【正文】 計量的形式特別簡單 。( 4 ) 與 W h S h 成比例地分配。 ( 2 ) 與層內(nèi)方差 S h2成比例地分配 。雖然有時差估計量的方差偏大 ,但由于它為無偏估計量 ,所以總的均方誤差不一定大 2023/3/3 61 第五節(jié) 各層樣本量的 分配 ? 確定樣本量：總的樣本量 ， 各層樣本量 ? 估計量的方差不僅與各層的方差有關(guān) ，還和各層所分配的樣本量有關(guān) 。 選擇估計方 法， 大致需遵循的原則 ? 在選擇估計方法時 ,大致需遵循下面的原則 : (1)由于分別估計 (無論是分別比估計還是分別回歸估計 )要求各層的樣本量都比較大 ,所以當(dāng)某些層的樣本量不夠大時 ,建議采用聯(lián)合估計 (2)當(dāng)回歸系數(shù)需要由樣本進(jìn)行估計時 ， 回歸估計量是有偏的 。 ? 在 回歸估計 中 ， 少數(shù)情況下 ， 回歸系數(shù)可以是事先設(shè)定的常數(shù) ,其估計量無偏 ； 多數(shù)情況下 ， 回歸系數(shù)需利用樣本回歸系數(shù)進(jìn)行估計 ， 其估計有偏 ， 但在大樣本的情況下近似無偏。 比率估計與回歸估計小結(jié) ? 在分層隨機(jī)抽樣中 ， 當(dāng) 輔助變量可加以利用時 ， 為了 提高估計量的精度 ， 可以采用 分別比估計、聯(lián)合比估計、分別回歸估計以及聯(lián)合回歸估計 等估計方法。 ? 注意 ： 此時的比估計和回歸估計 (回歸系數(shù)采用樣本回歸系數(shù)進(jìn)行估計 )均為 有偏估 計 ， 并且考慮到各層的樣本量都不大 ， 回歸估計的偏倚有可能更大 ， 所以此時采用比估計 ， 特別是聯(lián)合比估計會更保險。 表 3 — 6 根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)計算出來的相關(guān)統(tǒng)計量的值 指標(biāo) 一般職員層( h= 1 ) 高管層( h= 2 ) 總計 N h 390 84 N= 474 n h 15 10 n= 25 W h =N h /N 0 . 822 79 0 . 177 21 1 ( 1 f h ) /n h 0 . 064 11 0 . 088 09 — X h 5 523 965 2 541 660 X= 8 065 625 X?h=X h /N h 14 163 . 01 30 257 . 86 X?= 17 指標(biāo) 一般職員層( h= 1 ) 高管層 ( h= 2 ) 總計 y?h= ∑i = 1nhy hi /n h 32 4 7 5 70 0 3 8 — x?h= ∑i = 1nhx hi /n h 14 2 9 9 29 3 3 9 — syh2 48 9 9 2 4 1 0 . 71 322 7 8 4 895 . 83 — sxh2 11 4 7 6 1 4 9 . 52 36 0 0 1 0 9 8 . 89 — s xyh =r h s yh s xh 22 6 9 1 4 1 0 . 71 103 9 0 4 069 . 44 — R＾h= y?h/ x?h 2 . 2 7 1 09 2 . 3 8 7 18 — b h ( 式 ( 3 . 88 )) 1 . 9 7 7 27 2 . 8 8 6 14 — rh2 0 . 9 1 5 79 0 . 9 2 9 04 — 五種估計方法 結(jié)果比較 表 3 — 7 不同估計方法的結(jié)果對比 估計方法 估計值 Y＾ Y＾標(biāo)準(zhǔn)差的估計 分別比估計 18 612 822 263 998 . 28 聯(lián)合比估計 18 605 039 272 252 . 10 分別回歸估計 18 667 111 243 598 . 76 聯(lián)合回歸估計 18 600 668 264 323 . 16 差估計 18 572 927 490 858 . 05 從表 3 — 7 可以看出 , 對于本例來說 , 有 :( 1 ) 聯(lián)合比估計與聯(lián)合回歸估計的效果基本一致 ,原因在于 R＾c與 b c 的數(shù)值比較接近 。 y hi 代表第 h 層第 i 個職員當(dāng)前的工資收入。請對上述數(shù)據(jù)分別按照分別比估計、聯(lián)合比估計、分別回歸估計、聯(lián)合回歸估計以及差估計方法對該公司當(dāng)前職員工資總額 Y做出估計 ,同時計算出各個估計量的精度。高管層人員總數(shù) N2=84名 ,該類職員進(jìn)入公司時工資總額為 X2=2 541 660元。一般職員層抽取 n1=15名職員 ,高管層抽取 n2=10名職員。 經(jīng)化簡得 ： 例 ? 已知某公司一般職員 (包括辦事員和保管人員 )及高級管理(經(jīng)理 )人員剛進(jìn)入公司時的工資總額 ,欲通過抽樣調(diào)查估計當(dāng)前該公司職員的工資總額 Y。 如果各層的樣本量不大 , 而且各層的回歸系數(shù)大致相同 , 采用聯(lián)合回歸估計較為適宜 。 V m i n ( y?lrs) = ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh Syh2Sx y h2Sxh2 V m i n ( y?lrc) = ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( Syh2 Bc2Sxh2) V mi n ( ????? ?? ??) V mi n ( ????? ?? ??) = ∑?? = ????a h ( ???? ????)