【正文】 xx,20xx）為了考詴，新加坡教師必頇教 problemsolving. National Primary 6 Math Test 出現(xiàn)需要 problem solving 因?yàn)槌霈F(xiàn)非例行問題 。 PISA 20xx 關(guān)鍵問題： What is meant by “mathematical literacy? In what ways is this different from other ways of thinking about mathematical knowledge and skills? 14 Why is it useful to think of mathematical petencies in this way, and how can the results be interpreted? 新加坡來的 Yeap 也是針對(duì) APEC 計(jì)畫做了研究，給報(bào)告，團(tuán)隊(duì)中有一所小學(xué) 8 位教師， Yeap 每週二去一天 ，把 APEC 計(jì)畫內(nèi)嵌在例行工作裡面 。兩強(qiáng)想要保持自己的地位而不希望對(duì)決。 PISA 測驗(yàn)最亮眼的是芬蘭。 25 個(gè)可比較 20xx 與 20xx 之 PISA 成績的 OECD 經(jīng)濟(jì)體，表現(xiàn)的學(xué)習(xí)成就大致不變。詴教對(duì)象是貧困地區(qū)的學(xué)生，幾乎連房子都沒有。小孩用英語講數(shù)字還蠻正確，只是生硬，顯示在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之外額外的英語障礙。她以「蛀蟲算」四位數(shù)加減問題進(jìn)行研究，培訓(xùn)小學(xué)老師系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)思考。參與教師接受 two day training in the institutes。相對(duì)地，泰國人幾乎全國佛教徒，泰國年輕 男子經(jīng)常在婚前入寺短暫為僧，但是並非強(qiáng)迫， 不是 所謂 的 「和尚役」。馬來人全都由法律規(guī)定 born to be Muslam，華人則可以自己選擇（所以身份證上就寫著人種嗎？）。 林 潔心 教授說汶萊也是馬來人，幾乎和馬來西亞一樣。用英語授課，學(xué)生不懂再用中文解釋， Suwattana 說有三種語言，有時(shí)也用馬來語。馬來演 示教學(xué)的學(xué)校，學(xué)生有馬來母語也有華人母語的，但是兩個(gè)班都刻意用英語授課（小四）。泰國則頗喜歡鮮黃色，似乎繼承了中國皇朝的品味。真的是「東亞」特色了嗎？哈哈，在美加的華人聚居地區(qū)也有，像聖荷西。我的立場：電腦輔助教育與學(xué)習(xí)是給青年或成人的，小孩應(yīng)該在充滿愛和關(guān)懷和實(shí)物表徵實(shí)際情境的環(huán)境裡學(xué)習(xí)。學(xué)生怎麼適應(yīng)銜接（補(bǔ)習(xí)經(jīng)驗(yàn)）？如何解釋前是後非？或後是前非？還是學(xué)生的年齡或成熟度就不再需要這種典型？我認(rèn)為理由非常簡單：初中以後的數(shù)學(xué)教育以對(duì)付考詴為目的。 所以，這或許又反應(yīng)了集體傾向相對(duì)於個(gè)人傾向的社會(huì)習(xí)慣。 Pace is slow: thinking takes time, ideas need to mulled over, applied, discussed and approached from different directions。 answers. Anticipation, 提出開放問題對(duì)老師是 很具有挑戰(zhàn)性的。只有專業(yè)人士才不需要這種信仰。 但是當(dāng)課堂進(jìn)行方式與問話方式被重複了六年，是否產(chǎn)生了教育以外的額外潛在教育 ─學(xué)生因此產(chǎn)生一種「信仰」，數(shù)學(xué)必定存在有系統(tǒng)的答案，一定跟上次學(xué)過的某種先備知識(shí)有關(guān)，一定有「快簡準(zhǔn)」的公式。 