高中數(shù)學(xué)411圓的標準方程教案新人教a版必修2-文庫吧資料
2024-12-16 20:20本頁面
【正文】 頂點的距離相等 ,就是圓的半徑 ,利 用這些幾何知識 ,可豐富解題思路 . 思路 2 例 1 圖 2 是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖 ,該圓拱跨度 AB=20 m,拱高 OP=4 m,在建造時每隔 4 m需用一個支柱支撐 ,求支柱 A2P2的長度 (精確到 m). 圖 2 解 :建立坐標系如圖 ,圓心在 y軸上 ,由題意得 P(0,4),B(10,0). 設(shè)圓的方程為 x2+(yb)2=r2,因為點 P(0,4)和 B(10,0)在圓上 , 所以???????????.)0(10,)4(0222222rbrb 解得??? ??? , ,22rb 所以這個圓的方程是 x2+(y+)2=. 設(shè)點 P2(2,y0),由題意 y0＞ 0,代入圓方程得 (2)2+(y0+)2=, 解得 y0= 22 ? ≈ =(m). 答：支柱 A2P2的長度約為 m. 例 2 求與圓 x2+y22x=0外切 ,且與直 線 x+ 3 y=0相切于點 (3, 3 )的圓的方程 . 活動 :學(xué)生審題 ,注意題目的特點 ,教師引導(dǎo)學(xué)生利用本節(jié)知識和初中學(xué)過的幾何知識解題 .首先利用配方法 ,把已知圓的方程寫成標準方程 ,再利用兩圓外切及直線與圓相切建立方程組 ,求出參數(shù) ,得到所求的圓的方程 . 解 :設(shè)所求圓的方程為 (xa)2+(yb)2= x2+y22x=0的圓心為 (1,0),半徑為 圓外切 , 所以圓心距等于兩圓半徑之和 , 即 22 )0()1( ??? ba =r+1, ① 由 圓 與 直 線 x+ 3 y=0 相切于點 (3, 3 ), 得????????????????)3(.)3(1|3|)2(,1)31(332rbaab 解得 a=4,b=0,r=2或 a=0,b=4 3 ,r=6. 故所求圓的方程為 (x4)2+y2=4或 x2+(y+4 3 )2=36. 點評 :一般情 況下 ,如果已知圓心 (或易于求出 )或圓心到某一直線的距離 (或易于求出 ),可用圓的標準方程來求解 ,用待定系數(shù)法 ,求出圓心坐標和半徑 . 變式訓(xùn)練 一圓過原點 O和點 P(1,3),圓心在直線 y=x+2上 ,求此圓的方程 . 解法一： 因為圓心在直線 y=x+2上 ,所以設(shè)圓心坐標為 (a,a+2). 則圓的方程為 (xa)2+(ya2)2=r2. 因為點 O(0,0)和 P(1,3)在圓上 , 所以???????????????,)23()1(,)20()0(222222raaraa 解得??????????.825,412ra 所以所求的圓的方程為 (x+41 )2+(y47 )2=825 . 解法二： 由題意：圓的弦 OP的斜率為 3,中點坐標為 (21,23), 所以弦 OP的垂直平分線方程為 y23=31(x21),即 x+3y5=0. 因為圓心在直線 y=x+2上 ,且圓心在弦 OP的垂直平分線上 , 所以由??? ??? ?? ,053 ,2yx xy解得??????????,47,41yx,即圓心坐 標為 C(41,47). 又因為圓的半徑 r=|OC|=825)47()41( 22 ???, 所以所求的圓的方程為 (x+41 )2+(y47 )2=825 . 點評 :(1)圓的標準方程中有 a、 b、 r三個量 ,要求圓的標準方程即要求 a、 b、 r三個量 ,有時可用待定系數(shù)法 . (2)要重視平面幾何中的有關(guān)知識在解題中的運用 . 例 3 求下列圓的方程 : (1)圓心在直線 y=2x上且與直線 y=1x相切于點 (2,1). (2)圓心在點 (2,1),且截直線 y=x1所得弦長為 22.
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