【正文】 （2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得點A的坐標，然后依據(jù)拋物線過點A，對稱軸是x=列出關于a、c的方程組求解即可；（2）設P（3a，a），則PC=3a，PB=a，然后再證明∠FPC=∠EPB，最后通過等量代換進行證明即可；（3）設E（a，0），然后用含a的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點F的坐標，然后依據(jù)中點坐標公式可得到，從而可求得點Q的坐標（用含a的式子表示），最后，將點Q的坐標代入拋物線的解析式求得a的值即可．【詳解】（1）當y=0時，解得x=4，即A（4，0），拋物線過點A，對稱軸是x=，得，解得，拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直線l經(jīng)過原點O，得到直線m，∴直線m的解析式為y=x．∵點P是直線1上任意一點，∴設P（3a，a），則PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90176?！郌P⊥PE．（3）如圖所示，點E在點B的左側時，設E（a，0），則BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點Q的坐標代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下圖所示：當點E在點B的右側時，設E（a，0），則BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點Q的坐標代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．綜上所述，點Q的坐標為（﹣2，6）或（2，﹣6）．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、中點坐標公式，用含a的式子表示點Q的坐標是解題的關鍵．3．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為（2，0），且經(jīng)過點（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點，M（m，n）為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點P的坐標為（，﹣1）．（3）定點F的坐標為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點坐標為（2，0），可設拋物線的解析式為y=a（x2）2，由拋物線過點（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點A、B的坐標，作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值，根據(jù)點B的坐標可得出點B′的坐標，根據(jù)點A、B′的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標；（3）由點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結合二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，即可得出（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0，由m的任意性可得出關于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點F的坐標．詳解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（2，0），設拋物線的解析式為y=a（x2）2．∵該拋物線經(jīng)過點（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=（x2）2=x2x+1．（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，∴點A的坐標為（1，），點B的坐標為（4，1）．作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值（如圖1所示）．∵點B（4，1），直線l為y=1，∴點B′的坐標為（4，3）．設直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（1，）、B′（4，3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=x+，當y=1時，有x+=1，解得：x=，∴點P的坐標為（，1）．（3）∵點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，∴（mx0）2+（ny0）2=（n+1）2，∴m22x0m+x022y0n+y02=2n+1．∵M（m，n）為拋物線上一動點，∴n=m2m+1，∴m22x0m+x022y0（m2m+1）+y02=2（m2m+1）+1，整理得：（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0．∵m為任意值，∴，∴，∴定點F的坐標為（2，1）．點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點之間線段最短找出點P的位置；（3）根據(jù)點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結合二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，找出關于x0、y0的方程組．4．（2017南寧，第26題，10分）如圖，已知拋物線與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N．（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；（3）證明：當直線l繞點D旋轉時，均為定值，并求出該定值．【答案】（1）a=，A（﹣，0），拋物線的對稱軸為x=；（2）點P的坐標為（，0）或（，﹣4）；（3）．【解析】試題分析：（1）由點C的坐標為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關于x的方程，解關于x的方程可得到點A和點B的坐標，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠CAO=60176。然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1，則可得到點D的坐標．設點P的坐標為（，a）．依據(jù)兩點的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；（3）設直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點M和點N的橫坐標，于是可得到AN的長，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長，最后將AM和AN的長代入化簡即可．試題解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴點A的坐標為（﹣，0），B（，0），∴拋物線的對稱軸為x=．（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60176?！郉O=AO=1，∴點D的坐標為（0，1）．設點P的坐標為（，a）．依據(jù)兩點間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．當AD=PA時，4=12+a2，方程無解．當AD=DP時，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴點P的坐標為（，0）．當AP=DP時，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴點P的坐標為（，﹣4）．綜上所述，點P的坐標為（，0）或（，﹣4）．（3）設直線AC的解析式為y=mx+3，將點A的坐標代入得：，解得：m=，∴直線AC的解析式為．設直線MN的解析式為y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴點N的坐標為（，0），∴AN==．將與y=kx+1聯(lián)立解得：x=，∴點M的橫坐標為．過點M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG=．∵∠MAG=60176?！郃M=2AG==，∴= == =．點睛：本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，分類討論是解答問題（2）的關鍵，求得點M的坐標和點N的坐標是解答問題（3）的關鍵．5．如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），與x軸交于點A、與y軸交于點B，直線CD與x軸交于點C、與y軸交于點D．若直線CD的解析式為y＝﹣（x+b），則稱直線CD為直線AB