備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)備考之平行四邊形壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu)篇附答案解析-展示頁
2025-03-31 23:04本頁面
【正文】 ∠EAG，設(shè)∠DAG=∠EAG=α，根據(jù)∠FAE為∠BAE一半求出所求角度數(shù)即可．試題解析：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，∵∠EAP=∠BAP=30176。求∠AFE的度數(shù)；②若點(diǎn)E恰為線段DF的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)通過運(yùn)算說明點(diǎn)P會(huì)在線段BC的什么位置？并求出此時(shí)∠AFD的度數(shù)．歸納：（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（不與B，C重合），∠AFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論；猜想：（3）如圖2，若點(diǎn)P在BC邊的延長線上時(shí)，∠AFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？試在圖中畫出圖形，并直接寫出結(jié)論．【答案】（1）①45176。 ∵點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，在△CPF和△DPG中， ∴△CPF≌△DPG， ∴PF=PG=FG=2，延長BP交AC于E， ∵m∥n， ∴∠ECP=∠BDP， ∴CP=DP，在△CPE和△DPB中， ∴△CPE≌△DPB， ∴PE=PB，∵∠APB=90176。備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)備考之平行四邊形壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu)篇附答案解析一、平行四邊形1．（問題情景）利用三角形的面積相等來求解的方法是一種常見的等積法，此方法是我們解決幾何問題的途徑之一．例如：張老師給小聰提出這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，AB=3，AD=6，問△ABC的高AD與CE的比是多少？小聰?shù)挠?jì)算思路是：根據(jù)題意得：S△ABC=BC?AD=AB?CE．從而得2AD=CE，∴ 請(qǐng)運(yùn)用上述材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題：（1）（類比探究）如圖2，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD，CD上，且AF=CE，并相交于點(diǎn)O，連接BE、BF，求證：BO平分角AOC．（2）（探究延伸）如圖3，已知直線m∥n，點(diǎn)A、C是直線m上兩點(diǎn)，點(diǎn)B、D是直線n上兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段CD中點(diǎn)，且∠APB=90176。兩平行線m、n間的距離為4．求證：PA?PB=2AB．（3）（遷移應(yīng)用）如圖4，E為AB邊上一點(diǎn)，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分別為D，C，∠DAB=∠B，AB=，BC=2，AC=，又已知M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接DM、CN．求△DEM與△CEN的周長之和．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）5+【解析】分析：(1)、根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出△ABF和△BCE的面積相等，過點(diǎn)B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，從而得出AF=CE，然后證明△BOG和△BOH全等，從而得出∠BOG=∠BOH，即角平分線；(2)、過點(diǎn)P作PG⊥n于G，交m于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出△CPF和△DPG全等，延長BP交AC于E，證明△CPE和△DPB全等，根據(jù)等積法得出AB=APPB，從而得出答案；(3)、延長AD，BC交于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，設(shè)CF=x，根據(jù)Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根據(jù)等積法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，從而得出兩個(gè)三角形的周長之和．同理：EM+EN=AB詳解：證明：（1）如圖2， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABF=S?ABCD，S△BCE=S?ABCD， ∴S△ABF=S△BCE，過點(diǎn)B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H， ∴S△ABF=AFBG，S△BCE=CEBH，∴AFBG=CEBH，即：AFBG=CEBH， ∵AF=CE， ∴BG=BH，在Rt△BOG和Rt△BOH中， ∴Rt△BOG≌Rt△BOH， ∴∠BOG=∠BOH，∴OB平分∠AOC，（2）如圖3，過點(diǎn)P作PG⊥n于G，交m于F， ∵m∥n， ∴PF⊥AC，∴∠CFP=∠BGP=90176。 ∴AE=AB， ∴S△APE=S△APB， ∵S△APE=AEPF=AE=AB，S△APB=APPB，∴AB=APPB， 即：PA?PB=2AB；（3）如圖4，延長AD，BC交于點(diǎn)G， ∵∠BAD=∠B， ∴AG=BG，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，設(shè)CF=x（x＞0）， ∴BF=BC+CF=x+2， 在Rt△ABF中，AB=，根據(jù)勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2， 在Rt△ACF中，AC=，根據(jù)勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，∴34﹣（x+2）2=26﹣x2， ∴x=﹣1（舍）或x=1， ∴AF==5，連接EG， ∵S△ABG=BGAF=S△AEG+S△BEG=AGDE+BGCE=BG（DE+CE），∴DE+CE=AF=5， 在Rt△ADE中，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)， ∴AE=2DM=2EM，同理：BE=2CN=2EN， ∵AB=AE+BE， ∴2DM+2CN=AB， ∴DM+CN=AB，同理：EM+EN=AB ∴△DEM與△CEN的周長之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+[（DM+CN）+（EM+EN）]=（DE+CN）+AB=5+．點(diǎn)睛：本題主要考查的就是三角形全等的判定與性質(zhì)以及三角形的等積法，綜合性非常強(qiáng)，難度較大．在解決這個(gè)問題的關(guān)鍵就是作出輔助線，然后根據(jù)勾股定理和三角形全等得出各個(gè)線段之間的關(guān)系．2．操作：如圖，邊長為2的正方形ABCD，點(diǎn)P在射線BC上，將△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直線與AP所在直線交于點(diǎn)F．探究：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，①若∠BAP=30176。；②BC的中點(diǎn)，45176?！唷螪AE=90176。2=30176。∴∠ADE=∠AED=（180176。）247。在△AFD中，∠FAD=30176。=60176。∴∠AFE=180176。﹣75176。；②點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)時(shí)，P也為BC的中點(diǎn)，理由如下：如圖1，連接BE交AF于點(diǎn)O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴點(diǎn)A在線段BE的垂直平分線上，同理可得點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上，∴AF垂直平分線段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P為BC的中點(diǎn)，∴∠DAF=90176。+∠BAF，∴∠AFD=180176。；（2）∠AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，作AG⊥DF于點(diǎn)G，如圖1（a）所示，在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=90176。即∠FAG=45176。﹣45176。；（3）如圖2所示，∠AFE的大小不會(huì)發(fā)生變化，∠AFE=45176。+2α，∴∠FAE=∠BAE=45176。在Rt△AFG中，∠AFE=90176。=45176。．（1）求證：四邊形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度數(shù)．【答案】(1)見解析；（2）18176。根據(jù)矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DCO，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【詳
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