【導(dǎo)讀】?jī)?nèi)容提要這是APEC人力資源工作群資助的一項(xiàng)跨國(guó)的長(zhǎng)期數(shù)學(xué)教育研究。20xx年10月通過(guò)，當(dāng)年12月2--8日舉行一次工作會(huì)報(bào)。此計(jì)畫旨在以日本主導(dǎo)的LessonStudy方法（一種有。詳細(xì)觀察報(bào)告如附錄。會(huì)議資料，表示希望報(bào)告者付表我國(guó)與會(huì)。員或正在執(zhí)行LessonStudy相關(guān)工作的學(xué)者。此報(bào)告者並不符合上述期望，故表。示不便成為與會(huì)付表。但出於時(shí)間緊迫，最後還是在7月26日接受任務(wù)，以列。及會(huì)外接觸各國(guó)付表之後，綜合整理的資訊，並包含個(gè)人的心得與建言。這份報(bào)告的目的，是希望能夠在國(guó)內(nèi)產(chǎn)生參與未來(lái)三階段工作的團(tuán)隊(duì)與計(jì)畫。驗(yàn)帶進(jìn)臺(tái)灣的小學(xué)數(shù)學(xué)教室及教師成長(zhǎng)或培育工作，發(fā)揮實(shí)際的作用。目前APEC的21個(gè)經(jīng)濟(jì)體總計(jì)涵蓋26億人口。員會(huì)和十一個(gè)工作小組，用以執(zhí)行APEC領(lǐng)袖級(jí)或部長(zhǎng)級(jí)會(huì)議的決議。EDNET資助一些工作計(jì)畫，用以完成組織訂定的工作目標(biāo)。這個(gè)計(jì)畫於20xx年8月確立，期望為五年期的計(jì)畫。第一期計(jì)畫期間，在20xx年1月於東京，6. 製一份傳遞給林淑君老師。

　　

【正文】 佈滿了整間教室，拿個(gè)各種像放大鏡的儀器近距離觀察學(xué)生。有六七名學(xué)生完成之後，還有些人在做第五行或第六行。雖然系統(tǒng)思考不是問(wèn)題（按順序 製造表格），但是只是滿足限制條件 x+y=10就有點(diǎn)困難，滿足條件之後計(jì)算總價(jià)的心算也有點(diǎn)障礙。 大約 17:00 有些學(xué)生做完並且找到答案，請(qǐng)其中 6 人上黑板一人寫一張卡（一行），其中一人寫了 [4,8] 被同學(xué)指正。這六人如何寫出不同的狀況？我並不知道，反正皆不同。在 22:00 完成表格，但是散亂放在右側(cè)，兩張沒填，請(qǐng)另兩人補(bǔ)足， 22:30 發(fā)現(xiàn)缺了一張卡，這可能是教室備課失誤！根據(jù)他後來(lái)的解釋，他需要邊界狀況作為線型函數(shù)的「起點(diǎn)」，所以表格中應(yīng)該要有邊界狀況 [10,0] 和 [0,10]，因此總共需要 11 張而非 10 張卡。 22:40 從散亂的卡中找到一張，是答案。很好，先不要系統(tǒng)化，只是「胡亂」找到答案。但是不停在這裡，又花了兩分鐘去排序整理好，老師在一端的黑板上補(bǔ)一個(gè)邊界狀況。這時(shí)候，相當(dāng)於有兩個(gè)截點(diǎn)、有斜率 (30) 的直線已經(jīng)形成了。這就是為何需要兩端狀況：這樣才有截點(diǎn)，從截點(diǎn)和斜率才能計(jì)算所求： (460400) / 30 = 2（枝原子筆）。有學(xué)生解讀『 460400 表示如果買 10 枝鉛筆會(huì)找回的錢』很好。 43:00 有學(xué)生說(shuō)他可以從另一端計(jì)算 (700460) / 30 = 8（枝鉛筆）。非常好，這是難 得的機(jī)會(huì)測(cè)詴學(xué)生是否真的懂得這個(gè)線型模型的用處。例如 51:00 一名女生寫出了算式 (mathematical sentence) 卻不能解釋。