【正文】 ,p 表示極點 ,k 表示增益， N 表示階次。同時它也是數(shù)字濾波器設(shè)計中最簡單的方法。在常用窗函數(shù)及 Matlab 仿真中，討論了五種窗函數(shù)及其各自特性和相互比較，并結(jié)合 Matlab 進(jìn)行仿真；在基于窗函數(shù)的 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計中，根據(jù)設(shè)計的不同技術(shù)要求，選擇了不同的窗函數(shù)，并利用 Matlab 提供的相關(guān)函數(shù)來設(shè)計實現(xiàn) FIR 數(shù)字濾波器。 在設(shè)計任意幅度頻率特性濾波器的同時，保證精確、嚴(yán)格的線性相位特性。 模擬低通濾波器的設(shè)計中，主要研究三種設(shè)計方法：在模擬 數(shù)字濾波器變換中，討論了兩種變換方法，為脈沖響應(yīng)不變法和雙線性 Z變換法；在頻帶變換的實現(xiàn)中，以巴特沃斯濾波器為例進(jìn)行分析設(shè)計。如果找到的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量， 則相應(yīng)的旁瓣幅度就能減小，而旁瓣的減小可使通帶阻帶波動減小，加大阻帶衰減，但這樣總是以加寬過渡帶為代價的。 實現(xiàn)函數(shù)為 blackman，其調(diào)用格式為： w=blackman(N) 寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 12 各種窗函數(shù)的實現(xiàn)與比較 在設(shè)計 FIR 數(shù)字濾波器時，要選擇合適的窗函數(shù)來進(jìn)行處理，調(diào)整窗函數(shù)形狀可使帶內(nèi)波動減少以及加大阻帶衰減；調(diào)整窗口長度 N可以有效地控制過渡帶寬度。布拉克曼的主瓣寬度是矩形窗主瓣寬度的三倍，為 N/12? 。 實現(xiàn)函數(shù)為 hamming，其調(diào)用格式為： w=hamming(N) 布拉克曼窗 (Blackman window) 定義為： 11( ) 0 . 4 2 0 . 5 c o s ( 2 ) 0 . 0 8 c o s ( 4 )kkwk NN????? ? ? () 其中 1,2,k? … ,N 。 實現(xiàn)函數(shù)為 triang，其調(diào)用格式為： w=triang(N) 漢寧窗 (Hanning window) 漢寧窗函數(shù)又稱升余弦函數(shù)，其時域表達(dá)式為： ? ? ? ? ? ?nRNnn NR 12c o ??? ?? () 其頻率響應(yīng)為： ? ? eWeW NjRjR ?? 2 1??? () 其最大旁瓣值比主瓣值低 31dB，但是主瓣寬度比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了一倍，為 N/8? 。 實現(xiàn)函數(shù)為 rectwin，調(diào)用格式為： w=rectwin(N) N是窗函數(shù)的長度，返回值 w是一個 N階的向量，它由窗函數(shù)的值組成。這樣，線性相位 FIR 濾波器零點分布特點是零點必須是互為倒數(shù)的共軛對，確定其中一個，另外三個零點也就確定了。但是當(dāng) 0,2??? 時， ( ) 0H?? ，所以低通濾波器不能采用這種形式。 (4) ??nh 為奇對稱，且 N為偶數(shù) (Ⅳ型濾波器 ) 寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 10 當(dāng) ??nh 為奇對稱，且 N為偶數(shù)時，濾波器的幅頻函數(shù)可表示為： /211( ) ( ) s in ( ( ) )2NnH d n n?????? （ ） 其中 N( ) 2 ( ) , 1 , 2 , ,22Nd n h n n? ? ? …。此時 ()H? 對 02? ? ?? ， ， 呈奇對稱。但是 ( ) 0H? ? ，故高通濾波器不能用這種方法實現(xiàn)。 (2) ??nh 為偶對稱，且 N為偶數(shù) (Ⅱ型濾波器 ) 當(dāng) ??nh 為偶對稱，且 N為偶數(shù)時，濾波器的幅頻函數(shù)可以表示為： /211( ) ( ) c o s ( ( ) )2NnH b n n?????? （ ） 其中 N( ) 2 ( ) , 1 , 2 ,22Nb n h n n? ? ? … 。 (1) ??nh 為偶對稱，且 N為奇數(shù) (Ⅰ型濾波器 ) 當(dāng) ??nh 為偶對稱，且 N為奇數(shù)時，濾波器的幅頻函數(shù)可以表示為： ( 1 ) / 20( ) ( ) c o s ( )NnH a n n????? ? （ ） 其中 1(0) ( )2Nah?? ， 1( ) 2 ( ) , 1 , 2 , ,22NNa n h n n ?? ? ? …。 線性相位 FIR 濾波器幅度特性的特點 ??nh 的長度 N 取奇數(shù)還是偶數(shù)影響 ()H? 的特性。第二類線性相位特性是 ??nh是實序列且對 ? ? 2/1?N 奇對稱，即 ? ? ? ?1???? nNhnh 。 ? ?eHj? 的線性相位是指 ???? 是 ? 的線性函數(shù)，即 ? ? ???? ?? ， ? 