【正文】 函數(shù) f（ x） =x2﹣ ln（ x+ ）， g（ x） =x3﹣ 3a2x﹣ 4a． （ 1）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間和值域； （ 2）設(shè) a≤ ﹣ 1，若 ? x1∈ [0， 1]，總存在 x0∈ [0， 1]，使得 g（ x0） =f（ x1）成立，求 a的取值范圍． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【專(zhuān)題】 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 【分析】 （ 1）求導(dǎo)數(shù) f′ （ x） =2x﹣ = ；從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域； （ 2）設(shè) g（ x）在 [0， 1]上的值域?yàn)?[b， c]，則有 b≤ 且 c≥ln2 ；再求導(dǎo) g′ （ x） =3x2﹣3a2，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而化為最值問(wèn)題． 【解答】 解：（ 1） f′ （ x） =2x﹣ = ； 令 f′ （ x）＜ 0解得， 0≤x ＜ ； 故函數(shù) f（ x）的單調(diào)減區(qū)間為 [0， ]， 此時(shí)， ≤f （ x） ≤ln2 ； 令 f′ （ x）＞ 0解得， ＜ x≤1 ； 故函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間 [ ， 1]， 此時(shí)， ≤f （ x） ≤ln3 ﹣ ln2； 故函數(shù) f（ x）的值域?yàn)?[ ， ln2]． （ 2）根據(jù)所給條件，設(shè) g（ x）在 [0， 1]上的值域?yàn)?[b， c]， 則有 b≤ 且 c≥ln2 ； g′ （ x） =3x2﹣ 3a2＜ 0， g（ x）在 [0， 1]上是單調(diào)減函數(shù)， 故 g（ 0） =﹣ 4a≥ln2 ， 解得 a≤ ﹣ ； g（ 1） =1﹣ 3a2﹣ 4a≤ ， 解得 a≤ ﹣ 或 a≥ ； 故 a≤ ﹣ ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題，屬于中檔題． 20．已知拋物線 F的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F（ 0， 1）． （ 1）求拋物線 F的方程； （ 2）若點(diǎn) P為拋物線 F的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作拋物線 F的切線 PA與 PB，切點(diǎn)分別為 A， B．求證：直線 AB 恒過(guò)某一定點(diǎn)； （ 3）分析（ 2）的條件和結(jié)論，反思其解題過(guò)程，再對(duì)命題（ 2）進(jìn)行變式和推廣，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的真命題，不要求證明（說(shuō)明：本小題將根據(jù)所給出的命題的正確性和一般性酌情給分） 【考點(diǎn)】 拋物線的 簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專(zhuān)題】 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】 （ 1）設(shè)出拋物線的方程，根據(jù)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線的方程健康； （ 2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到方程組，分別用斜率表示切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)出定點(diǎn)的坐標(biāo)并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得證， （ 3）根據(jù)（ 2）的條件和結(jié)論寫(xiě)出即可． 【解答】 解：（ 1）由題意設(shè)拋物線的方程為： x2=2py，（ p＞ 0）， 由焦點(diǎn)為 F（ 0， 1）可知 =1， ∴p=2 ， ∴ 所求拋物線方程為： x2=4y； （ 2）設(shè)切點(diǎn) A、 B坐標(biāo)為（ x1， ），（ x2， ），設(shè) P（ m，﹣ 1）， 易知直線 PA、 PB斜率必存 在， 可設(shè)過(guò)點(diǎn) P的切線方程為： y+1=k（ x﹣ m）， 由 ，消去 y并整理得： x2﹣ 4kx+4（ km+1） =0， ?① ， ∵ 切線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)， ∴△= （ 4k） 2﹣ 16（ km+1） =0，整理得： k2﹣ mk﹣ 1=0， ?② ， ∴ 直線 PA、 PB的斜率 k1， k2為方程 ② 的兩個(gè)根，故 k1?k2=﹣ 1， 由 △=0 可得方程 ① 的解為 x=2k， ∴x 1=2k1， x2=2k2， 假設(shè)存在一定點(diǎn)，使得直線 AB恒過(guò)該定點(diǎn)， 則由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知該定點(diǎn)必在 y軸上， 設(shè)該定點(diǎn)為 C（ 0， c）， 則 =（ x1， ﹣ c）， =（ x2， ﹣ c）， ∴ ∥ ， ∴x 1（ ﹣ c）﹣（ ﹣ c） x2=0， ∴c （ x1﹣ x2） = （ x2﹣ x1）， ∴x 1≠x 2， ∴c= ﹣ =﹣ =1， ∴ 直線 AB過(guò)定點(diǎn)（ 0， 1）， （ 3）若點(diǎn) P為直線 l： y=t（ t＜ 0）上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作拋物線 F： x2=2py（ p＞ 0）的切線 PA、 PB的切點(diǎn)分別是 A、 B， 則直線 AB恒過(guò)定點(diǎn)（ 0，﹣ t）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、歸納推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等． 