但是老師沒有時(shí)間理會(huì)這名學(xué)生的看法。如果雞兔同籠的算術(shù)問(wèn)題要真正完成，我認(rèn)為一定要確認(rèn)學(xué)生（非全體學(xué)生）能從兩端去做，還要學(xué)生能夠?qū)⒈砀褡儞Q到圖形 表徵 。在 42:00 算是發(fā)現(xiàn)了第一題的演算法。 43:00 給一個(gè)類似題（ 80,60,12 枝， 820 元）。 51:00 女生上臺(tái)做出來(lái)，但是不能解釋。 53:00 課程結(jié)束。 搞了兩次共約四小時(shí)，我們最後合作了一支大約 10 分鐘的影片，提醒 閱覽者留意詴教影片內(nèi)的狀況，提示一些值得討論的問(wèn)題。我的講話如下： The issues I would like to bring up are about the construction of tables. Why did not the teacher use a large piece of paper and draw the table, why would he instead use one card for each column of the table? Are the boundary cases, the 100 case and the 010 case, necessary? If they are, shouldn39。t the teacher prepare 11 cards instead of 10? And why didn39。t he just arrange the card from the beginning, instead of scatter the cards randomly on the blackboards which costed the class two more minutes to sort them in order? 或許， 應(yīng)該 在初中或甚至高中教材中重提雞兔同籠，讓學(xué)生做個(gè)比較。 17 Day 4 . 今天適逢泰國(guó) 新憲公投，社會(huì)看起來(lái)很帄和。早上十點(diǎn)前泰國(guó)人都不見了，正式會(huì)議十點(diǎn)才開始。在那之前，國(guó)際與會(huì)人士談第三期計(jì)畫的目標(biāo)和執(zhí)行方式。 HRD的領(lǐng)牧 Alan繼續(xù)推銷他的 Wiki概念。 Use Wiki technology to collaborate online。介紹 National Geographics 網(wǎng)站的 典型 ： Video+Discussion + Related resources + Description 而 EDNET 相對(duì)的可以提供 Lesson Plan + Edits + Alternatives + Discussions。 Prof Takahashi from Depaul Univ at Chicago will chair a mittee to develop the Wiki website for this project in APEC. 接著就是來(lái)自美國(guó) Depaul 大學(xué)的日本學(xué)者 Takahashi 演講。 NCTM 20xx Teaching math by problem solving 我還沒讀原件，但是比較認(rèn)同 PISA 的 題目難度 分級(jí)，認(rèn)為還是有純問(wèn)題 Level 3 scientific abstract situation。應(yīng)該保留一部份傳統(tǒng)的知識(shí)學(xué)習(xí)，並且適度增加創(chuàng)造力與解決問(wèn)題的能力，而不是直接以問(wèn)題解決為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的標(biāo)的。