為常數(shù) () 寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 9 如果 ???? 滿足下式： ? ? ????? ?? 0 ， ?0 是起始相位 () 以上兩種情況都滿足群延遲是一個常數(shù)，即 ? ? ???? ??dd 滿足 ()為第一類線性相位；滿足 ()為第二類線性相位。 FIR 濾波器的設(shè)計任務(wù)是選擇有限長度的 ??nh ，使傳遞函數(shù) ? ?eH j? 滿足技術(shù)要求。因此， ??zH 永遠(yuǎn)穩(wěn)定。 從而可得數(shù)字帶通濾波器的傳遞函數(shù)表達(dá)式為： ? ? ? ?| 1 c os21 2 201 Z ZZSa sHZH ? ??? ? ??? ? () FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計方法 穩(wěn)定和線性相位特性是 FIR 濾波器 突出的特點。 頻帶變換 模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器 設(shè)模擬低通濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ??sHa ，則模擬低通濾波器 s 平面到數(shù)字高通濾波器的 Z 平面的變換公式為： ZZTS S 11112 ?????? () 頻率變換 公式為： 2cot2 ?TS?? () 得到數(shù)字高通濾波器的傳遞函數(shù)表達(dá)式為： ? ? ? ?|11112 ZZTSa SsHzH ??????? () 模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶阻濾波器 設(shè)模擬低通濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ??sHa ，則模擬低通濾波器 s 平面到數(shù)字帶阻濾波器的 Z 平面的變換公式為： ZZ ZS 201 2c os21 1 ?? ? ?? ?? ? () 頻率變換公式為： ?? ?cossin cos 0??? () 其中 ? ?? ?? ?? ?2c os 2c osc os 0 ?? ???lhlh ??? () 式中 ?l 為下截止頻率， ?h 為上截止頻率。經(jīng)過式 ()的映射， s 平面的左半平面映射為 Z平面的單位圓內(nèi)，因此，一個因果的和穩(wěn)定的模擬濾波器映射成因果的和穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。采樣信號的拉式變換與相應(yīng)的采樣序列 Z變換的映射關(guān)系為： ez sT? （ ） 所以系統(tǒng)函數(shù) ??sHa 和 ??zH 的關(guān)系為： ? ? ? ?? ??? ????? k sasez jksHTzH sT1| () 式 ()的物理意義為首先將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ??sHa 作周期的延拓，在經(jīng)過式 ()的映射變換，映射到 Z 平面上，從而得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ??zH 。 脈沖響應(yīng)不變法 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ??sHa ，相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)為 ??th ,并將脈沖響應(yīng) ??th進(jìn)行等間隔采樣，使得數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng) ??nh 剛好等于 ??th 的采樣值，即： )()()()()(0 sn snTt nThnTtththnh s ???? ???? ? （ ） 其中 sT 為采樣周期。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性， s 平面的虛軸映射為 z 平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。我們知道，模擬寧夏大學(xué)新華學(xué)院本科學(xué)位論文 6 濾波器因果穩(wěn)定的條件是其系統(tǒng)函數(shù) ??sHa 的極點全部位于 s 平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定的條件時 ??zH 的極點全部在單位圓內(nèi)。由此可見，設(shè)計的關(guān)鍵問 題就是找到這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，將 s 平面上的 ??sHa 轉(zhuǎn)換成 z 平面上的 ??zH 。 模擬 數(shù)字濾波器設(shè)計 利用模擬濾波器成熟的理論及其設(shè)計方法來設(shè)計 IIR 數(shù)字低通濾波器是常用的方法。 橢圓低通濾波器幅度平方函數(shù)用 |)(| 2?jH 表示： ? ? ? ????? UjH N222 1 1|| ? () 式中 ???UN2 是雅可比橢圓函數(shù) ， ? 是與通帶衰減有關(guān)的函數(shù)。