【正文】 我的選題通知后，我開始著手準(zhǔn)備論文，開始的，對(duì)于論文的題目都有些不懂，不明白論文要寫那些方面， 而且既然決定開始寫的話，就必須確定自己要寫那些方面，于是我主動(dòng)去找我的導(dǎo)師，卜飛宇老師，及時(shí)與他溝通，通過老師的耐心指導(dǎo)和幫助，我確立了我要寫的方向。 } pdcDeleteDC()。 pdcLineTo(gx,gy)。}//,RGB(255,0,0))。 gy=int(cy+y)。 y=int(r*sin(th))。th+=pi/k){ r=abs(a*cos(n*th)*p)。p=){ for(th=0。 for(p=1。 flag=0。 cx=320。n=2。 double r,p,th,x,y,pi。pen)。 (PS_SOLID,1,RGB(0,0XFF,0))。 16 正葉線源碼 及效果圖 void CMyView::OnDrawLeaf() { CClientDC *pdc=new CClientDC(this)。 } pdcDeleteDC()。 if(i==0) pdcMoveTo(xa,ya)。 xa=a0+a1*t+a2*t2+a3*t3+cx。 t2=t*t。i=n。 dt=。 15 b2=(y[2]2*y[1]+y[0])/2。 b0=(y[0]+4*y[1]+y[2])/6。 a2=(x[2]2*x[1]+x[0])/2。 a0=(x[0]+4*x[1]+x[2])/6。 cy= double t,t2,t3,a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3,dt,xa,ya。 int cx,cy,i,n。pen)。 (PS_SOLID,1,RGB(0,0XFF,0))。 CClientDC *pdc=new CClientDC(this)。 （ 6） 控制多邊形是 B樣條曲線的線性近似，若進(jìn)行節(jié)點(diǎn)插入或升階會(huì)更加近 似；次數(shù)越低， B樣條曲線越逼近控制頂點(diǎn) （ 7） 如圖 ，設(shè) P0 , P1,...,Pn為 B樣條曲線的控制多邊形 ，某平面與 B樣條曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該平面與其控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 14 圖 三次 B樣條曲線的繪制： 畫出三次 B樣條曲線曲線。 （ 5） 局部可調(diào)性：因?yàn)?Ni, p(u)只在區(qū)間 [ui ,ui+p+1)中為正，在其它地方均取零值 ,所以 p次的 B樣條曲線在修改時(shí)只被相鄰的 p+1個(gè)頂點(diǎn)控制，而與其它頂點(diǎn)無關(guān)。 （ 3） 可微性或連續(xù)性： C(u)在每一個(gè)曲線段內(nèi)部是無限次可微的，在定義域內(nèi) 重復(fù)度為 k的節(jié)點(diǎn)處則使 pk次可微或具有 pk階參數(shù)連續(xù)性。 三次 B樣條曲線的 性質(zhì) （ 1）嚴(yán)格的凸包性：曲線嚴(yán)格位于控制多邊形的凸包 內(nèi)，如果 u∈ [ ui ,ui+1), p≤ imp1， C(u)位于控制頂點(diǎn) Pip? .,Pi所建立的凸包內(nèi)，如圖 。 } 程序運(yùn)行效果圖： 圖 Bezier曲線 4 三 次 B 樣條曲線的繪制 三 次 B樣條曲線的 介紹 工程上常用的是三次 B樣條曲線函數(shù)式為： ???30 3, )()( k kk uFPuP u?[0, 1] 其 中： ??? ? ?????kjjjk jkuCuF 303133, )3()1(!31)( 展開有： F0,3(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1 )/6； F1,3(u)﹦ (3u3﹣ 6u2﹢ 4)/6； F2,3(u)﹦ (3u3﹢ 3u2﹢ 3u﹢ 1 )/6； F3,3(u)﹦ u3 /6。 pdcLineTo(10+10*points_x[i],10+10*points_y[i])。 points_y[i]=ThreeBezier(degree,coeff_y,t)。i=nPoints。 pdcMoveTo(110,110)。 delt=float()。j=degree。 pdcMoveTo(110,110)。 coeff_y[2]=13。 coeff_y[0]=10。 