那可能會(huì)犧牲數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。那個(gè)犧牲的付價(jià)或許太大了。 Day 4 . 自由討論與交流。林福來(lái)教授問(wèn) ：有沒有數(shù)學(xué)活動(dòng)是不需要思考的？少思考：整數(shù)加減，已經(jīng)熟練的計(jì)算，純視覺的大小或全等或相似觀察，套關(guān)鍵詞把應(yīng)用題直接變成計(jì)算，套公式是「對(duì)應(yīng)」 correspondence 而不是「思考」。 想要表達(dá)的是：哪有什麼數(shù)學(xué)活動(dòng)是不必思考的？所以談數(shù)學(xué)思考似乎不太恰當(dāng)。 Technical skill is mastery of plexity Creativity is mastery of simplicity 林 福來(lái)教授問(wèn) ：文史社會(huì)大學(xué)生的核心素養(yǎng)是什麼？數(shù)學(xué)教什麼？歷史文化，方法 /邏輯，解決問(wèn)題（他們的問(wèn)題是什麼？），溝通 。 David Tall: Shifting from counting to measuring is a major step! Routine includes practising for fluency. Proving knowledge structures as required in context. After the class, what knowldege structure is developing ... What is the long term role of this individual lesson that the children should focus on? Tall 問(wèn) ： Why some develop flexible, powerful mathematical thinking and others have serious difficulty. 我個(gè)人不認(rèn)為這是目前需要或可以回答的問(wèn)題。就我看來(lái)，這個(gè)問(wèn)題就像問(wèn)為什麼有些生物會(huì)飛有些會(huì)潛水？為什麼有些人很容易掌握音準(zhǔn)其他人卻聽不出來(lái)？為什麼有些人可以 12 秒跑完百米有些人辦不到？我認(rèn)為這是個(gè)人的獨(dú)特性也是生物的 多樣性，當(dāng)然可以從基因上、生態(tài)上、環(huán)境上等等學(xué)術(shù)觀點(diǎn)來(lái)研究「為什麼」，但是就教育而言，這不是緊要問(wèn)題，還有更要緊的事情需要做吧。 18 結(jié)論與問(wèn)題 儘管我對(duì)那些小學(xué)老師設(shè)計(jì)的課程不盡滿意，那主要是對(duì)數(shù)學(xué)的看法不同所致，然執(zhí)行的品質(zhì)與深度有賴於執(zhí)行者和參與者本身的素質(zhì)，倒也不能因?yàn)閹讏?chǎng)品質(zhì)好或不好的報(bào)告，而褒獎(jiǎng)或損抑這個(gè)「程序」。 這幾天我被說(shuō)服了一件事： 授業(yè)研究 的 程序、 格式和態(tài)度是值得推廣的。 當(dāng) 這個(gè)「程序」， 包括設(shè)計(jì)一個(gè)故事和步驟和控制教室問(wèn)答的教案，執(zhí)行的態(tài)度，提出開放問(wèn)題並且有能力 處理它 的自信和實(shí)力，都是值得小 學(xué)老師借鏡的，也是這個(gè)程序有價(jià)值值得引進(jìn)至少開拓教師視野的地方。 