過程中，直線AC與直線DE交于點Q，讓同學(xué)們探究線段BQ與AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．請你閱讀下面交流信息，解決所提出的問題．展示交流：小敏：滿足條件的圖形如圖甲所示圖形，延長BQ與AD交于點H．我們可以證明△BCQ≌△ACD，從而易得BQ=AD，BQ⊥AD．小慧：根據(jù)圖甲，當點F在線段BC上時，我們可以驗證小慧的說法是正確的．但當點F在線段CB的延長線上（如圖乙）或線段CB的反向延長線上（如圖丙）時，我對小慧說法的正確性表示懷疑．（1）請你幫助小慧進行分析，小敏的結(jié)論在圖乙、圖丙中是否成立？請說明理由．（選擇圖乙或圖丙的一種情況說明即可）．（2）小慧思考問題的方式中，蘊含的數(shù)學(xué)思想是 ．拓展延伸：根據(jù)你上面選擇的圖形，分別取AB、BD、DQ、AQ的中點M、N、P、T．則四邊形MNPT是什么樣的特殊四邊形？請說明理由．【答案】成立；分類討論思想；正方形.【解析】試題分析：利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出BQ=AD，BQ⊥AD；利用已知條件分類得出，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的分類討論思想，拓展