高中數(shù)學1-2第3課時等比數(shù)列的前n項和同步導學案北師大版必修5-文庫吧資料
2024-11-27 20:39本頁面
【正文】 題方向 等比數(shù)列前 n項和公式的應用 ［例 1］ 設數(shù)列｛ an｝是等比數(shù)列，其 前 n項和為 Sn,且 S3=3a3,求此數(shù)列的公比 q. ［分析］ 應用等比數(shù)列前 n項和公式時，注意對公比 q的討論 . ［解析］ 當 q=1時， S3=3a1=3a3,符合題目條件； 當 q≠ 1時，qqa ??1 )1( 31=3a1q2, 因為 a1≠ 0,所以 1－ q3=3q2(1q), 2q33q2+1=0,(q1) 2(2q+1)=0, 解得 q=21 . 綜上所述，公比 q的值是 1或－ 21 . ［說明］ （ 1）在等比 數(shù)列中，對于 a1,an,q,n,Sn 五個量，已知其中三個量，可以求得其余兩個量 . （ 2）等比數(shù)列前 n項和問題，必須注意 q是否等于 1，如果不確定，應分 q=1或 q≠ 1兩種情況討論 . （ 3）等比數(shù)列前 n項和公式中，當 q≠ 1時，若已知 a1,q,n利用 Sn=qqa n??1 )1(1來求；若已知 a1,an,q,利用 Sn=qqaa n??11來求 . 變式應用 1 在等比數(shù)列 {an}中 ,已知 S3=27 ,S6=263 ,求 an. ［解析］ ∵ S6=263 ,S3=27 , ∴ S6≠ 2S3，∴ q≠ 1. qqa ??1 )1( 31=27 ① ∴ qqa ??1 )1( 61=263 ② ②247。 第 3 課時 等比數(shù)列的前 n 項和 知能目標解讀 n項和公式的推導方法 錯位相減法，并能用其思想方法求某類特殊數(shù)列的前 n項和 . n項和公式以及性質，并能應用公式解決有關等比數(shù)列前 n項的問題 .在應用時，特別要注意 q=1 和 q≠ 1這兩種情況 . n項和公式解決有關的實際應用問題 . 重點難點點撥 重點：掌握等比數(shù)列的求和公式，會用等比數(shù)列前 n項和公式解決有關問題 . 難點：研究等比數(shù)列的結構特點，推導等比數(shù)列的前 n項和的公式及公式的靈活運用 . 學習方法指導 n項和公式 （ 1）設等比數(shù)列 {an}，其首項為 a1，公比為 q，則其前 n項和公式為 na1 (q=1) Sn= . qqa n??1 )1(1 (q≠ 1) 也就是說，公比為 q的等比數(shù)列的前 n項和公式是 q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在 q=1處 .因此，使用等比數(shù)列的前 n項和公式，必須要弄清公比 q是可能等于 1還是不等于 1，如果 q可能等于 1，則需分 q=1和 q≠ 1進行討論 . （ 2）等比數(shù)列 {an}中，當已知 a1,q(q≠ 1)， n 時，用公式 Sn=qqa n??1 )1(1，當已知 a1,q(q≠1)， an時，用公式 Sn=qqaa n??11. n項和公式的推導 除課本上用錯位相減法推導求和公式外，還可以用下面的方法推導 . (1)合比定理法 由等比數(shù)列的定義知：12aa =23aa =… =1?nnaa =q. 當 q≠ 1時，12132???????nnaaa aaa ? ? =q,即nnn aS aS?? 1 =q. 故 Sn=qqaa n??11=qqa n??1 )1(1. 當 q=1時， Sn=na1. (2)拆項法 Sn=a1+a1q+a1q2+… +a1qn1=a1+q(a1+a1q+… +a1qn2)=a1+qSn1=a1+q(Snan) 當 q≠ 1時， Sn=qqaa n??11=qqa n??1 )1(1. 當 q=1時， Sn=na1. (3)利用關系式 SnSn1=an(n≥ 2) ∵當 n≥ 2時， Sn=a1+a2+a3+… +an=a1+q(a1+a2+… +an1)=a1+qSn1 ∴ Sn=a1+q(Snan) 即 (1q)Sn=a1(1qn) 當 q≠ 1時，有 Sn=qqa n??1 )1(1, 當 q=1時， Sn=na1. 注意： (1)錯位相減法，合比定理法，拆項法及 an與 Sn的關系的應用，在今后解題中要時常用到，要領會這些技巧 . (2)錯位相減法適用于 {an}為等差數(shù)列， {bn}為等比數(shù)列，求 {an bn}的前 n項和 . 數(shù)列前 n項和公式的應用 （ 1）衡量等比數(shù)列的量共有五個： a1,q,n,an,，解決等比數(shù)列問題時，這五個量中只要已知其中的任何三個，就可以求出其他兩個量 . （ 2）公比 q是否為 1是考慮等比數(shù)列問題的重要因素，在求和時，注意分 q=1和 q≠ 1的討論 . n項和公式與函數(shù)的關系 (1)當公比 q≠ 1時，令 A=qa?11，則等比數(shù)列的前 n項和公式可寫成
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1