江西省宜春市20xx-20xx學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷文課改實(shí)驗(yàn)班，含解析-文庫吧資料
2024-12-09 05:42本頁面
【正文】 點(diǎn)為 F，直線 l過點(diǎn) M（ 4， 0）． （ Ⅰ ）若點(diǎn) F到直線 l的距離為 ，求直線 l的斜率； （ Ⅱ ）設(shè) A， B為拋物線上兩點(diǎn)，且 AB 不與 x軸重合，若線段 AB 的垂直平分線恰過點(diǎn) M，求證：線段 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值． 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率；點(diǎn)到直線的距離公式． 【專題】 綜合題． 【分析】 （ Ⅰ ）設(shè)直線 l的方程為 y=k（ x﹣ 4），由已知，拋物線 C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 0），因?yàn)辄c(diǎn) F到直線 l的距離為 ，所以 ，由此能求出直線 l的斜率． （ Ⅱ ）設(shè)線段 AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為 N（ x0， y0）， A（ x1， y1）， B（ x2， y2），因?yàn)?AB不垂直于x軸，所以直線 MN的斜率為 ，直線 AB的斜率為 ，直線 AB的方程為，由此能夠證明線段 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由已知， x=4不合題意．設(shè)直線 l的方程為 y=k（ x﹣ 4）， 由已知，拋物線 C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 0）， ? （ 1分） 因?yàn)辄c(diǎn) F到直線 l的距離為 ， 所以 ， ? （ 3分） 解得 ，所以直線 l的斜率為 ． ? （ 5分） （ Ⅱ ）設(shè)線段 AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為 N（ x0， y0）， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 因?yàn)?AB不垂直于 x軸， 則直線 MN的斜率為 ， 直線 AB的斜率為 ， ? （ 7分） 直線 AB的方程為 ， ? （ 8分） 聯(lián)立方程 消去 x得 ， ? （ 10分） 所以 ， ? （ 11分） 因?yàn)?N為 AB中點(diǎn)， 所以 ，即 ， ? （ 13分） 所以 x0=2．即線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值 2． ? （ 14分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn) 算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．本題的易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算量大，容易出錯(cuò)． 22．已知橢圓 C： =1（ a＞ b＞ 0）的焦距為 4，其長軸長和短軸長之比為 ： 1． （ Ⅰ ）求橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ Ⅱ ）設(shè) F為橢圓 C的右焦點(diǎn)， T為直線 x=t（ t∈ R， t≠2 ）上縱坐標(biāo)不為 0的任意一點(diǎn)，過 F作 TF的垂線交橢圓 C于點(diǎn) P， Q． （ ⅰ ）若 OT平分線段 PQ（其中 O為坐 標(biāo)原點(diǎn)），求 t的值； （ ⅱ ）在（ ⅰ ）的條件下，當(dāng) 最小時(shí)，求點(diǎn) T的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問題． 【專題】 圓錐曲線中的最值與范圍問題． 【分析】 （ Ⅰ ）由已知可得 ，由此能求出橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程． （ Ⅱ ）（ ⅰ ）設(shè)直線 PQ的方程為 x=my+2．將直線 PQ的方程與橢圓 C的方程聯(lián)立，得（ m2+3）y2+4my﹣ 2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知 條件能求出 t=3． （ ⅱ ） T點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 3，﹣ m）． ， |PQ|= ．由此能求出當(dāng)最小時(shí)， T點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 3， 1）或（ 3，﹣ 1）． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由已知可得 ， 解得 a2=6， b2=2． 所以橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ． （ Ⅱ ）（ ⅰ ）由（ Ⅰ ）可得， F點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2， 0）． 由題意知直線 PQ的斜率存在且不為 0， 設(shè)直線 PQ的方程為 x=my+2． 將直線 PQ的方程與橢圓 C的方程聯(lián)立， 得 消去 x，得（ m2+3） y2+4my﹣ 2=0， 其判別式 △=16m 2+8（ m2+3）＞ 0． 設(shè) P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， 則 ， ． 于是 ． 設(shè) M為 PQ的中點(diǎn)，則 M點(diǎn)的坐標(biāo)為 ． 因?yàn)?TF⊥PQ ，所以直線 FT 的斜率為﹣ m，其方程為 y=﹣ m（ x﹣ 2）． 當(dāng) x=t時(shí)， y=﹣ m（ t﹣ 2），所以點(diǎn) T的坐標(biāo)為（ t，﹣ m（ t﹣ 2））， 此時(shí)直線 OT的斜率為 ，其方程為 ． 將 M點(diǎn)的坐標(biāo)為 代入 ， 得 ．解得 t=3． （ ⅱ ）由（ ⅰ ）知 T點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 3，﹣ m）． 于是 ， = = = = ． 所以 = = ． 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 m=177。 ，則此雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì)． 【專題】 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】 求出雙曲線的漸近線方程，解方程可得 a=3，再由 a， b， c的關(guān)系可得 c，再由離心率公式，計(jì)算即可得到． 【解答】 解： ∵ 雙曲線 =1的漸近線方程為 y= x， 則 = ，即 ， ∴a=3 ，半焦距 ， ∴ ， 故選： D． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程和離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題． 10．已知焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓的離心率為 ，它的長軸長等于圓 C： x2+y2﹣ 2x﹣ 15=0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ） A． + =1 B． + =1 C． +y2=1 D． + =1 【考點(diǎn)】 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡單性質(zhì)． 【專題】 計(jì)算題． 【分析】 利用配方化簡 x2+y2﹣ 2x﹣ 15=0得到圓的半徑為 4，所以橢圓的長軸為 4，根據(jù)離心率求出 c，根據(jù)勾股定理求出 b得到橢圓的解析式即可． 【解答】 解： ∵x 2+y2﹣ 2x﹣ 15=0， ∴ （ x﹣ 1） 2+y2=16， ∴r=4=2a ， ∴a=2 ， ∵e= ， ∴c=1 ， ∴b 2=3． 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 考查學(xué)生會(huì)根據(jù)條件求圓標(biāo)準(zhǔn)方程，以及靈活運(yùn)用橢圓簡單性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題的能力． 11．假設(shè)在 5秒內(nèi)的任何時(shí)刻，兩條不相關(guān)的短信機(jī)會(huì)均等地進(jìn)人同一部手機(jī)，若這兩條短信進(jìn)人手機(jī)的時(shí)間之差小于 2秒，手機(jī)就會(huì)受到干擾，則手機(jī)受到干擾的概率為（ ） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】 幾何概型；簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用． 【專題】 概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】 由題意，得到 所有事件集可表示為 0≤x≤5 ， 0≤y≤5 ．手機(jī)受則到干擾的事件發(fā)生，必有 |x﹣ y|≤2 ．畫出平面區(qū)域，計(jì)算面積，利用幾何概型的公式解答． 【解答】 解：分別設(shè)兩個(gè)互相獨(dú)立的短信收到的時(shí)間為 x， y．則所有
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