【正文】 R的特征值、特征向量和貢獻率 λj L1j L2j L3j L4j L5j L6j L7j L8j bj 特征值： λ1≥λ2≥… ≥λn ④ 按累積貢獻率準則提取主成分 計算第 2主成分的累計貢獻率 ????? bb提取第1主成分： 876543218812211111YYYYYYYYYlYlYlZ??????????????? ?第 2主成分： 876543218822221122YYYYYYYYYlYlYlZ??????????????? ? ⑤ 用主成分進行綜合評價 2.8488 企業(yè) 1 2 3 4 5 6 7 Z1 Z2 Z 按 Z1排序 按 Z排序 企業(yè) 8 9 10 11 12 13 14 Z1 Z2 Z 按 Z1排序 按 Z排序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2211 ZbZbZ ???? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 主成分分析的特點及缺陷 ? 能消除評價指標間相關關系的影響 ， 減少了指標選擇的工作量 。 主成分分析的應用實例 用主成分分析法對 14個企業(yè)的經(jīng)濟效益進行綜合評價 。 ④ 標準化指標的協(xié)方差矩陣等于其相關系數(shù)矩陣，而相關系數(shù)矩陣不受指標量綱或數(shù)量級的影響，因此標準化后的主成分是不受原指標量綱或數(shù)量級的影響的。 其中 ： )1(),( 21 njlll Tnjjjj ??? 　　?數(shù)理統(tǒng)計已經(jīng)證明 ， 原始指標的第 j個主成分Zj為： )1(22111njXlXlXlXlZnnjjjntjtjj?????? ??　　?。?? 主成分分析的計算步驟 設有 n個決策指標， m個可行方案的決策問題。 ?優(yōu)點： 減少了評價指標個數(shù)； 充分保留了原始指標的信息量； 新指標彼此不相關 ， 避免了信息的交叉和重疊 。 ?????njjnjj XZ11)var()var( 主成分分析的原理 ?滿足上述條件的新變量（綜合指標） Z Z … 、 Zn分別稱為原始指標的第 第 …、第 n個主成分（主元）。 主成分分析的原理 設有 n個決策指標 fj（ 1≤j≤n） m個可行方案 ai（ 1≤i≤m） m個方案 n個指標構成決策矩陣： ????????????????mnmmnnnxxxxxxxxxXXXX????????21222211121121),(其中 )1(),( 21 njxxxX Tnjjjj ??? 　　? 主成分分析的原理 如何用新的指標來代替原來的 n個指標 Xj呢？ 新變量是原先變量的線性組合： )1(22111njXlXlXlXlZnnjjjntjtjj?????? ??　　?。??滿足 )1(1222 21 njlll njjj ?????? 　　? 主成分分析的原理 此外，新變量應滿足： ① 相互不相關 ),1,(0),cov( njijiZZ ji ???? 　?、? Z1的方差最大 ， Z2, … , Zn的方差依次減少 。 什么是標準呢 ？ 那就是這些被選的主成分所代表的主軸的長度之和占了主軸長度總和的大部分 。 主成分分析的原理 ?正如二維橢圓有兩個主軸 ， 三維橢球有三個主軸一樣 ， 有幾個變量 ， 就有幾個主成分 。 ?注意 ， 和二維情況類似 ， 高維橢球的主軸也是互相垂直的 。 主成分分析的原理 ?對于多維變量的情況和二維類似 ， 也有高維的橢球 ， 只不過無法直觀地看見罷了 。 ?如果長軸變量代表了數(shù)據(jù)包含的大部分信息， 就用該變量代替原先的兩個變量 （ 舍去次要的一維 ） ， 降維就完成了 。 ?但是 ， 坐標軸通常并不和橢圓的長短軸平行。 在短軸方向上 ， 數(shù)據(jù)變化很少；在極端的情況 ， 短軸如果退化成一點 ， 那只有在長軸的方向才能夠解釋這些點的變化了；這樣 ， 由二維到一維的降維就自然完成了 。 主成分分析的原理 ?假定只有兩個變量 （ 指標 ） ， 分別以它們?yōu)樽鴺溯S建坐標系 ， 則每個觀測值都對應于該坐標平面上的一個點 。 問題：如何消除指標間的相關性？ ?主成分分析法（主元分析法） 是將多個指標轉化成 少數(shù)幾個相互無關 的綜合指標的一種多元統(tǒng)計分析方法。 167。 功效系數(shù)越大 ， 方案越優(yōu)；功效系數(shù)越小 ，方案越劣 。 