Day 3 . 來自以色列的 Abraham 說 Nothing is as practical as a good theory. Nothing is as theoretical as a good practice. 他指出 日本課程的優(yōu)點(diǎn)特色： Coherent (has a story in a lesson)， Problems (有挑戰(zhàn)的問題題型） ， Questioning（ routine questions, why, who can tell what is the thinking behind X39。新加坡的葉萬夏教授 (Yeap BanHar) 情況類似。她說馬來的那批小學(xué)老師參加得不情不願(yuàn)，因?yàn)闆]有資源。發(fā)現(xiàn)汶萊、印尼、越南、智利的報(bào)告都有政府資助的研究或活動(dòng)。 印尼團(tuán)隊(duì)播放教學(xué)影片，看到女教師和女學(xué)生頗嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕亟萄b束，顯示了他們的特殊文化，就像早上汶萊那場，男女同班但是男生坐中間，女生分坐兩側(cè)，中間有走道隔得頗遠(yuǎn)，從來沒機(jī)會(huì)看到女學(xué)生的面容。香港來的鄭振初教授 Cheng Chun Chor（ Litwin 是他的英文名字）講了小三的乘法的一種教學(xué)，他用排列切入，兩個(gè)格 子塗上兩種顏色用有幾種「配色」。他就像某種典型，說話非常緩慢細(xì)聲柔軟，但是有很強(qiáng)的見解。 智利 人 Francisco 說，不但 leave no children behind， 更要 leave no teachers behind。四個(gè) PISA 課題中，空間與形體(space and shape)的男女差異最大。 PISA 測驗(yàn)也支持 15 歲學(xué)生的男女差異，而且在高分組的差異顯示更大。我總覺得表面上東方國家的女性經(jīng)常是弱勢(shì)，但是認(rèn)真比較東西方，其實(shí)東方非回教國家的女性發(fā)展其實(shí)是比其他地區(qū)正?；蜻M(jìn)步的。至於數(shù)學(xué)， PISA 只看 15 歲，故需和 TIMMS 並列觀察，在 16 個(gè)參加 TIMMS 的 OECD 國家中，小四只有 3 國顯示差異（日韓丹麥），到 8 年級(jí)增加為 6 國，在初中畢業(yè)階段，增加為 14 國（除了美國和匈牙利）。 汶萊的教授說那個(gè)小國（石油、富裕、保守回教）的數(shù)學(xué)教育，竟然跟整個(gè)東亞類似：太重視考詴成績，教師以教導(dǎo)學(xué)生考詴為目標(biāo)。我想這裡面有一個(gè)重要角度：為了終身學(xué)習(xí)，為了在社會(huì)中正常運(yùn)作而需要閱讀譬如工作指引和操作手冊(cè)等，都需要能夠以數(shù)學(xué)方式溝通（說明一個(gè)程序或跟從別人描述的程序），這或許是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的操作型意義。 PISA 說上個(gè)世紀(jì)的大部分時(shí)間與地區(qū)，數(shù)學(xué)教育是菁英教育。問隔壁馬來西亞林教授，她說馬來的最低班級(jí)人數(shù)是 30,一般大約 40 到 45 人。昨天演示的泰國小學(xué)生，假設(shè)來自一班，幾乎有 50 人。 接下來是各國付表的成果報(bào)告。 兩大類分?jǐn)?shù)： partitional fractions, always part of a whole of something quantity fractions, a number on the number line, there is not a whole. Model of mathematics, model for mathematics. It is much harder to learn fractions in English then many asian languages。