【正文】 %，而女同學(xué)平均成績(jī)比男同學(xué)高 20%，則女同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)? 【例 12】 2020120 車(chē)間共有 40 人 , 某技術(shù)操作考核的平均成績(jī)?yōu)?80 分 ,其中男工 平均 成績(jī)?yōu)?83 分 ,女工平均成績(jī)?yōu)?78 分 ,該車(chē)間女工有 ( )人 A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 E. 28 【例 13】 2020 用 30%和 20%兩種鹽溶液，配成 24%溶液 500 克，求各需多少克？ 【例 14】 2020104 甲乙兩組 射手打靶，乙組平均成績(jī)?yōu)? , 比甲組平均成績(jī)高出 30%,而甲組人數(shù)比乙組多 20%, 則甲、乙兩組射手的總平均成績(jī)是 ( ) 比例問(wèn)題（ 幾 個(gè)變量之比）； 【解題提示】根據(jù)題目所給數(shù)值先求出最簡(jiǎn)單整數(shù)比，再根據(jù)份額求出對(duì)應(yīng)數(shù)值。則該企業(yè)在 2020 年全年的人均年值增加的百分率約為（ ） A、 10% B、 15% C、 20% D、 22% E、 25% 平均成績(jī)問(wèn)題；（十字交叉） 【解題提示】當(dāng)一個(gè)整體按照某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分為兩類(lèi)時(shí)，根據(jù)杠桿原理得到一種巧妙的方法，即是交叉法。 【例 5】 條件充分性判斷 20201013A公司 2020 年 6 月份的產(chǎn)值是 1 月份產(chǎn)值的 a 倍 (1) 在 2020 年上半年， A公司月產(chǎn)值的平均增長(zhǎng)率為 5a (2) 在 2020 年上半年， A公司月產(chǎn)值的平均增長(zhǎng)率為 6 1a? 【例 6】 某電子產(chǎn)品一月份按原定價(jià)的 80%出售，能獲利 20%；二月份由于進(jìn)價(jià)降低，按同樣原定價(jià)的75%出售，能獲利 25%。 【例 1】某商品單價(jià)上調(diào) 20%后，再降為原價(jià)的 90%，則降價(jià)率為（ ） A、 30% B、 28% C、 25% D、 22% E、 20% 【例 2】某商品由于進(jìn)貨價(jià)格降低了 15%，使得利潤(rùn)率提高了 21%。 知識(shí)點(diǎn)： 1. 比例性質(zhì)（略） 2. 100%??變 化 量變 化 率變 前 量 打折問(wèn)題 基本公式：售價(jià) =成本 +利潤(rùn) 甲比乙多 p% ≠ 乙比甲少 p% 甲 = 乙 (1+p%) 甲 =1 %p乙 【解題提示】要選對(duì)基準(zhǔn)量，注意折扣的變化與利潤(rùn)的關(guān)系。 除了這幾種常用的解法外，還有逆推法、綜合法 、歸納法等等，可依據(jù)題目的類(lèi)型和特點(diǎn)選擇使用。 關(guān)于初等數(shù)學(xué) 的應(yīng)用題 有許多 內(nèi)容 ，比如： 百分比問(wèn)題， 溶液?jiǎn)栴}，工程問(wèn)題等等，要總結(jié) 有很 22 多，在這里只是選擇了幾個(gè)有代表性的 應(yīng)用題內(nèi)容進(jìn)行講解。 （ 1）甲、乙、丙三個(gè)工廠按 1 1 1::2 3 9 的比例分配 貸款 （ 2）乙廠所得款額恰是甲廠所得款額與丙廠所得款額的 2 倍的比例中項(xiàng) 21 成立2222dc badc ba ????? (1 ) , ,ac bdbd? 且 均 為 正 數(shù) ( 2) , ,ac bdbd? 且 均 為 負(fù) 數(shù) 兩數(shù) ,ab的幾何平均值的 3 倍大于它的算術(shù)平均值 （ 1） ,ab滿足 2234a b ab?? （ 2） ,ab均為正數(shù) 某班學(xué)生的平均身高是 米 （ 1）該班有 30 名男生，他們的平均身高為 米 （ 2）該班有 20 名女生，她們的平均身高為 米 ,ab的算術(shù)平均值為 8 （ 1） ,ab為不等的正整數(shù)，且 11,ab的算術(shù)平均值為 16 （ 2） ,ab為正整數(shù)，且 11,ab的算術(shù)平均值為 16 已知 11l og , ( l og l og ) , l og ( ) ,2 2 2m m m mxya b x y c x y?? ? ? ? ?則 c b a?? 。 【例 38】 三個(gè)實(shí)數(shù) 1, x2和 x的幾何平均值等于 4,5和 3的算術(shù)平均值，則 x的值為 （ ） （ A）－ 2 （ B） 4 （ C） 2 （ D）－ 2或 4 （ E） 2或 4 【例 39】 ,xy的算術(shù)平均值是 2，幾何平均值也是 2，則 11,xy的幾何平均值是（ ） 22( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )32A B C D E 以 上 結(jié) 論 均 不 正 確 【例 40】 如果 23,x x x1 三個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為 5，則 1 2 32, 3, 6x x x? ? ?