【正文】 , 1,...,TiA i m? (T 為轉(zhuǎn)置符號 )，稱 1 1 2 2 nnc x c x c x??為目標函數(shù)，記為 xcjnj jz ??? 1,向量 ? ?Tnccc ,1 ?? 稱為價值向量， jc（ j=1， … ,n） 稱為價值系數(shù)；向量 ? ?Tmbbb ,1 ?? 稱為右端向量，條件 0jx?稱為非負約束；如果原問題是求目標函數(shù) xcjnj j??1的最大值，可等價地轉(zhuǎn)換為求)(1 xc jnj j?? ? 的最小值 .因此，我們一般考慮的是求最小值的問題． 一個滿足所有約束條件的向量 ? ?Tnxxx ?,1? 稱為線性規(guī)劃問題 ()的可行解或可行點 .所有的可行點組成的集合稱為線性規(guī)劃問題 ()的可行區(qū)域，記為 D． 給定一個線性規(guī)劃問題，下列三種情況必居其一：（ 1） D=? ，稱該問題無解或不可行；（ 2） D≠ ? ，但 目標函數(shù)在 D上無界，此時稱該問題無界；（ 3）求解一個線性規(guī)劃問題就是要判斷該問題屬于哪種情況，當問題有最優(yōu)解時，還需要在可行區(qū)域中求出使目標函數(shù)達到最小值的點，也就是最優(yōu)解，以及目標函數(shù)的最優(yōu)值 [1]． 線性規(guī)劃的發(fā)展 有關線性規(guī)劃這個概念的提出，分別由 法國數(shù)學家 －普森分別于 1832 和 1911 年獨立地提出， 可惜當時并 未引起 人們的 注意 . 接著， 1939 年在《生產(chǎn)組織與計劃中的 數(shù)學方法 》一書中提出線性規(guī)劃問題， 這個作家就是 蘇聯(lián)數(shù)學家 . 康托羅維奇 ，但 也未引起 大家的 重視 . 1947 年這門學科 終于被 奠定了基礎 ，就是因為 美國數(shù)學家 所 提出線性規(guī)劃的一般 數(shù)學模型 和求解線性規(guī)劃問題的通用方法 ── 單純形法 ，大家終歸初步懂得怎么求解線性規(guī)劃問題 ． 緊接著，終于在 1947 年 ，人們 開創(chuàng)了線性規(guī)劃的許多新的研究領域 ，就是因為 美國數(shù)學家 諾伊曼提出 對偶 理論 ,擴大 了它的應用范圍和解題能力 .1951 年 ， 線性規(guī)劃 被 應用到經(jīng)濟領域 ， 美國經(jīng)濟學家 1975年諾貝爾經(jīng)濟學獎 ，取得了重大的成就 .上世紀 50 年代的線性規(guī)劃理論的研究中，一大批新算法的出現(xiàn)離不開科學家的貢獻。 例如， 1954 年 基提出 對偶 單純形法，1954 年 ， 1956 年 提出互 補松弛定理， 1960 年 ，把線性規(guī)劃問題的發(fā)展推向高潮 . 其他數(shù)學規(guī)劃問題 包含 整數(shù)規(guī)劃、隨機規(guī)劃和 非線性規(guī)劃 的算法 鉆研都是由于 線性規(guī)劃的研究成果 高度發(fā)展和突破。 超出五個小區(qū)所需的每天基本用氣量和額外用 氣 量 之 和 為bbbbbaaaaa 5432154321 ????????? （單位： 4310m ），所以供氣站供氣量不能全部輸出．天然氣公司所收取天然氣費用為 n 萬元 / 4310m ，此外其他管理費用為 m 萬元/ 4310m ，還加上輸氣管理費如上表，所以可得實際三個供氣站所得利潤如下 管理費 /（萬元） 甲 乙 丙 丁 戊 A p11 p12 p13 p14 p15 B p21 p22 p23 p24 p25 C p31 p32 p33 p34 p35 5 表 2 從燃氣供應點向各小區(qū)供氣的純利潤 純利潤 /（萬元） 甲 乙 丙 丁 戊 A pmn 11?? pmn 12?? pmn 13?? pmn 14?? pmn 15?? B pmn 21?? pmn 22?? pmn 23?? pmn 24?? pmn 25?? C pmn 31?? pmn 32?? pmn 33?? pmn 34?? pmn 35?? 