北師大版選修1-2高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明綜合測試-文庫吧資料
2024-12-08 22:16本頁面
【正文】 ] ≤ f??? ???x1＋ x2＋ ? ＋ xnn ， (大前提 ) ∵ f(x)＝ sinx在 (0， π) 上是凸函數(shù)， (小前提 ) ∴ f(A)＋ f(B)＋ f(C)≤3 f??? ???A＋ B＋ C3 ， (結(jié)論 ) 即 sinA＋ sinB＋ sinC≤3sin π3 ＝ 3 32 ， ∴ sinA＋ sinB＋ sinC的最大值是 3 32 . 三、解答題 (本大題共 6個小題，共 75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 ) 16． (本題滿分 12 分 )已知 a、 b、 c 是全不相等的正實數(shù)，求證： b＋ c－ aa ＋ a＋ c－ bb ＋a＋ b－ cc 3. [解析 ] 解法一： (分析法 ) 要證 b＋ c－ aa ＋ a＋ c－ bb ＋ a＋ b－ cc 3， 只需證明 ba＋ ca－ 1＋ cb＋ ab－ 1＋ ac＋ bc－ 13， 即證 ba＋ ca＋ cb＋ ab＋ ac＋ bc6. 而事實上，由 a、 b、 c是全不相等的正實數(shù)， 得 ba＋ ab2， ca＋ ac2， cb＋ bc2. 從而 ba＋ ca＋ cb＋ ab＋ ac＋ bc6. 故 b＋ c－ aa ＋ a＋ c－ bb ＋ a＋ b－ cc 3得證． 解法二： (綜合法 ) ∵ a、 b、 c全不相等， ∴ ba與 ab， ca與 ac， cb與 bc全不相等． ∴ ba＋ ab2， ca＋ ac2， cb＋ bc2. 三式相加得 ba＋ ca＋ cb＋ ab＋ ac＋ bc6， ∴ (ba＋ ca－ 1)＋ (cb＋ ab－ 1)＋ (ac＋ bc－ 1)3， 即 b＋ c－ aa ＋ a＋ c－ bb ＋ a＋ b－ cc 3. 17． (本題滿分 12 分 )設(shè) f(x)＝ 13x＋ 3，先分別求 f(0)＋ f(1)， f(－ 1)＋ f(2)， f(－2)＋ f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明． [答案 ] 證明略 [解析 ] f(0)＋ f(1)＝ 130＋ 3＋ 13＋ 3＝ 11＋ 3＋ 13＋ 3＝ 3－ 12 ＋ 3－ 36 ＝ 33 ，同理可得： f(－ 1)＋ f(2)＝ 33 ， f(－ 2)＋ f(3)＝ 33 . 一般性結(jié)論：若 x1＋ x2＝ 1，則 f(x1)＋ f(x2)＝ 33 . 證明：設(shè) x1＋ x2＝ 1， f(x1)＋ f(x2)＝ 13x1＋ 3＋ 13x2＋ 3 ＝ x1＋ 3 ＋ x2＋ 3x1＋ 3 x2＋ 3 ＝ 3x1＋ 3x2＋ 2 33x1＋ x2＋ 3 x1＋ 3x2 ＋ 3 ＝ 3x1＋ 3x2＋ 2 33 x1＋ 3x2 ＋ 23 ＝ 3x1＋ 3x2＋ 2 33 x1＋ 3x2＋ 2 3 ＝ 33 . 18． (本題滿分 12分 )在某兩個正數(shù) x、 y之間，若插入一個數(shù) a，使 x， a， y成等差數(shù)列，若插入兩個數(shù) b、 c，使 x， b， c， y成等比數(shù)列，求證 (a＋ 1)2≥( b＋ 1)(c＋ 1)． [解析 ] 由已知條件得????? 2a＝ x＋ yb2＝ cx，消去c2＝ byx， y得 2a＝ b2c＋c2b，且有 a0b0， c0. 要證 (a＋ 1)2≥( b＋ 1)(c＋ 1)， 只需證 a＋ 1≥ b＋ c＋ ， 只要證 a＋ 1≥ b＋ 1＋ c＋ 12 ，
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