由于其極點位置與經(jīng)典場論中的橢圓函數(shù)有關(guān)，所以由此取名為橢圓濾波器。 切比雪夫 I 型濾波器幅度平方函數(shù)用 |)(| 2?jH 表示： ?????? ??????CjHN22211|)(|? () 式中， ? 為小于 1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度， ? 越大，波動幅度也越大； ??xCN是的切比雪夫多 項式，它的定義為： ? ? ? ?? ?? ?? ???? ? ?? 1||, 1||,a rc c osc os xxNar c hch xxNxC N () 而切比雪夫 II型濾波器幅度平方函數(shù)用 |)(| 2?jH 表示： ? ?? ?????? ?cNCjH 22 12 1 1|)(| ? () 式中， ? 為小于 1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度， ?C 為截止頻率； N為濾波器的階次。它有兩種形式：振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)的切比雪夫 I型濾波器；振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào) 下降、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫 II 型濾波器。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達(dá)到。因此，更有效地設(shè)計方法是將逼近精確度均勻地分布在整個通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個阻帶內(nèi)，或者同時分布在兩者之內(nèi)。 切比雪夫低通濾 波器設(shè)計 巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶和阻帶內(nèi)部都是頻率的單調(diào)減函數(shù)。 巴特沃斯 (Butterworth)低通濾波器的幅度平方函數(shù) |)(| 2?jH 用下式表示： ? ?NcjH 22 1 1|)(| ????? () 式中， N表示濾波器的階數(shù)。巴特沃斯濾波器過渡帶的陡峭程度正比于濾波器的階數(shù)。在通帶中是理想的單位響應(yīng)，在阻帶中響應(yīng)為 0。模擬濾波器的設(shè)計方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整的設(shè)計公式，還有完善的圖表和曲線供查閱，因此充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字濾波器的設(shè)計帶來很大方便 。 IIR 數(shù)字濾波器存在反饋支路，即信號流圖中存在環(huán)路，其單位沖激響應(yīng)為無限長； FIR 數(shù)字濾波器不存在反饋支路，其單位沖激響應(yīng)為有限長。數(shù)字濾波器的功能是對輸入離散信號的數(shù)字代碼進(jìn)行運算處理，以達(dá)到改變信號頻譜的目的。對特定頻率的頻點或該頻點以外的頻率進(jìn)行有效濾除的電路，就是濾波器，其功能就是得到一個特定頻率或消除一個特定頻率。 通過數(shù)學(xué)方法對數(shù)字濾波器進(jìn)行分析、建模、編寫 Ｍ 文件，應(yīng)用 Matlab 軟件進(jìn)行仿真及結(jié)果分析。設(shè)計 FIR 數(shù)字濾波器的基本方法有窗 函數(shù)法，頻率抽樣法，等波紋切比雪夫逼近法等，窗函數(shù)在設(shè)計 FIR 數(shù)字濾波器中有很重要的作用，正確的選擇窗函數(shù)可以提高所設(shè)計的數(shù)字濾波器的性能，或者在滿足設(shè)計要求的情況下，減小 FIR數(shù)字濾波器的階數(shù)。為得到線性相位特性，必須增加相位校正網(wǎng)絡(luò)，使濾波器設(shè)計變得復(fù)雜。即基于濾波器轉(zhuǎn)換法的 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計 直接由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器。其中，最重要的有兩種：脈沖響應(yīng)不變法（保持脈沖響應(yīng)不變，又叫沖激響應(yīng)不變法）和雙線性 Z 變換法（保持系統(tǒng)函數(shù)不變）。在設(shè)計了模擬低通濾波器后，就可以把它們變成數(shù)字濾波器了。濾波器設(shè)計最重要的是尋找一個穩(wěn)定、因果的系統(tǒng)函數(shù)去逼近濾波器的技術(shù)指標(biāo)，因此模擬濾波器的設(shè)計十分重要。 IIR 數(shù)字濾波器技術(shù)設(shè)計最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法。利用電腦來分析及解決工程問題已是當(dāng)今工程師的必要工具。業(yè)內(nèi)領(lǐng)先的工具箱算法極大的擴展了Matlab 的應(yīng)用領(lǐng)域，所以 Matlab 自推出以來就受到廣泛的關(guān)注，信號處理工具箱就是其中之一，在信號處理工具箱中， Matlab 提供了濾波器分析、濾波器實現(xiàn)、 FIR 濾波器實現(xiàn)、