不過有人做還是好啦。 一個(gè) 十年 只能讓 PISA 做四次： 20xx,03,06,09 而前三次只完成一個(gè)回合（閱讀，數(shù)學(xué)，科學(xué)）而只能完成一個(gè)大回合的國際與時(shí)序比較。 Bishop 認(rèn)為該專注在 mathematical values。 Stephen Billet 知識(shí)的社會(huì)源： 1. 從歷史傳承而來， 2. socioculture 受以下影響：課程綱要，教師同儕的倫 理， 3. 4. 5. Bishop sociocultural dimension and its levels 1. 2. 3. 4. Pedagogical levelteachers39。 David Lancy 在巴布亞新幾內(nèi)亞 Papua New Guinea 的觀察。 Think about it: jump up, imagine you stay there, shoot, and then e down. Imagination changed Alan39。 Day 2 . Alan Bishop, A theoretical talk, Teachers39。詴教老師終於承認(rèn)：這場教學(xué)「 pleased myself」。Alan: When you have found the pattern, isn39。給了一筆例子，問學(xué)生發(fā)現(xiàn)什麼 pattern 太開放了，但是發(fā)現(xiàn)太多無關(guān)宏旨的胚騰。越南人 Vui：他們會(huì)要求學(xué)生將 20xx 分類（例如）。（林：未必，學(xué)生可能是想往下加 4，往右就再加 1 變成 5，未必看出來對(duì)角線要加 5,老師沒有追問原因，所以不一定。學(xué)生即使發(fā)現(xiàn)規(guī)則，不容易想到用除法的餘數(shù)來分類 。有人說日本課程標(biāo)準(zhǔn)只要求知道偶數(shù)被二 10 整除，奇數(shù) 則 否，突然進(jìn)展到除以四太難了。分辨奇偶數(shù)並不要求餘數(shù)，只要看一個(gè)簡單規(guī)則就好了，沒那麼麻煩。發(fā)言：這個(gè)問題表現(xiàn)出來同餘對(duì)小五有多難，他說同理可知分辨奇偶數(shù)有多難。 有人質(zhì)疑小五為何要學(xué)「同餘」或 4n+k。 很好：把粉筆交給學(xué)生，請(qǐng) 他上臺(tái)解釋他的想法，而老師就順勢(shì)「坐」 在學(xué)生的座位上了。（林：日本人又想國際化，主導(dǎo)國際事務(wù)，又不願(yuàn)意學(xué)英語。但是這次這位女老師話蠻多的，有不少檢討。臺(tái)上也是四男一女，其實(shí)同行團(tuán)內(nèi)的女老師沒這麼少，但是似乎沒有上臺(tái)機(jī)會(huì)。s fun？兩節(jié)教學(xué)演示都幾乎一小時(shí)，前一位詴教老師解釋，是因?yàn)樾枰g。 林：把學(xué)生教成機(jī)器了，看得出來小孩很累了，超過下課時(shí)間，但是詴教者還是很 high 地上課，「只想完成自己」，培訓(xùn)出這樣的小學(xué)老師不好， 反人性 。）小男孩：我默數(shù)那些數(shù)， 四個(gè)一數(shù)看號(hào)碼在一組內(nèi)的第幾個(gè)。遊戲測詴似乎大家都會(huì)了。還好沒有人無法決定。好大陣仗的教學(xué)團(tuán)隊(duì)，一個(gè)老師四個(gè)助理。鮮黃比較活潑可愛。 現(xiàn)在看來還沒有教數(shù)學(xué)，黑板上貼了日本地圖，好像在上地理課，先讓學(xué)生說出一些國家名字，有人說臺(tái)灣耶。交談後發(fā)現(xiàn)不幸他們沒有重複教學(xué)，因此不能比較三地的不同。 日本小學(xué)教師團(tuán)來了二十多人，都可以包機(jī)了。 9 其實(shí)，他們一直說幫助學(xué)生做「數(shù)學(xué)思考」 (mathematical thinking) 是我們對(duì)這個(gè)詞的定義不同嗎？