高中數(shù)學(xué)142正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)一學(xué)案新人教a版必修4-文庫吧資料
2024-11-27 23:26本頁面
【正文】 f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時， f(x＋ T)＝ f(x)都成立，那么就把函數(shù) y＝ f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù) T 叫做這個函數(shù)的周期． (1)證明函數(shù) y＝ sin x和 y＝ cos x都是周期函數(shù)． 答 ∵sin( x＋ 2π) ＝ sin x， cos(x＋ 2π) ＝ cos x， ∴ y＝ sin x和 y＝ cos x都是周期函數(shù)，且 2π 就是它們的一個周期． (2)滿足條件： f(x＋ a)＝－ f(x)(a為常數(shù)且 a≠0) 的函數(shù) y＝ f(x)是周期函數(shù)嗎？如果是，給出一個周期，如果不是，說明理由． 答 ∵ f(x＋ a)＝－ f(x)， ∴ f(x＋ 2a)＝ f[(x＋ a)＋ a]＝－ f(x＋ a)＝－ [－ f(x)]＝ f(x)． ∴ f(x＋ 2a)＝ f(x)． ∴ 函數(shù) y＝ f(x)是周期函數(shù)，且 2a就是它的一個周期． 探究點二 最小正周期 如果非零常數(shù) T是 函數(shù) y＝ f(x)的一個周期，那么 kT(k∈Z 且 k≠0) 都是函數(shù) y＝ f(x)的周期． (1)周期函數(shù)的周期不止一個，若 T是周期，則 kT(k∈Z ，且 k≠0) 一定也是周期．例如，正弦函數(shù) y＝ sin x和余弦函數(shù) y＝ cos x的最小正周期都是 ，它們的所有周期可以表示為： ． (2)“ 并不是所有的周期都存在最小正周期 ” ，即存在某些周期函數(shù)，這些函數(shù)沒有最小正周期．請你寫出符合上述特征的一個周期函數(shù)： . (3)證明 函數(shù)的最小正周期常用反證法．下面是利用反證法證明 2π 是正弦函數(shù) y＝ sin x的最小正周期的過程． 請你補充完整． 證明：由于 2π 是 y＝ sin x 的一個周期，設(shè) T 也是正弦函數(shù) y＝ sin x 的一個周期，且 ，根 據(jù)周期 函數(shù)的定 義，當(dāng) x 取 定義域 內(nèi)的每一 個值時， 都有 . 令 x＝ π2 ，代入上式，得 sin??? ???π 2＋ T ＝
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