再根據(jù)此表建立適當?shù)木€性規(guī)劃模型，然后借助于解決線性規(guī)劃的專業(yè)軟件 Lingo或 MATLAB 求解即可． 至于問題（ 2），由于 A、 B、 C 三個供氣站供氣量總和為 ttt321 ??（ 4310m ） ，不超過 五 個 小 區(qū) 所 需 的 每 天 基 本 用 氣 量 和 額 外 用 氣 量 之 和 為bbbbbaaaaa 5432154321 ????????? （ 4310m ） ，所以供氣站供氣量能全部輸出．所以每天天然氣公司的總收入是 )(321 tttn ???（萬元），每天其他管理費用為 )(321 tttm ???（萬元），而這都與供氣站分配的供氣量無關．所以，要使利潤最大，則要通過建立數(shù)學模型并求解使輸氣管理費最小便可． 符號說明 符號 意義 單位 X11 供氣站 A向甲區(qū)的日供氣量 m3410 X12 供氣站 A向乙區(qū)的日供氣量 m3410 X13 供氣站 A向丙區(qū)的日供氣量 m3410 X14 供氣站 A向丁區(qū)的日供氣量 m3410 X15 供氣站 A向戊區(qū)的日供氣量 m3410 X21 供氣站 B向甲區(qū)的日供氣量 m3410 X22 供氣站 B向 乙 區(qū)的日供氣量 m3410 X23 供氣站 B向丙區(qū)的日供氣量 m3410 X24 供氣站 B向丁區(qū)的日供氣量 m3410 X25 供氣站 B向戊區(qū)的日供氣量 m3410 X31 供氣站 C向甲區(qū)的日供氣量 m3410 X32 供氣站 C向乙區(qū)的日供氣量 m3410 X33 供氣站 C向丙區(qū)的日供氣量 m3410 X34 供氣站 C向 丁 區(qū)的日供氣量 m3410 X35 供氣站 C向戊區(qū)的日供 氣量 m3410 Z1 問題一所獲得的最大利潤 萬元 Z2 問題二所獲得的最大利潤 萬元 Z3 問題二中的輸氣管理費用 萬元 6 模型建立 問題一模型建立 決策變量：三個供氣站 A， B， C（ i=1， 2， 3）分別向五個小區(qū)甲，乙，丙，丁，戊（ j=1， 2， 3， 4， 5）供氣．設 ijX 表示供氣站 i向 j小區(qū)的日供氣量（ i=1， 2， 3，j=1， 2， 3， 4， 5），即總共有 15 個決策變量 . 目標函數(shù)：設每天可獲得利潤為 Z1，則根據(jù)分析可知，當供氣收入減去其他 管理費和輸氣管理費后所得的純利潤，便是 Z1 ，即 XpXpXpXpXpXpXpXpXpXpXpXpXpXpXpZmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn3535343433333232313125252424232322222121151514141313121211111)( ?????????????????????????????????????????????）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（ 約束條件：由于供氣站供氣量不能全部輸出，所以根據(jù)供氣站供氣量的限制，得 kXXXXX kXXXXXkXXXXX 33534333231 2252423222111514131211 ,????? ?????????? 此外，考慮到滿足小區(qū)的基本用氣量和額外用氣量，決策變量可 限制為： baXXXa baXXXabaXXXabaXXXabaXXXa553525155443424144333323133223222122113121111,????????????????????????? 綜上可得線性規(guī)劃為 XpXpXpXpXpXpXpXpXpXpXpXpXpXpXpZmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn353534343333323231312525242