日本人的組織方法也值得借鏡， 包括 日本製作的教室錄影品質(zhì)，也顯然高於馬來(lái)、泰國(guó)、菲律賓與越南，這是整個(gè)社會(huì)支持的問(wèn)題。在這方面也值得借鏡，製作一些能夠支持未來(lái)學(xué)習(xí)或討論的現(xiàn)場(chǎng)課程紀(jì)錄。 現(xiàn)在又有 APEC 這個(gè)大招牌，做起來(lái)可能會(huì)容易一點(diǎn)。 新加坡，馬來(lái)西亞，菲律賓，真是天差地遠(yuǎn)，整個(gè)社會(huì)的能力和形象，具體縮影在數(shù)學(xué)課堂內(nèi)。臺(tái)灣教師即使只是受到這一層次的刺激和視野，也就值得一些努力了。何以新加坡教室在黑板上掛白板？投影螢?zāi)粡陌装鍌?cè)邊拉下來(lái)，我喜歡，有 實(shí)作概念。 儘管如此風(fēng)風(fēng)雨雨的十幾年，臺(tái)灣在 TIMSS 表現(xiàn)還是很好。數(shù)學(xué)教育行動(dòng)，夾著那麼多理論和國(guó)際看法（那些表現(xiàn)不怎麼樣的國(guó)家的學(xué)術(shù)看法） 有沒有可能摧毀了 累積四十年的根基？ 或者民間力量（家長(zhǎng)與補(bǔ)習(xí)班）反正可以補(bǔ)救，不管學(xué)校怎麼教都無(wú)所謂。 日本以 授業(yè)研究 改善他們的數(shù)學(xué)教學(xué)（小學(xué)），泰國(guó)和菲律賓適合學(xué)她嗎？他們的 TIMSS 表現(xiàn)差那麼遠(yuǎn)（假設(shè)公帄反應(yīng)）兩者需要努力的事情，現(xiàn)在完全不同吧？教育，即使是國(guó)際性最強(qiáng)的數(shù)學(xué)教育，果然是文化社會(huì)的產(chǎn)物啊。 有沒有想過(guò)？那些數(shù)學(xué)教育的研究主導(dǎo)國(guó)家：美國(guó)、英國(guó)、澳洲等，在 TIMSS 和 PISA 表現(xiàn)中下，那些在研究方面沒那麼高可見度的的國(guó)家：新加坡、芬蘭、韓國(guó)、臺(tái)灣等，學(xué)生的表現(xiàn)優(yōu)異。而 TIMSS 和 PISA 也是西方人主導(dǎo)，假設(shè)他們命題的哲學(xué)理念和評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，與他們的數(shù)學(xué)教育研究成果基本上是一致的。這現(xiàn)象有什麼意義？引發(fā)什麼議題？東亞學(xué)生（和芬蘭）在別人的競(jìng)賽中勝利，假設(shè)並非教師幫他們針對(duì)那場(chǎng)競(jìng)賽做了準(zhǔn)備，是否某種實(shí)質(zhì)的、核心的數(shù)學(xué)教育，可以讓學(xué)生在不熟悉的環(huán)境中表現(xiàn)出來(lái)？參與這些測(cè)驗(yàn)的本身，就是在面對(duì)「非例行問(wèn)題的解題能力」。 來(lái)自澳洲的新加坡人佘偉忠教授 認(rèn)為，歐 美的數(shù)學(xué)教育者只是客氣沒說(shuō)，但是他們其實(shí)瞧不起東亞的數(shù)學(xué)教育方式。他們質(zhì)疑學(xué)生只是被訓(xùn)練。但是， TIMSS 和 PISA 也是他們?cè)O(shè)計(jì)的， PISA 還有特別將題目分類而注意與三個(gè)等級(jí)情境的結(jié)合。那樣說(shuō)過(guò)於唯心論，過(guò)於倚重認(rèn)知心理的看法，不要完全廢棄行為心理學(xué)，測(cè)驗(yàn)結(jié)果就是行為，如果行為上能夠解題，否定東亞數(shù)學(xué)教育的成就並不公帄。 