是我還不瞭解這個(gè)詞嗎？ 我總是沒感覺這裡有什麼所謂的「數(shù)學(xué)思考」？我覺得是技巧性的教學(xué)，有引導(dǎo)有設(shè)計(jì)的就是了。 Alan 說太少聽到 Is there another way? Is there a different way? 這些問題。這也無可厚非。也有人提出不該總是前兩個(gè)數(shù)合成百 ，也可以是一三兩數(shù)；可是剛才不是才說要簡單點(diǎn)嗎？其實(shí)問題的關(guān)鍵是，目測兩數(shù)合成10 簡單多了，合成 100 本來就是困難。這個(gè)徵兆顯示不能做三數(shù)連加其中兩數(shù)和 100 的問題了，應(yīng)該再多做些一位數(shù)題型，讓學(xué)生「自己」發(fā)現(xiàn)先湊十比較簡單。女老師觀察到某些學(xué)生在做先備技巧練習(xí)時(shí) 3+4+7 還是先做 3+4。也可能泰國小學(xué)生的準(zhǔn)備不如日本。出了五題，但是分成五組，所以一個(gè)學(xué)生實(shí)際只做一題，雖然有五組問題可以觀察，也許 他們不足夠敏銳地 觀察，因此沒發(fā)現(xiàn)規(guī)則。所以，似乎日本教師群要表演的重點(diǎn)是程序：高度興趣且極近距離的觀察，課後馬上檢討。他反省這個(gè)課題對(duì)小二太難，也許不是太難而是太快了。跟關(guān)孝和開創(chuàng)或整理出來的「和算」傳統(tǒng)有關(guān)嗎？ 示範(fàn)教學(xué)之後，日本教師 群（剛才的主導(dǎo)教師和旁觀記錄者）坐成一列立刻舉行檢討會(huì)。但是，隔閡不知道，特色看來是有的 。日本人似乎注重這種課題的學(xué)習(xí)。請(qǐng)學(xué)生說兩個(gè)二位數(shù)字，放在三數(shù)的第一個(gè)和第三個(gè)，老師湊上第二個(gè)，其 實(shí)都是使得前兩數(shù)的和是 ，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)快一點(diǎn)計(jì)算的方法。 我覺得很妙，他們?cè)谟^察小學(xué)生，我在觀察觀 8 察者。要做這種研究，必頇有這種實(shí)驗(yàn)班才行。發(fā)現(xiàn)泰語說數(shù)目字跟中文的方言似的，不知像什麼方言？客家嗎？ 看那些旁觀或記錄或錄影的日本人，興趣盎然，滿臉歡喜，真的好像拿著放大鏡看昆蟲的小學(xué)生，把眼前詴教的小孩子當(dāng)成研究對(duì)象和神秘的來源了（他們本來就該是）。 KKU 數(shù)學(xué)教育研究中心學(xué)生群甚至因?yàn)檫@個(gè)活動(dòng)製作了西裝制服。好像大家都收不到。這些泰國 學(xué)生很活潑，反應(yīng)熱烈。而且，一個(gè)大陸的人口量就夠「國際」水準(zhǔn)了。所以需要英日泰三方翻譯，真是有趣，全球化的新現(xiàn)象。 Toshiba 收音機(jī)，是筑波大學(xué)提供的器材。所有宣告都以英語和泰語說兩遍?，F(xiàn)場不 但錄影並在網(wǎng)路上直播。 Day 1 . 筑波大學(xué)附小算數(shù)教學(xué)研究部示範(fàn)教學(xué)，二年級(jí)和五年級(jí)各一場。但是，在微積分初期，就連牛頓歐拉都 曾經(jīng)「亂付」，一方面，亂付曾經(jīng)出現(xiàn)漂亮的結(jié)果，如牛頓的二項(xiàng)展開，如歐拉的 1/n^2 無窮和；另一方面，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的發(fā)展，經(jīng)常致力於使得舊經(jīng)驗(yàn)的「亂付」是成立的：數(shù)學(xué)是最在乎 backward patibility 的學(xué)門。但是小學(xué)生還沒有這個(gè)本事，所以可以在小學(xué)玩「數(shù)學(xué)思考」把戲。這是 meaning 導(dǎo)出procedure 的例子。這樣就是乘以 3/4的倒數(shù)。又回去講