四、（本小題滿(mǎn)分 14分）本題設(shè)有 2 2 23三個(gè)選答題，每小題 14分，請(qǐng)考生任選 2個(gè)小題作答，滿(mǎn)分 14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時(shí)，在答題卡上把所選題號(hào)填入括號(hào)中 .[選修 42：矩陣與變換 ] 21．已知矩陣 M= ，記繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 的變換所對(duì)應(yīng)的矩陣為 N． （ Ⅰ ）求矩陣 N； （ Ⅱ ）若曲線 C： xy=1在矩陣 MN對(duì)應(yīng)變換作用下得到曲線 C′ ，求曲線 C′ 的方程． 【考點(diǎn)】 幾種特殊的矩陣變換． 【專(zhuān)題】 選作題；立體幾何． 【分析】 （ Ⅰ ）利用矩陣變換公式，即可求矩陣 N； （ Ⅱ ）求出 MN，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，代人方程 xy=1整理，即可求曲線 C′ 的方程． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由已知得，矩陣 N= ． ? （ 3分） （ Ⅱ ）矩陣 MN= ，它所對(duì)應(yīng)的變換為 解得 把它代人方程 xy=1整理，得（ y′ ） 2﹣（ x′ ） 2=4， 即經(jīng)過(guò)矩陣 MN變換后的曲線 C′ 方程為 y2﹣ x2=4? （ 7分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題給出矩陣變換，求曲線 C在矩陣 M對(duì)應(yīng)變換作用下得到的曲線 C39。 ， 解得 x= ， y= ． ∴ ． = ． | +2 |= =2 ． 故答案分別為： ； 2 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了數(shù)量積的定義及其運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 13．記集合 A={（ x， y） |x2+y2≤16} 和集合 B={（ x， y） |x+y﹣ 4≤0 ， x≥0 ， y≥0} 表示的平面區(qū)域分別為 Ω 1， Ω 2，若在區(qū)域 Ω 1內(nèi)任取一點(diǎn) M（ x， y），則點(diǎn) M落在區(qū)域 Ω 2的概率為 ． 【考點(diǎn)】 幾何概型． 【專(zhuān)題】 數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】 由題意和三角形以及圓的面積公式可得 區(qū)域的面積，由概率公式可得． 【解答】 解：由題意可得 A表示圓心為原點(diǎn)半徑為 4的圓及其內(nèi)部， 由圓的面積公式可得 Ω 1的面積 S=π4 2=16π ， 集合 B表示的平面區(qū)域?yàn)閮芍苯沁叾紴?4的直角三角形， ∴ 由三角形的面積公式可得 Ω 2的面積 S′= 44=8 ， ∴ 點(diǎn) M落在區(qū)域 Ω 2的概率 P= = ， 故答案為： ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查幾何概型，涉及圓和三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題． 14．設(shè) ，則函數(shù) 的最大值為 ． 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的最值． 【專(zhuān)題】 數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的求值． 【分析】 變形可得 2x∈ （ 0， π ）， y=﹣ ，表示點(diǎn)（ cos2x， sin2x）和（ 2， 0）連線斜率的相反數(shù)，點(diǎn)（ cos2x， sin2x）在單位圓的上半圓，數(shù)形結(jié)合可得． 【解答】 解： ∵ ， ∴2x ∈ （ 0， π ）， 變形可得 y= =﹣ ， 表示點(diǎn)（ cos2x， sin2x）和（ 2， 0）連線斜率的相反數(shù)， 而點(diǎn)（ cos2x， sin2x）在單位圓的上半圓， 結(jié)合圖象可得當(dāng)直線傾斜角為 150176。 ， =（ 2， 0）， | |=1，則 = ． ， | +2 |= 2 ． 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【專(zhuān)題】 平面向量及應(yīng)用． 【分析】 設(shè) =（ x， y），利用 =1， =2x=21cos60176。 福建省漳州市東山二中 20212021 學(xué)年高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：（本大題共 10小題，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題 5分，共 50 分） 1．設(shè)復(fù)數(shù) z滿(mǎn)足 ，則 =（ ） A．﹣ 2+i B．﹣ 2﹣ i C． 2+i D． 2﹣ i 2．設(shè)集合 P={x| =0}，則集合 P的所有子集個(gè)數(shù)是（ ） A． 2 B． 3 C． 7 D． 8 3．下列結(jié)論正確的是（ ） A．若向量 ∥ ，