【正文】 ），把（1，0）代入y=2x+t，t=2，∴當(dāng)線段GH與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，t的取值范圍是2≤t＜．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、根的判別式、三角形的面積等知識(shí)．在（1）中由M的坐標(biāo)得到b與a的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（2）中聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得GH與拋物線一個(gè)交點(diǎn)和兩個(gè)交點(diǎn)的分界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．2．如圖，拋物線y＝x2﹣mx﹣（m+1）與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A（x1，0），與x軸正半軸交于點(diǎn)B（x2，0）（OA＜OB），與y軸交于點(diǎn)C，且滿足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求拋物線的解析式；（2）以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，BC為直角邊作Rt△BCD，CD交拋物線于第四象限的點(diǎn)E，若EC＝ED，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由見解析.【解析】【分析】（1）由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根據(jù)OA＜OB，得出拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，那么m＝2，即可確定拋物線的解析式；（2）連接BE、OE．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BE＝CD＝CE．利用SSS證明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即點(diǎn)E在第四象限的角平分線上，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)Q作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F，連接CF，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F(xiàn)（1，0）．利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣3．根據(jù)AC∥FQ，可設(shè)直線FQ的解析式為y＝﹣3x+b，將F（1，0）代入，利用待定系數(shù)法求出直線FQ的解析式為y＝﹣3x+3，把它與拋物線的解析式聯(lián)立，得出方程組，求解即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線y＝x2﹣mx﹣（m+1）與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A（x1，0），與x軸正半軸交于點(diǎn)B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴m＝2，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）連接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90176。EC＝ED，∴BE＝CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB＝OC，又∵BE＝CE，OE＝OE，∴△OBE≌△OCE（SSS），∴∠BOE＝∠COE，∴點(diǎn)E在第四象限的角平分線上，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m），將E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝，∵點(diǎn)E在第四象限，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；（3）過(guò)點(diǎn)Q作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F，連接CF，則S△ACQ＝S△ACF．∵S△ACQ＝2S△AOC，∴S△ACF＝2S△AOC，∴AF＝2OA＝2，∴F（1，0）．∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣3．∵AC∥FQ，∴設(shè)直線FQ的解析式為y＝﹣3x+b，將F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直線FQ的解析式為y＝﹣3x+3．聯(lián)立，解得，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，12）或（2，﹣3）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求二次函數(shù)的解析式，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求直線的解析式，拋物線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知拋物線y=x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，－3），對(duì)稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．①當(dāng)線段PQ=AB時(shí)，求tan∠CED的值；②當(dāng)以點(diǎn)C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2－2x－3．（2）直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x－3．（3）①．①P1（1－，－2），P2（1－，）．【解析】【分析】已知C點(diǎn)的坐標(biāo)，即知道OC的長(zhǎng)，可在直角三角形BOC中根據(jù)∠BCO的正切值求出OB的長(zhǎng)，即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)．已知了△AOC和△BOC的面積比，由于兩三角形的高相等，因此面積比就是AO與OB的比．由此可求出OA的長(zhǎng)，也就求出了A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．【詳解】（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∴?＝1∴b=2∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），∴c=3，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x22x3；（2）∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)y=0時(shí)，x22x3=0．∴x1=1，x2=3．∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，∴A（1，0），B（3，0）設(shè)過(guò)點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+m，則，∴∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x3；（3）①∵AB=4，PQ=AB，∴PQ=3∵PQ⊥y軸∴PQ∥x軸，則由拋物線的對(duì)稱性可得PM=，∵對(duì)稱軸是直線x=1，∴P到y(tǒng)軸的距離是，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為?，∴P（?，?）∴F（0，?），∴FC=3OF=3=∵PQ垂直平分CE于點(diǎn)F，∴CE=2FC=∵點(diǎn)D在直線BC上，∴當(dāng)x=1時(shí)，y=2，則D（1，2），過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CECG=1=．在Rt△EGD中，tan∠CED=．②P1（1，2），P2（1，）．設(shè)OE=a，則GE=2a，當(dāng)CE為斜邊時(shí)，則DG2=CG?GE，即1=（OCOG）?（2a），∴1=1（2a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的縱坐標(biāo)為2，把y=2，代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x22x3得：x=1+或1∵點(diǎn)P在第三象限．∴P1（1，2），當(dāng)CD為斜邊時(shí)，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=，∴P和F的縱坐標(biāo)為：，把y=，代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x22x3得：x=1，或1+，∵點(diǎn)P在第三象限．∴P2（1，）．綜上所述：滿足條件為P1（1，2），P2（1，）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．4．（2017南寧，第26題，10分）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N．（1）直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，均為定值，并求出該定值．【答案】（1）a=，A（﹣，0），拋物線的對(duì)稱軸為x=；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，﹣4）；（3）．【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關(guān)于x的方程，解關(guān)于x的方程可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用拋物線的對(duì)稱性可確定出拋物線的對(duì)稱軸；（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠CAO=60176。然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1，則可得到