TnW ),( 21 ?? 【例 】 用功效系數(shù)法對例 。 功效系數(shù)法 ? 功效系數(shù)法的基本步驟 ① 確定決策指標體系 設 決策矩陣為 X=(xij)m n， 用適當?shù)姆椒ù_定指標的權重向量 ② 計算各指標值的功效系數(shù) dij ③ 計算各方案的總功效系數(shù) ????njijji dwd1④ 以總功效系數(shù)為判據(jù) ， 對各方案進行排序 。 多指標決策方法 功效系數(shù)法 ? 將各決策指標的相異度量，轉化為相應的無量綱的 功效系數(shù) ，再進行綜合評價的多指標決策方法。 因此最優(yōu)方案為方案 1。 yij 用求解條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，可以解得： ? ?? ?）　　　?。ā　　　　　　　　　?1112*1112*??????????????????????????? ???mijijnjmijijjyyyyw ?改進的理想解法的基本步驟 ① 將 決策矩陣進行標準化得 Y=(yij)m n ② 確定標準化矩陣的 理想解 ③ 按式 （ ） 計算各指標的權重系數(shù) wj (j=1, 2, … , n) ④ 計算各方案到理想解的距離平方 di， 并按 di對方案排序： di越小 ， 方案越優(yōu) 。 多指標決策方法 改進的理想解法 ? 利用決策矩陣的信息，客觀地賦以各指標的權重系數(shù)，并以各方案到理想點距離的加權平方和作為綜合評價的判據(jù)，更簡便實用 。 yij)m n； 　??????????????????111 156 111 201 )(nmijjywV正 正 正 負 ！ 正 正 ,),( TW ? 【例 】 解： ③ 確定 理想解 和 負理想解 ④ 計算各方案到理想解和負理想解的 距離 ； ⑤ 計算各方案的相對貼近度 Ci* ： ,4321*4*3*2*1???????????? SSSSSSSSCi*最大的方案最優(yōu) ， 故滿意方案為方案 1。 理想解法的基本步驟 ① 用 向量歸一化法對決策矩陣進行標準化處理，得標準化矩陣 Y=(yij)m n； ② 用適當?shù)姆椒ù_定各決策指標的權重 wj，計算加權標準化矩陣： ? ? ? ? nmijjnmij ywvV ?? ???③ 確定 理想解 和 負理想解 ? ?**2*111,)}|min(),|max{(nijmiijmivvvJjvJjvV????? ??????　　　　　理想解 ＊? ??????????????nijmiijmivvvJjvJjvV,)}|max(),|min{(2111?　　　　　負理想解 －正向指標集 負向指標集 理想解法的基本步驟 ④ 計算各方案到理想解和負理想解的距離 ⑤ 計算各方案的相對貼近度 Ci*，相對貼近度大者為優(yōu)，小者為劣。記： ? ? ? ?21*211*1 max,max imiimi xxxx ???? ?? ? ? ? ?212111 min,min imiimi xxxx ?????? ??則： 理想解 為 A*(x*1, x*2)； 負理想解 為 A(x1, x2)。 理想解與負理想解 設決策問題有 m個可行方案 a1, a2 , …, am，兩個評價指標 f f2，不妨設二指標均為 正向指標 。 ?負理想解 是設想各指標屬性都達到最不滿意值的解。 多指標決策方法 理想解法（ TOPSIS） ?通過構造多指標問題的 理想解 和 負理想解 ，并以 靠近理想解 和 遠離負理想解 兩個基準，作為評價各可行方案的判據(jù) 。 簡單線性加權法 ? 簡單線性加權法的基本步驟 ① 用適當?shù)姆椒ù_定各決策指標的權重，設權重向量為： ,),( 21 TnW ?????njjw11② 決策矩陣 X=(xij)m n標準化得 Y=(yij)m n，要求標準化之后的指標均為正向指標； ③ 求出各方案的線 ④ 性加權指標值： )1(,1miywunjijji ??? ??④ 選擇 ui最大者為最 ⑤ 滿意方案 ， 即： imi uau ??? 1* max)( 【例 】 用簡單線性加權法對例 決策 解： ① 用適當?shù)姆椒ù_定各決策指標的權重為： ,),( TW ?② 用線性比例法將決策矩陣 X=(xij)m n標準化得 Y=(yij)m n； ③ 求出各方案的線性加權指標值 ui： ????????????????????