與 8 的算術(shù)平均值為（ ） (A) 134 (B) 162 (C)7 (D) 193 (E)以上結(jié)論均不正確 【例 41】 直角邊之和為 12 的直角三角形的面積的最大值為（ ） (A)16 (B)18 (C)20 (D)22 (E)不能確定 【例 42】 條件充分性判斷 用 ab 表示十位是 a ，個(gè)位是 b 的一個(gè)兩位數(shù)，有 : ( 1) : ( 1)a b b a a b? ? ?成立 （ 1） ab 是 3 的倍數(shù) （ 2） ab 是 9 的倍數(shù) 某公司得到一筆貸款共 68 萬(wàn)元，用于下屬三個(gè)工廠的設(shè)備改造。 【例 37】 將一條長(zhǎng)為 a 的線段截成長(zhǎng)為 x 和 ax? 的兩條線段，使 x 恰是 a 與 ax? 的幾何平均值。 【例 34】 設(shè) 6:5:41:1:1 ?zyx，則使 74??? zyx 成立的 y 值是 （ ） (A)24 (B)36 (C)74/3 (D)37/2 （ E）以上結(jié)論均不正確 【例 35】 已知 12y y y??且 1y 與212x成反比例， 2y 與 32x? 成正比例。 特別地，當(dāng) n＝ 2時(shí)，有 12122xx xx? ?（ 12,xx ??R ）， 此時(shí) 12,xx的幾何平均值 12xx 稱(chēng)為 12,xx的比例中項(xiàng)。 （ 3）基本不等式 ① 當(dāng) nxxx ，??, 21 為 n個(gè)正數(shù)時(shí)，它們的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，即 12 12 平均值 （ 1）算術(shù)平均值 設(shè) n 個(gè)數(shù) 12, , , nx x xL ，稱(chēng) 12 nx x xxn? ? ?? L為這 n 個(gè)數(shù)的 算術(shù)平均值 ，簡(jiǎn)記為 1nii xxn??? 。 若 01ab??，則bamb ma ???。 比例的基本性質(zhì) （ 1） ::a b c d a d b c? ? ? （ 2） : : : : : : : :a b c d b a d c b d a c d b c a? ? ? ? ? ? ? （ 3） （反比性質(zhì)） a c b db d a c? ? ? （ 4）（更比性質(zhì)） a c a bb d c d? ? ? （ 5）（合比性質(zhì)） a c a b c db d b d??? ? ? （ 6）（分比性質(zhì)） a c a b c db d b d??? ? ? （ 7）（合分比性質(zhì)） ,a c a mcb d b md???? 特別地，當(dāng) 1m? 時(shí)，有 a c a cb d b d???? ；或者可寫(xiě)成a c a b c db d a b c d??? ? ??? （ 8）（等比性質(zhì)） a c e m a c e m ab d f n b d f n b? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?LL L，其中 0b d f n? ? ? ? ?L 增減性變化關(guān)系（ , , 0a b m? ） 19 若 1?ba，則bamb ma ???。 反比 若 /y k x? (k 不 為零 )，則稱(chēng) y 與 x 成 反 比， k 稱(chēng)為比例系數(shù)。 【注】并不是 x 和 y 同時(shí)增大或減小才稱(chēng)為正比。 當(dāng) ::a b b c? 時(shí)，稱(chēng) b 為 a 和 c 的比例中項(xiàng)，顯然當(dāng) ,abc均為正數(shù)時(shí)， b 是 a 和 c 的幾何平均值。 比例 相等的比稱(chēng)為比例，記作 ::a b c d? 或 acbd?。 幾個(gè)重要關(guān)系 18 原值 %pa????? 增 長(zhǎng) 了 現(xiàn)值 (1 %)ap? ； 原值 %pa????? 下 降 了 現(xiàn)值 (1 %)ap? ； 甲比乙大 % % (1 % )p p p? ? ? ? ? ?甲 乙 甲 乙乙；甲是乙的 %%pp? ? ?甲 乙 ； 【注】甲比乙大 %p 不等于乙比甲小 %p ，不要混淆。相除所得商叫做比值。 （ 1） 12 ??ax （ 2） 12 ??yx | | | | 2ab? ?? 成立 （ 1） 0a? （ 2） 0b? 函數(shù) )(xf 的最小值為 21 （ 1）121125)( ???? xxxf （ 2）41161)(2???xxxf 方程 )(xf =1 有且僅有一個(gè)實(shí)根 （ 1） |1|)( ?? xxf （ 2） 1|1|)( ??? xxf 2a b a b?? （ 1） 0, 0ab?? （ 2） 0, 0ab?? 