【正文】 我的選題通知后，我開始著手準(zhǔn)備論文，開始的，對于論文的題目都有些不懂，不明白論文要寫那些方面， 而且既然決定開始寫的話，就必須確定自己要寫那些方面，于是我主動去找我的導(dǎo)師，卜飛宇老師，及時與他溝通，通過老師的耐心指導(dǎo)和幫助，我確立了我要寫的方向。 } pdcDeleteDC()。 pdcLineTo(gx,gy)。}//,RGB(255,0,0))。 gy=int(cy+y)。 y=int(r*sin(th))。th+=pi/k){ r=abs(a*cos(n*th)*p)。p=){ for(th=0。 for(p=1。 flag=0。 cx=320。n=2。 double r,p,th,x,y,pi。pen)。 (PS_SOLID,1,RGB(0,0XFF,0))。 16 正葉線源碼 及效果圖 void CMyView::OnDrawLeaf() { CClientDC *pdc=new CClientDC(this)。 } pdcDeleteDC()。 if(i==0) pdcMoveTo(xa,ya)。 xa=a0+a1*t+a2*t2+a3*t3+cx。 t2=t*t。i=n。 dt=。 15 b2=(y[2]2*y[1]+y[0])/2。 b0=(y[0]+4*y[1]+y[2])/6。 a2=(x[2]2*x[1]+x[0])/2。 a0=(x[0]+4*x[1]+x[2])/6。 cy= double t,t2,t3,a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3,dt,xa,ya。 int cx,cy,i,n。pen)。 (PS_SOLID,1,RGB(0,0XFF,0))。 CClientDC *pdc=new CClientDC(this)。 （ 6） 控制多邊形是 B樣條曲線的線性近似，若進行節(jié)點插入或升階會更加近 似；次數(shù)越低， B樣條曲線越逼近控制頂點 （ 7） 如圖 ，設(shè) P0 , P1,...,Pn為 B樣條曲線的控制多邊形 ，某平面與 B樣條曲線的交點個數(shù)不多于該平面與其控制多邊形的交點個數(shù) 14 圖 三次 B樣條曲線的繪制： 畫出三次 B樣條曲線曲線。 （ 5） 局部可調(diào)性：因為 Ni, p(u)只在區(qū)間 [ui ,ui+p+1)中為正，在其它地方均取零值 ,所以 p次的 B樣條曲線在修改時只被相鄰的 p+1個頂點控制，而與其它頂點無關(guān)。 （ 3） 可微性或連續(xù)性： C(u)在每一個曲線段內(nèi)部是無限次可微的，在定義域內(nèi) 重復(fù)度為 k的節(jié)點處則使 pk次可微或具有 pk階參數(shù)連續(xù)性。 三次 B樣條曲線的 性質(zhì) （ 1）嚴(yán)格的凸包性：曲線嚴(yán)格位于控制多邊形的凸包 內(nèi)，如果 u∈ [ ui ,ui+1), p≤ imp1， C(u)位于控制頂點 Pip? .,Pi所建立的凸包內(nèi)，如圖 。 } 程序運行效果圖： 圖 Bezier曲線 4 三 次 B 樣條曲線的繪制 三 次 B樣條曲線的 介紹 工程上常用的是三次 B樣條曲線函數(shù)式為： ???30 3, )()( k kk uFPuP u?[0, 1] 其 中： ??? ? ?????kjjjk jkuCuF 303133, )3()1(!31)( 展開有： F0,3(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1 )/6； F1,3(u)﹦ (3u3﹣ 6u2﹢ 4)/6； F2,3(u)﹦ (3u3﹢ 3u2﹢ 3u﹢ 1 )/6； F3,3(u)﹦ u3 /6。 pdcLineTo(10+10*points_x[i],10+10*points_y[i])。 points_y[i]=ThreeBezier(degree,coeff_y,t)。i=nPoints。 pdcMoveTo(110,110)。 delt=float()。j=degree。 pdcMoveTo(110,110)。 coeff_y[2]=13。 coeff_y[0]=10。 coeff_x[2]=40。 coeff_x[0]=10。 pdcTextOut(200,150,三次 Bezier曲線 )。 CPen *oldpen=(CPen*)pdcSelectObject(amp。 CPen pen。 degree=3。 11 float points_y[nPoints+1]。 float coeff_y[4]。 三次 Bezier曲線繪制 void CMyView::OnDraw3bezier() { RedrawWindow()。 （ 3）凸包性 ： Bezier曲 線落在特征多邊形頂點所形成的凸包內(nèi)。 