coeff_x[2]=40。 coeff_x[0]=10。 pdcTextOut(200,150,三次 Bezier曲線 )。 CPen *oldpen=(CPen*)pdcSelectObject(amp。 CPen pen。 degree=3。 11 float points_y[nPoints+1]。 float coeff_y[4]。 三次 Bezier曲線繪制 void CMyView::OnDraw3bezier() { RedrawWindow()。 （ 3）凸包性 ： Bezier曲 線落在特征多邊形頂點(diǎn)所形成的凸包內(nèi)。 三次 Bezier曲線寫成坐標(biāo)分量的形式如下： x(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1)x0﹢ (3u3﹣ 6u2﹢ 3u)x1﹢ (3u3﹢ 3u2)x2﹢ u3x3 y(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1)y0﹢ (3u3﹣ 6u2﹢ 3u)y1﹢ (3u3﹢ 3u2)y2﹢ u3y3 z(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1)z0﹢ (3u3﹣ 6u2﹢ 3u)z1﹢ (3u3﹢ 3u2)z2﹢ u3z3 實(shí)際生成曲線時(shí)，取一合適的步長(zhǎng)，控制 u從 0到 1變化，求出一系列 (x, y)坐標(biāo)點(diǎn)，將其用小線段順序連接起來，就可以得到一條 Bezier曲線。 10 三次 Bezier曲線由四個(gè)控制點(diǎn) P0、 P P P3定義： ??? 3 0 3, )()( k kk uBPuP 其中， Pk為特征多邊形第 k個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)值 (xk,yk,zk)，而基函數(shù) Bk,n(u)的定義如下 knkknuk uuCB ??? )1(, (k﹦ 0,1,...,n) 函數(shù) Bk,n(u)稱為 Bernstein多項(xiàng)式 ,其中 )!(! ! knk nCkn ?? 為組合公式。 3 貝塞爾 (Bezier)曲線的繪制 貝塞爾曲線的介紹 一般地說，可以用任何數(shù)目的控制點(diǎn)擬合出一條 Bezier曲線，但這需要計(jì)算更高次的多項(xiàng)式。僅支持 Windows操作系統(tǒng)。最大的缺點(diǎn)是對(duì)于模版的支持比較差。 缺點(diǎn)： 由于 C++是由 C語言發(fā)展起來的，也支持 C語言的編譯。其編譯及創(chuàng)建預(yù)編譯頭文件 ()、最小重建功能及累加連結(jié) (link)著稱。 比如 ，它允許用戶進(jìn)行遠(yuǎn)程調(diào)試，單步執(zhí)行等。所以實(shí)際中，更多的是以 Visual C++平臺(tái)。自 1993年Microsoft公司推出 Visual C++，隨著其新版本的不斷問世， Visual C++已成為專業(yè)程序員進(jìn)行軟件開發(fā)的首選工具。 Microsoft的主力軟件產(chǎn)品。 Visual C++，包括 編輯器 、調(diào)試器以及程序向?qū)?AppWizard、類向?qū)?Class Wizard等開發(fā)工具。所以實(shí)際中，更多 9 的是以 Visual C++。 自 1993年 Microsoft公司推出 Visual C++，隨著其新版本的不斷問世， Visual C++已成為專業(yè)程序員進(jìn)行軟件開發(fā)的首選工具。 Visual C++ Visual C++ 的簡(jiǎn)介 Visual C++ ，簡(jiǎn)稱 VC或者 ，是微軟推出的一款 C++編譯器，將 “ 高級(jí)語言 ” 翻譯為 “ 機(jī)器語言（低級(jí)語言） ” 的程序?？傊?jì)算機(jī)圖形學(xué)的應(yīng)用 給人類帶來了很多益處。 還有將可視化用于天氣預(yù)報(bào)。自然景物 仿真和計(jì)算機(jī)動(dòng)畫。計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 的已經(jīng)應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。這是一個(gè)傳統(tǒng)的藝術(shù)家無法實(shí)現(xiàn)也不可想象的。