初中數(shù)學(xué)競賽試題-文庫吧資料
2024-08-09 10:20本頁面
【正文】 x＜ 1984，由 得 當(dāng)且僅當(dāng) 1984x 是完全平方數(shù)時， y 是整 數(shù) .而 1984=26178。1 ， 177。8 中的某個數(shù)，但是這時（ 2x+3y） 2+5=（ 17n） 2+34na+（ a2+5） =a2+5（ mod17），而 a2+5 被17 整除得的余數(shù)分別是 5， 6， 9， 14， 4， 13， 7， 3， 1，即在任何 情況下（ 2x+3y）2+5 都不能被 17 整除，這與它能被 17 整除矛盾 .故不存在整數(shù) x， y 使 ① 成立 . 例 7 （第 33 屆美國數(shù)學(xué)競賽題）滿足方程 x2+y2=x3的正整數(shù)對（ x， y）的個數(shù)是（ ） . （ A） 0 （ B） 1（ C） 2（ D）無限個（ E）上述結(jié)論都不對 解由 x2+y2=x3得 y2=x2（ x1）， 所以只要 x1 為自然數(shù)的平方，則方程必有正整數(shù)解 .令 x1=k2(k 為自然數(shù) ),則為方程的一組通解 .由于自然數(shù)有無限多個 ,故滿足方程的正整數(shù)對(x,y)有無限多個 ,應(yīng)選 (D). 說明 :可用寫出方程的一組通解的方法 ,判定方程有無數(shù)個解 . (2) 不定方程的解法 不定方程沒有統(tǒng)一的解法 ,常用的特殊方法有 :配方法、因式（質(zhì)因數(shù)）分解法、不等式法、奇偶分析法和余數(shù)分析法 .對方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?,并正確應(yīng)用整數(shù)的性質(zhì)是解不定方程的基本思路 . 例 6 求方程 的整數(shù)解 . 解 (配方法 )原方程配方得 (x2y)2+y2=132. 在勾股數(shù)中 ,最大的一個為 13的只有一組即 5,12,13,因此有 8對整數(shù)的平方和等于132即 (5,12),(12,5),(5,12),(12,5),(5,12),(12,5),(5,12),(12,5).故原方程組的解只能是下面的八個方程組的解 解得 例 7 (原民主德國 1982 年中學(xué)生競賽題 )已知兩個自然數(shù) b 和 c及素數(shù) a 滿足方程 a2+b2= :這時有 a＜ b 及 b+1=c. 證明（因式分解法） ∵a 2+b2=c2， ∴a 2=（ cb）（ c+b）， 又 ∵a 為素數(shù)， ∴c b=1，且 c+b=a2. 于是得 c=b+1 及 a2=b+c=2b+1＜ 3b， 即 ＜ .而 a?3,∴ ?1 ， ∴ ＜ 1.∴a ＜ b. 例 9（第 35 屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題）滿足聯(lián)立方程 的正整數(shù)（ a， b， c）的組數(shù)是（ ） . （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 （ E） 4 解（質(zhì)因數(shù)分解法）由方程 ac+bc=23 得 （ a+b） c=23=1179。6 ， 177。4 ， 177。2 ， 177。 (3) 每個整數(shù)恰與 0,1,? ， m1，這 m 個整數(shù)中的某一個對模 m 同余； (4) 同余關(guān)系是一種等價關(guān)系： ① 反身性 ； ② 對稱性 ，則 ，反之亦然 . ③ 傳遞性 ， ，則 ； （ 5）如果 ， ，則 ① ； ② 特別地 應(yīng)用同余式的上述性質(zhì)，可以解決許多有關(guān)整數(shù)的問題 . 例 1（ 1898 年匈牙利奧林匹克競賽題）求使 2n+1 能被 3 整除的一切自然數(shù) n. 解 ∵ ∴ 則 2n+1 ∴ 當(dāng) n 為奇數(shù)時， 2n+1 能被 3 整除； 當(dāng) n 為偶數(shù)時， 2n+1 不能被 3 整除 . 例 2 求 2999最后兩位數(shù)碼 . 解 考慮用 100 除 2999所得的余數(shù) . ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴2 999的最后兩位數(shù)字為 88. 例 3 求證 31980+41981能 被 5 整除 . 證明 ∵ ∴ ∴ ∴ 2．不定方程 不定方程的問題主要有兩大類：判斷不定方程有無整數(shù)解或解的個數(shù)；如果不定方程有整數(shù)解，采取正確的方法，求出全部整數(shù)解 . (1) 不定方程解的判定
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