??≥ 0 當(dāng) β h 和 β 均取最優(yōu)值時 , 分別回歸估計優(yōu)于聯(lián)合回歸估計 , 尤其是當(dāng)各層的回歸系數(shù)相差較大時 , 分別回歸估計的優(yōu)越性更加明顯。即此時的聯(lián)合回歸估計是漸進(jìn)無偏的 , 而且當(dāng) b c 的抽樣誤差可以忽略時 , 有 V ( y?l r c) ≈ ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( Syh2+ Bc2Sxh2 2 B c S xyh ) 它可以用下面的 v ( y?l r c) 進(jìn)行估計 : v ( y?l r c) ≈ ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( nh 1 ) 當(dāng) β 為常數(shù)時 , V ( ????? ?? ??) = ∑?? = ??????????( ?? ????)????( ???? ????+ β2???? ???? 2 β S x yh ) β不能事先設(shè)定時 當(dāng)回歸系數(shù) β 未知時 , 取 B c 的樣本估計 b c : b c =∑?? = ???? ??????( ?? ????) ???? ?? ??/ ???? ∑?? = ???? ??????( ?? ????) ???? ????/ ???? =∑?? = ??????????( ?? ????)????( ???? ?? )∑?? = ??????( ???? ?? ?????)( ???? ?? ?????)∑?? = ??????????( ?? ????)????( ???? ?? )∑?? = ??????( ???? ?? ?????)?? 當(dāng)各層樣本量采取比例分配 ( W h =n h /n , f h =f ), 同時 ( n h 1 ) 近似成 n h 時 , 可以簡化為 : b39。 由 E ( y?st) = Y?, E ( x?st) = X?, 可得 E ( y?lrc) =E [ y?st+ β ( X? x?st)] =E ( y?st) + β X? β E ( x?st) = Y?+ β X? β X? = Y? 從而 y?lrc的無偏性得證。同理可得 , E ( ??＾?? ?? ??) =Y 。 1. 各層的回歸系數(shù) βh事先給定 當(dāng)各層的回歸系數(shù) β h 為事先給定的常數(shù)時 , 分別回歸估計 y?lrs和Y＾lrs都是無偏的 , 這點很容易證明。 具體的 , 對 Y?的分別回歸估計為 : y?l r s = ∑h = 1LW h y?l r h = ∑h = 1LW h y?h + β h ( X?h x?h ) 對 Y 的分別回歸估計為 : Y＾l r s=N y?l r s =N ∑h = 1LW h y?h+ βh( X?h x?h) = ∑h = 1LN h y?h+ βh( X?h x?h) 如果認(rèn)為各層的回歸系數(shù) β h 是各不相同的 , 則分別回歸估計量通常比較合適。 5）當(dāng) ，即比估計量的方差小于簡單估計量的方差時，需視具體情況而定。 3）當(dāng) 且 ，這意味著分別比估計的精度要高于聯(lián)合比估計的精度。 的方差為： hp hPh L?1 2, , ,? pstPpst? ? ? ?V p W V pst h hhL??? 212023/3/3 23 性 質(zhì) 2： 對于分層隨機(jī)抽樣 ， 是 的無偏估計 ， pst P? ?V p N nN P Qnh h hhh hh? ?? 1N Nh h? ?1因而 的方差為： pst? ? ? ? ? ?V p W V p N N N nN P Qnst h hhL h h hhh hhhL? ? ??? ?? ?2122111? ?? ??? 1 2 21 NN N nNP Qnh h hhh hhhL? ?? ???W f P Qnh h h hhhL 2112023/3/3 24 性 質(zhì) 3： 對于分層隨機(jī)抽樣 ， 的一個無偏估計為： ? ?V pst? ? ? ? ? ???????? LhhhhhLhhhst snfNNpvWpv122212 11? ?? ????W fp qnh hh hhhL2111第三節(jié) 比率估計量及其性質(zhì) ? 先“比”后“加權(quán)”，此時所得的估計量稱為分別比估計（ separate ratio estimator） ? 先 “加權(quán)”后“比”，這樣所得的估計量稱為聯(lián)合比估計 （ bined ratio estimator） 2023/3/3 25 分別比估計 ? 定義 總體均值 和總體總量 的分別比估計為： 2023/3/3 26 Y Y11LLhR S h R h h hhh hyy W y W Xx??????1 1 1? ?L L LhhR S R S h h h R hh h hyyY N y N X X Yxx? ? ?? ? ? ?? ? ?? 定理 對于分層隨機(jī)抽樣的分別比估計，若各層的樣本量 都比較大，則有 2023/3/3 27 hn()RSE y Y?( ) ( )RS RSM SE y V y?22 2 21( 1 ) ( 2 )L hhy h h x h h h y h x hh hWf S R