這是電影界最高的殊榮。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)除了廣泛用于藝術(shù)品的制造，如各種圖案、花紋及傳統(tǒng)的油畫、中國(guó)國(guó)畫等。然而要真正到達(dá)真實(shí)運(yùn)動(dòng)是很難的，比如人的行走或跑步，要實(shí)現(xiàn)很自然的人走路的畫面，計(jì)算機(jī)方程非常復(fù)雜和計(jì)算量極大，基于物理模型的計(jì)算機(jī)動(dòng)畫還有許多內(nèi)容需要進(jìn)一步研究 。近年來人們普遍將注意力轉(zhuǎn)向基于物理模型的計(jì)算機(jī)動(dòng)畫生成方法。在生成幾幅被稱作“關(guān)鍵幀”．連續(xù)播放時(shí) 2個(gè)關(guān)健幀就被有機(jī)的結(jié)合起來了。事實(shí)上動(dòng)畫也只是生成一幅幅靜態(tài)的圖象，但是每一幅都是對(duì)前一幅小部分修改，如何修改便是計(jì)算機(jī)動(dòng)畫的研究?jī)?nèi)容，這樣，當(dāng)這些連續(xù)播放時(shí)，整個(gè)場(chǎng)景就動(dòng)起來?？茖W(xué)計(jì)算等方面應(yīng)用范圍很廣 。而且還必須處理物體表面的明暗效應(yīng)，以便用不同的色彩灰度來增加圖形的真實(shí) 感。在自然景物仿真這項(xiàng)技術(shù)中我們需要過行消除隱藏線及面、明暗效應(yīng)、顏色模型、紋理、光線跟蹤，輻射度等工作。 圖形實(shí)時(shí)繪制與自然景物仿真 重現(xiàn)真實(shí)世界的場(chǎng)景叫做真實(shí)感繪制。當(dāng)我們做腦部手術(shù)時(shí)．可視化技術(shù)技術(shù)將醫(yī)用 CT掃描的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成圖像．使得醫(yī)生能夠看到并準(zhǔn)確的判別病人的體內(nèi)患處 ．然后通過碰撞檢測(cè)一類的技術(shù)實(shí)現(xiàn)手術(shù)效果的反饋，幫助醫(yī)生成功完成手術(shù)。依靠精密機(jī)械做腦部手術(shù)是目前醫(yī)學(xué)上很熱門的課題。尤其在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。綜合等一系列處理，在三維空間中重新構(gòu)造出二維信息所對(duì)應(yīng)的三維形體，恢復(fù)形體的點(diǎn)、線 、面及其拓?fù)潢P(guān) 系 ，從而實(shí)現(xiàn)形體的重建 。三維形體重建是從 二維信息中提取三維信息。在電子工業(yè)中，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)應(yīng)用到集成電路印刷電路板．電子線路和網(wǎng)絡(luò)分析等方面的優(yōu)勢(shì)十分明顯。經(jīng)過反復(fù)的選代設(shè)計(jì)，便可利用結(jié)果數(shù)據(jù)輸出零件表、材料單、加工流程和工藝卡。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)被用來 進(jìn)行土建工程．機(jī)械結(jié)構(gòu)和產(chǎn)品的設(shè)計(jì)，包括設(shè)計(jì)飛機(jī)、汽車、船舶的 7 外形和發(fā)電廠、化工廠等的布局以及電子線路、電子器件等。此前的計(jì)算機(jī)主要是符號(hào)處理系統(tǒng) ， 自從有了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，計(jì)算機(jī)可以部分地表現(xiàn)人的右腦功能了，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的建立意義重大。計(jì)算機(jī) 圖形學(xué)處 于準(zhǔn)備和醞釀時(shí)期并稱之為：“被動(dòng)式”圖形學(xué)。該顯示器用一個(gè)類似示波的陰極射線管 (CRT)來顯示一些簡(jiǎn)單的圖形。本文將介紹計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的研究?jī)?nèi)容、發(fā)展歷史，應(yīng)用和圖形學(xué)前沿的方向。