三次 Bezier曲線寫成坐標(biāo)分量的形式如下： x(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1)x0﹢ (3u3﹣ 6u2﹢ 3u)x1﹢ (3u3﹢ 3u2)x2﹢ u3x3 y(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1)y0﹢ (3u3﹣ 6u2﹢ 3u)y1﹢ (3u3﹢ 3u2)y2﹢ u3y3 z(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1)z0﹢ (3u3﹣ 6u2﹢ 3u)z1﹢ (3u3﹢ 3u2)z2﹢ u3z3 實際生成曲線時，取一合適的步長，控制 u從 0到 1變化，求出一系列 (x, y)坐標(biāo)點，將其用小線段順序連接起來，就可以得到一條 Bezier曲線。 10 三次 Bezier曲線由四個控制點 P0、 P P P3定義： ??? 3 0 3, )()( k kk uBPuP 其中， Pk為特征多邊形第 k個頂點的坐標(biāo)值 (xk,yk,zk)，而基函數(shù) Bk,n(u)的定義如下 knkknuk uuCB ??? )1(, (k﹦ 0,1,...,n) 函數(shù) Bk,n(u)稱為 Bernstein多項式 ,其中 )!(! ! knk nCkn ?? 為組合公式。 3 貝塞爾 (Bezier)曲線的繪制 貝塞爾曲線的介紹 一般地說，可以用任何數(shù)目的控制點擬合出一條 Bezier曲線，但這需要計算更高次的多項式。僅支持 Windows操作系統(tǒng)。最大的缺點是對于模版的支持比較差。 缺點： 由于 C++是由 C語言發(fā)展起來的，也支持 C語言的編譯。其編譯及創(chuàng)建預(yù)編譯頭文件 ()、最小重建功能及累加連結(jié) (link)著稱。 比如 ，它允許用戶進行遠程調(diào)試，單步執(zhí)行等。所以實際中，更多的是以 Visual C++平臺。自 1993年Microsoft公司推出 Visual C++，隨著其新版本的不斷問世， Visual C++已成為專業(yè)程序員進行軟件開發(fā)的首選工具。 Microsoft的主力軟件產(chǎn)品。 Visual C++，包括 編輯器 、調(diào)試器以及程序向?qū)?AppWizard、類向?qū)?Class Wizard等開發(fā)工具。所以實際中，更多 9 的是以 Visual C++。 自 1993年 Microsoft公司推出 Visual C++，隨著其新版本的不斷問世， Visual C++已成為專業(yè)程序員進行軟件開發(fā)的首選工具。 Visual C++ Visual C++ 的簡介 Visual C++ ，簡稱 VC或者 ，是微軟推出的一款 C++編譯器，將 “ 高級語言 ” 翻譯為 “ 機器語言（低級語言） ” 的程序?？傊嬎銠C圖形學(xué)的應(yīng)用 給人類帶來了很多益處。 還有將可視化用于天氣預(yù)報。自然景物 仿真和計算機動畫。計算機圖形學(xué) 的已經(jīng)應(yīng)用到各個領(lǐng)域。這是一個傳統(tǒng)的藝術(shù)家無法實現(xiàn)也不可想象的。這是電影界最高的殊榮。計算機圖形學(xué)除了廣泛用于藝術(shù)品的制造，如各種圖案、花紋及傳統(tǒng)的油畫、中國國畫等。然而要真正到達真實運動是很難的，比如人的行走或跑步，要實現(xiàn)很自然的人走路的畫面，計算機方程非常復(fù)雜和計算量極大，基于物理模型的計算機動畫還有許多內(nèi)容需要進一步研究 。近年來人們普遍將注意力轉(zhuǎn)向基于物理模型的計算機動畫生成方法。在生成幾幅被稱作“關(guān)鍵幀”．連續(xù)播放時 2個關(guān)健幀就被有機的結(jié)合起來了。事實上動畫也只是生成一幅幅靜態(tài)的圖象，但是每一幅都是對前一幅小部分修改，如何修改便是計算機動畫的研究內(nèi)容，這樣，當(dāng)這些連續(xù)播放時，整個場景就動起來?？茖W(xué)計算等方面應(yīng)用范圍很廣 。而且還必須處理物體表面的明暗效應(yīng)，以便用不同的色彩灰度來增加圖形的真實 感。在自然景物仿真這項技術(shù)中我們需要過行消除隱藏線及面、明暗效應(yīng)、顏色模型、紋理、光線跟蹤，輻射度等工作。 圖形實時繪制與自然景物仿真 重現(xiàn)真實世界的場景叫做真實感繪制。當(dāng)我們做腦部手術(shù)時．可視化技術(shù)技術(shù)將醫(yī)用 CT掃描的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成圖像．使得醫(yī)生能夠看到并準(zhǔn)確的判別病人的體內(nèi)患處 ．然后通過碰撞檢測一類的技術(shù)實現(xiàn)手術(shù)效果的反饋，幫助醫(yī)生成功完成手術(shù)。依靠精密機械做腦部手術(shù)是目前醫(yī)學(xué)上很熱門的課題。尤其在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。綜合等一系列處理，在三維空間中重新構(gòu)造出二維信息所對應(yīng)的三維形體，恢復(fù)形體的點、線 、面及其拓?fù)潢P(guān) 系 ，從而實現(xiàn)形體的重建 。