方程 12xx? ? ? 無(wú)根 （ 1） ( , 1)x? ??? （ 2） ( 1,0)x?? 四 、 比、比例、均值 比 兩個(gè)數(shù)相除，又稱(chēng)為這兩個(gè)數(shù)的比。 （ 3） a b a b a b? ? ? ? ?： 當(dāng)且僅當(dāng) 0ab? 時(shí)，左邊等號(hào)成立； 當(dāng)且僅當(dāng) 0ab? 時(shí)，右邊等號(hào)成立， 【典型例題】 【例 24】 已知 ,xy是實(shí)數(shù)， 23 4 6 9 0x y y? ? ? ? ?，若 3axy x y??，則 a 等于（ ） (A) 14 (B) 14? (C) 74 (D) 74? (E) 0 16 【例 25】 已知 0)2(|1| 2 ????? yxyx ， 求 log xy 。 15 絕對(duì)值的性質(zhì) ① ,00, 0,0aaaaaa?????????? ② 20 0 0a a a? ? ?， ， ③ aa?? ④ 2 22a a a a??， ⑤x a x ax a a x ax a x a x a? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?或 ⑥ 1( 0)a a aaa? ? ? ? ⑦ ( 0)a aa b ab bbb? ? ?， ⑧ | | | |aaa? ? ? 絕對(duì)值 不等式 （三角不等式） （ 1） a b a b a b? ? ? ? ?： 當(dāng)且僅當(dāng) 0ab? 且 ab? 時(shí)，左邊等號(hào)成立； 當(dāng)且僅當(dāng) 0ab? 時(shí)，右邊等號(hào)成立。 （ 4）元素與集合的關(guān)系 屬于：如果 a 是集合 A 的元素，就說(shuō) a 屬于 A ，記作 aA? ； 不屬于：如果 a 不是集合 A 的元素，就說(shuō) a 不屬于 A ，記作 aA? ； （ 5）集合中元素的特性 確定性：按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里或者不在，不能模棱兩可； 互異性：集合中的元素沒(méi)有重復(fù)； 無(wú)序性：集合中的元素沒(méi)有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯? 【注】①集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母表示，如 , , , ,A B C P Q 等，元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如, , , ,a b c p q 等； ② ? 的開(kāi)口方向，不能把 aA? 顛倒過(guò)來(lái)寫(xiě)。 無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合。 ②非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除 0 的集，記作 *? ， ,QR? 等其它數(shù)集內(nèi)排除 0 的集，也是這樣的表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除 0的集，表示成 *? 。 實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合，記作 R 。 整數(shù)集：全體整數(shù)的集合，記作 ? 。 （ 2）常用數(shù)集及記法 非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合，記作 ? 。 【性質(zhì)】正數(shù)的任何次方都是正數(shù)； 0 的正數(shù)次方都是 0； 負(fù)數(shù)的奇次方是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次方是正數(shù)； 正數(shù)的奇次方根是正數(shù)； 正數(shù)有兩個(gè)偶次方根，它們互為相反數(shù)； 0 的 n 次方根為 0； 負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根； 【運(yùn)算規(guī)律】 ① 0 1 ( 0)aa?? ② 1nna a? ? ③ m n mnaa? ④ m n m na a a ?? 12 ⑤ m mnna aa ?? ⑥ ()m n mnaa? ⑦ ()n n nab ab? ⑧ () nnnab ab? 集合 （ 1）集合的概念 集合：將能夠確切指定的一些對(duì)象看成一個(gè)整體，這個(gè)整體就叫做集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集。 （ 1） 四則運(yùn)算 加法交換律 a b b a? ?