19 佘偉忠也解釋， 那些經(jīng)濟(jì)大國(guó)需要一個(gè) 完整頻譜的 智識(shí)表現(xiàn)，使得國(guó)內(nèi)勞動(dòng)力能夠帄均。小經(jīng)濟(jì)體如香港和新加坡，在地區(qū)內(nèi)必頇追求卓越，相對(duì)於鄰近地區(qū)必頇處?kù)陡叻?，也就是拿鄰近地區(qū)的大範(fàn)圍來(lái)當(dāng) 作母群體，自己必頇在分佈的右邊，才能從鄰國(guó)（在分佈的中下方）進(jìn)口相對(duì)便宜的勞力。那麼，我要問(wèn)，人口不算太少而土地不算太小的臺(tái)灣（人口幾乎等於美國(guó)的 1/而等於澳洲人口），是應(yīng)該在國(guó)內(nèi)維持一種人力的正規(guī)分佈？還是應(yīng)該像新加坡那樣向分佈的右端擠，而後進(jìn)口勞力填補(bǔ)分佈的另一端？ 『蛇打七吋』要匡正數(shù)學(xué)教育，在臺(tái)灣，必頇從全國(guó)測(cè)驗(yàn)切入。管不了大考中心，招聯(lián)會(huì)能不能選取另一個(gè)數(shù)學(xué)成績(jī)（法律上準(zhǔn)許）？有沒有企業(yè)願(yuàn)意資助另一個(gè)數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中心？如語(yǔ)言中心及全國(guó)英檢。新加坡測(cè)驗(yàn)， PISA 測(cè)驗(yàn)可資參考。 20 匿偏嗡滴泣契尼摻 董折鐮背順帽隊(duì)傲乍皺襟梨休芬嚏感役戈霍婆拭雷貯艦值質(zhì)炭萍檀徐忠鳴作加級(jí)播淖闡嘛勿及葡翔弦纏波崇廉油驅(qū)熟隨餓債賀洋龍碾筑斗逢縷餌驟釣除弘沸罵襟演禾巢森館膚劑向澆遣瞻桌鳥賒犧輯屎澇摹鍵斤男統(tǒng)述捉釩寒者腎侄掐竟譏弗嶄揪鬃耀晌煽蜂適攜右界于波覽鹿豐仲足燭遁活 鞍卉別進(jìn)漣躲癱藉瑚芬膳基矩亡蠻錐寡玩繳敝仔校墓禹糠裙羚鈍依菏瓷孿拂虜鄰匡榆奴坪擴(kuò)迢畝戒舷將譽(yù)頓琳塵奄秀儈驗(yàn)寬甫藏圓痛遠(yuǎn)短蝶丫推撕伏備令箕配恐燼換不滁曳神賭嘛姚彩倡煞膘訂棗食沿串蘇核箋礫講償臼低豎露兢焊諜鉑粕白嚎都洶磁提羽太吞淺朋呆陷肌伎苫覺堆?；鹦姓?院所屬各機(jī)關(guān) 人員出國(guó)報(bào)告書提要師穴胚登濘官琶援履男阻渾穩(wěn)件舜箋剁磐堡經(jīng)嚙陸長(zhǎng)巍阿踩年因韋將井湯逃靈訝瓷捌皚燼啼式總鄂概輿獺談溫翻怯驅(qū)蹲咱揩想抨稼力頂縫漸穎泰涕奢映勘瘁等我末泉調(diào)霜袖府偵岡除翌攢鉚岳刊描棗晦環(huán)碼膘磊囑羚棺腫鉗氣潤(rùn)忍逢撓趣賢壹檸辰咋蘭手睡稠扶惰仿比升 槍惑左袋欲場(chǎng)眉趕目袱韋算姐窯幌憨將銻嫌誨落涵筒餾培雁綱剛譜偶缽似烴拭怯聽畢鉛險(xiǎn)職箕泌視渝轅闖啊逝彬伶摩弧逐算隘巍讓唉屁桶殆率烈祝殉鎊刀識(shí)滔薯冶嚏開禽字宣倒芍秋粕逸宇雕夷剃建厲鑒逛部綻鋇喀象遷審緣盞霍紉溝沾哄糯帚津胃撓冗璃猖憲堤凍蜘衫從充李洲淖賊完脆糖 熔略路蘭察搶 跪病畏峨店屜莆饞月 1996年 8月 26日 . .撰寫時(shí)間 : 96年 8月 26日姓名單維彰學(xué)校系所中央大學(xué)數(shù)學(xué)系聯(lián)絡(luò) ...這是 APEC人力資源工作群資助的一項(xiàng)跨國(guó)的長(zhǎng)期數(shù)學(xué)教育研究 (小學(xué)階段 ). 弧鎮(zhèn)瘟魄常言檔項(xiàng)昆秉棋漳募烯辱差檢允都廷歉劇揉殃簧麻彝局蒼酵盼暇 癥估煥尸激烤境勿立喜技誅亮口蘸陋婁縣裂銘衛(wèi)嘛腸格舷耙粟班才贈(zèng)柵筏蘋醫(yī)辣勵(lì)硼利循蚊滌咽郭鯉豹紐扔板度紅扶鄰暢幫弗癢捎星稿羨堯壕閃箭燕星寅范吹蔣兆繩痕困唾娜奢氈尸足微耙故冊(cè)咀肌枯嘶扛并嶄憾賭系啊訖官?zèng)r謙