【正文】 ((n1)/n) v ?因此，讓更多的人加入競(jìng)標(biāo)，是賣(mài)者利益所在。,(一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài) 一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài) ?根據(jù)對(duì)稱(chēng)性， bj=b*(vj)，所以 Prob{bj b}=Prob{b*(vj) b} =Prob{vjb*1(b)?B(b)}=B(b) ?因此，投標(biāo)人 i面臨的選擇是 Max ui=(vb)Prob(bjb)=(vb)B(b) ?最優(yōu)化一階條件為 B(b)+(vb)B’(b)=0 一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài) B(b)+(vb)B’(b)=0 ?由邊界條件 B (0) =0，可以求得最優(yōu)報(bào)價(jià)策略為 b*(v) = v/2 ?該博弈貝葉斯均衡是：每個(gè)投標(biāo)人的出價(jià)是其實(shí)際估價(jià)的一半。設(shè)最優(yōu)報(bào)價(jià)策略為 b*(v)。 一級(jí)密封價(jià)格拍賣(mài) ?投標(biāo)人 i的支付情況為： ?假定投標(biāo)人 i的出價(jià) bi(vi)是其價(jià)值 vi的嚴(yán)格遞增可微函數(shù)。令 bi ≥ 0是投標(biāo)人 i的報(bào)價(jià)， vi為拍賣(mài)物品對(duì)投標(biāo)人 i的價(jià)值。 ?The firstprice sealed auction。 The Vickrey Auction ?該方式激勵(lì)競(jìng)買(mǎi)者說(shuō)出真話（激勵(lì)機(jī)制），否則會(huì)可能買(mǎi)不到該商品，但卻以第二高的報(bào)價(jià)成交，又留給競(jìng)買(mǎi)者以正的消費(fèi)者剩余。 ?在密封拍賣(mài)中采用，中標(biāo)價(jià)格為第二最高價(jià)格。每個(gè)潛在報(bào)價(jià)者提交一份密封的報(bào)價(jià)，在某個(gè)時(shí)刻，拍賣(mài)師打開(kāi)所有報(bào)價(jià)文件，然后報(bào)價(jià)最高者獲得拍賣(mài)物品，拍賣(mài)價(jià)格為報(bào)價(jià)最高價(jià)格。 ?目前該種拍賣(mài)方式在實(shí)踐中已較少采用。 The English Auction ?該種拍賣(mài)方式起源于荷蘭的花市。 ?競(jìng)買(mǎi)者一直向上報(bào)價(jià)，直至沒(méi)有更高報(bào)價(jià)為止。 ?是最為廣泛應(yīng)用的拍賣(mài)形式。 拍賣(mài)理論簡(jiǎn)介 ?當(dāng)一件物品對(duì)買(mǎi)者的價(jià)值比賣(mài)者更為清楚時(shí)，或?yàn)榱双@得較高收益，常常采用拍賣(mài)方式。 ?拍賣(mài)是博弈論重要的分支。 ?因?yàn)?zj=Prob (a cj mj)= P(mj)，均衡分割點(diǎn) mi必須滿足 mi= 1 P(mj)， 應(yīng)用舉例 2：不完全信息下公共產(chǎn)品的提供 ?因?yàn)?zj=Prob (a cj mj)= P(mj)，均衡分割點(diǎn) mi必須滿足 mi= 1 P(mj) ?比如，如果 P(.)是定義在 [0， 2]上的均勻分布，那么 mi=mj=2/3 ?于是當(dāng)二人成本落在區(qū)間 [0， 2/3]時(shí)，選擇“提供”公共物品 ；若否，選擇“不提供” 。 ?因此可推出，存在一個(gè)分割點(diǎn) mi,當(dāng) a ci b時(shí)，參與人 i才會(huì)提供。最優(yōu)化行為意味著，只有當(dāng)參與人 i預(yù)期參與人 j不提供時(shí)，參與人 i才會(huì)提供。