三維形體重建是從 二維信息中提取三維信息。在電子工業(yè)中，計算機圖形學(xué)應(yīng)用到集成電路印刷電路板．電子線路和網(wǎng)絡(luò)分析等方面的優(yōu)勢十分明顯。經(jīng)過反復(fù)的選代設(shè)計，便可利用結(jié)果數(shù)據(jù)輸出零件表、材料單、加工流程和工藝卡。計算機圖形學(xué)被用來 進行土建工程．機械結(jié)構(gòu)和產(chǎn)品的設(shè)計，包括設(shè)計飛機、汽車、船舶的 7 外形和發(fā)電廠、化工廠等的布局以及電子線路、電子器件等。此前的計算機主要是符號處理系統(tǒng) ， 自從有了計算機圖形學(xué)，計算機可以部分地表現(xiàn)人的右腦功能了，計算機圖形學(xué)的建立意義重大。計算機 圖形學(xué)處 于準(zhǔn)備和醞釀時期并稱之為：“被動式”圖形學(xué)。該顯示器用一個類似示波的陰極射線管 (CRT)來顯示一些簡單的圖形。本文將介紹計算機圖形學(xué)的研究內(nèi)容、發(fā)展歷史，應(yīng)用和圖形學(xué)前沿的方向。從處理技術(shù)上來看圖形主要分為 兩類，一類是基于線條信息表示的，如工程圖等高線地圖、曲面的線框圖等，另一類是明暗圖，也就是通常所說的真實感圖形。簡單地說，計算機圖形學(xué)的主要研究內(nèi)容就是研究如何在計算機中表示圖形、以及利用計算機進行圖形的計算、處理和顯示的相關(guān)原理與算法。 雖然 Bezier曲線的降 階問題研究得比較多，但都很少有討論采用中點分割與基本降階相結(jié)合并考慮誤差具體進行一次降二階的情況。但 A0 時，沒有顯式解存在，必須通過諸如修正的 Remes算法等數(shù)值方法來。 另一類是側(cè)重于基轉(zhuǎn)換的代數(shù)方法， Watkins和 Worsey以及 Eck利用升階反過程與約束 Chebyshev多項式有機地結(jié)合起來，對曲線降階問題進行處理； Eck用約束 Legendre多項式在 L2范數(shù)空間中進行降階，逼近效果優(yōu)于以往的方法，但多階降階逼近問題采取每次降一階來分次實現(xiàn)。zicurvsand Surfaces” [12]通過原曲線與待求曲線所圍面積的極小來反求降階后曲線的控制頂點，給出了一種降階算法； Lodha 和 Warren 的“ Degreere Duction of Bezier Simplexes” [13]的算法進一步考慮了一般的Bezier單形 A，利用插值和凸組合技巧，先構(gòu)造 k個 d次的 Bezier單形 Ak， dK，使Ak在第 k個角點處與 A保持有直至 d次的公共導(dǎo)數(shù) ,再求 K個凸組合系數(shù)，在理論上可以解決 Bezier曲線和曲面的降階問題，但算法過于繁瑣，且缺乏直觀的幾何意義，效率也不是很高；在國內(nèi)的研究情形里， 1997~1998 年，胡事民等的在“‘ Approximate Degreereduction of Rectangular Bziersurfaces ’、‘ Approximate DegreeReduction of Bezier Curves’和‘ CAD 系統(tǒng)數(shù)據(jù)通訊中 5 若干幾何問題的研究’”中通過擾動控制頂點給出了 Bezier曲線曲面和廣義 Ball曲線的降階方法 ； 陳國棟 、 王國瑾等的“基于廣義逆矩陣的 Bezier 曲線降階逼近”利用廣義逆矩陣求得最小二乘解，實現(xiàn)了保端點插值的一次降多階逼近； 2001年，陳國棟和 王國瑾的“帶端點插值條件的 Bezier曲線降多階逼近”利用 Bezier曲線本身的幾何性質(zhì)結(jié)合廣義逆矩陣?yán)碚摻o出了一種新的降階逼近方法，結(jié)合Chebyshev多項式逼近理論，獲得滿足端點插值條件的近似最佳一致逼近該方法取得了較好的逼近效果。對 Bezier曲線的降階問題的研究大致可分為如下兩類： 一類是基于控制頂點幾何信息的離散化方法，這類 方法主要著眼于原曲線的控制頂點和導(dǎo)矢等幾何信息進行降階。由于它常常應(yīng)用于不同造型系統(tǒng)， 而不同造型系統(tǒng)之間經(jīng)常需要進行幾何描述信息的數(shù)據(jù)交換或數(shù)據(jù)集成， 因此，降階運算作為 Bezier曲線的基本運算就具有非常重要的意義。 貝塞爾 (Bezier)曲線的繪制 B樣條曲線的繪制 正葉線 繪制 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 Bezier曲線的提出是 1962最先由貝齊爾開始的， 它最初的研究是面向幾何而不是面向代數(shù) 。 B樣條曲 線造型方法的理論基礎(chǔ)是 B樣條 ,下面從 B樣條的定義和性質(zhì) ,以及各種 B樣條曲線的定義和程序?qū)崿F(xiàn)方法進行闡述。 B樣條曲線的應(yīng)用范圍非常廣泛 ,不僅在幾何造型方面 ,還應(yīng)用到其它許多方面 ,如應(yīng)用 B樣條函數(shù)