從處理技術(shù)上來看圖形主要分為 兩類，一類是基于線條信息表示的，如工程圖等高線地圖、曲面的線框圖等，另一類是明暗圖，也就是通常所說的真實(shí)感圖形。簡(jiǎn)單地說，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容就是研究如何在計(jì)算機(jī)中表示圖形、以及利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行圖形的計(jì)算、處理和顯示的相關(guān)原理與算法。 雖然 Bezier曲線的降 階問題研究得比較多，但都很少有討論采用中點(diǎn)分割與基本降階相結(jié)合并考慮誤差具體進(jìn)行一次降二階的情況。但 A0 時(shí)，沒有顯式解存在，必須通過諸如修正的 Remes算法等數(shù)值方法來。 另一類是側(cè)重于基轉(zhuǎn)換的代數(shù)方法， Watkins和 Worsey以及 Eck利用升階反過程與約束 Chebyshev多項(xiàng)式有機(jī)地結(jié)合起來，對(duì)曲線降階問題進(jìn)行處理； Eck用約束 Legendre多項(xiàng)式在 L2范數(shù)空間中進(jìn)行降階，逼近效果優(yōu)于以往的方法，但多階降階逼近問題采取每次降一階來分次實(shí)現(xiàn)。zicurvsand Surfaces” [12]通過原曲線與待求曲線所圍面積的極小來反求降階后曲線的控制頂點(diǎn)，給出了一種降階算法； Lodha 和 Warren 的“ Degreere Duction of Bezier Simplexes” [13]的算法進(jìn)一步考慮了一般的Bezier單形 A，利用插值和凸組合技巧，先構(gòu)造 k個(gè) d次的 Bezier單形 Ak， dK，使Ak在第 k個(gè)角點(diǎn)處與 A保持有直至 d次的公共導(dǎo)數(shù) ,再求 K個(gè)凸組合系數(shù)，在理論上可以解決 Bezier曲線和曲面的降階問題，但算法過于繁瑣，且缺乏直觀的幾何意義，效率也不是很高；在國(guó)內(nèi)的研究情形里， 1997~1998 年，胡事民等的在“‘ Approximate Degreereduction of Rectangular Bziersurfaces ’、‘ Approximate DegreeReduction of Bezier Curves’和‘ CAD 系統(tǒng)數(shù)據(jù)通訊中 5 若干幾何問題的研究’”中通過擾動(dòng)控制頂點(diǎn)給出了 Bezier曲線曲面和廣義 Ball曲線的降階方法 ； 陳國(guó)棟 、 王國(guó)瑾等的“基于廣義逆矩陣的 Bezier 曲線降階逼近”利用廣義逆矩陣求得最小二乘解，實(shí)現(xiàn)了保端點(diǎn)插值的一次降多階逼近； 2001年，陳國(guó)棟和 王國(guó)瑾的“帶端點(diǎn)插值條件的 Bezier曲線降多階逼近”利用 Bezier曲線本身的幾何性質(zhì)結(jié)合廣義逆矩陣?yán)碚摻o出了一種新的降階逼近方法，結(jié)合Chebyshev多項(xiàng)式逼近理論，獲得滿足端點(diǎn)插值條件的近似最佳一致逼近該方法取得了較好的逼近效果。對(duì) Bezier曲線的降階問題的研究大致可分為如下兩類： 一類是基于控制頂點(diǎn)幾何信息的離散化方法，這類 方法主要著眼于原曲線的控制頂點(diǎn)和導(dǎo)矢等幾何信息進(jìn)行降階。由于它常常應(yīng)用于不同造型系統(tǒng)， 而不同造型系統(tǒng)之間經(jīng)常需要進(jìn)行幾何描述信息的數(shù)據(jù)交換或數(shù)據(jù)集成， 因此，降階運(yùn)算作為 Bezier曲線的基本運(yùn)算就具有非常重要的意義。 貝塞爾 (Bezier)曲線的繪制 B樣條曲線的繪制 正葉線 繪制 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀 Bezier曲線的提出是 1962最先由貝齊爾開始的， 它最初的研究是面向幾何而不是面向代數(shù) 。 B樣條曲 線造型方法的理論基礎(chǔ)是 B樣條 ,下面從 B樣條的定義和性質(zhì) ,以及各種 B樣條曲線的定義和程序?qū)崿F(xiàn)方法進(jìn)行闡述。 B樣條曲線的應(yīng)用范圍非常廣泛 ,不僅在幾何造型方面 ,還應(yīng)用到其它許多方面 ,如應(yīng)用 B樣條函數(shù)