參與人 i的支付函數(shù)為 ui (ai, aj,ci) = max (a1,a2) – ai ci 應(yīng)用舉例 2：不完全信息下公共產(chǎn)品的提供 ?貝葉斯均衡是一組戰(zhàn)略組合 (a1*(.), a2*(.))使得對(duì)于每一個(gè) i和每一個(gè)可能的 ci,策略ai*(.)最大化參與人 i的期望效用。 ?假定 ci (i=1,2)具有相同的、獨(dú)立的定義在 [a,b]上的分布函數(shù) P(.)，其中 a 1 b，該分布函數(shù)是共同知識(shí)?？梢杂帽?32表示。 ?如果至少有一個(gè)人提供，每人至少得到1單位的好處，如果沒(méi)有人提供，每人得到 0單位的支付。 應(yīng)用舉例 1：不完全信息古諾模型 E Z1=(1/2) q1(1 q1 q2L) + (1/2)q1(1q1 q2H) ? 解最優(yōu)化一階條件，得企業(yè) 1的反應(yīng)函數(shù)為： q1*=(1/2)(1(1/2) q2L(1/2) q2H)=(1/2)(1E q2) ? 均衡意味著兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)同時(shí)成立，解兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)，可得到貝葉斯均衡為 q1*=1/3； q2L*=11/24； q2H=5/24 ? 作為練習(xí)，請(qǐng)與完全信息下的古諾模型產(chǎn)量進(jìn)行對(duì)比。 應(yīng)用舉例 1：不完全信息古諾模型 ?令 q2L為 t=5/4時(shí)企業(yè) 2的最優(yōu)產(chǎn)量， q2H為t=3/4時(shí)企業(yè) 2的最優(yōu)產(chǎn)量，那么， q2L=（ 1/2） (5/4q1)。記 a c2 = Z2=q2 (t q1* q2)，可以求出 q2*(q1。 C2L C2H。 ?假定市場(chǎng)出清價(jià)格為 P=aq1q2,每個(gè)企業(yè)都有不變的單位成本。 ?均衡的存在形式納什均衡存在性定理的推廣，此處從略。(),(()|(m a xa r g)(*?類(lèi)似地，可以定義混合策略貝葉斯納什均衡。 貝葉斯納什均衡 (Bayesian Nash Equilibrium) ?換言之，戰(zhàn)略組合 a*=(a1*(θ1),…, an*(θn))是一個(gè)貝葉斯納什均衡，如果對(duì)于所有的 i，以及 ai屬于 Ai,有下式成立。參與人 i的期望效用函數(shù)定義為 ???????iiiiiiiiiiii aaupv??????? ),)。 i=1,…, n}表示這個(gè)博弈。pi?？梢杂?G={Ai。 θi)， i=1,…, n。參與人 i的期望效用函數(shù)定義為 ???????iiiiiiiiiiii aaupv??????? ),)。 i=1,…, n}表示這個(gè)博弈。pi。可以用 G={Ai。 θi)， i=1,…, n。 θ=（ θi, θi ）表示所有參與人的類(lèi)型組合。 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?一般地，用 θi表示參與人 i的一個(gè)特定類(lèi)型， Θi表示參與人 i的所有類(lèi)型的集合，即 θi∈ Θi ?假定，只有參與人 i知道自己的類(lèi)型 θi 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?根據(jù)海薩尼公理 (Harsanyi Doctrine)，假定各參與人類(lèi)型的分布函數(shù) P(θ1, …, θn )是共同知識(shí)。 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?更為一般地，自然在博弈的開(kāi)始選擇還可包括參與人的戰(zhàn)略空間、信息集、支付函數(shù)等。 θi)表示參與人 i的效用函數(shù)。 ?類(lèi)似的，參與人 i的支付函數(shù)也是類(lèi)型依存的（比如不同成本函數(shù)的企業(yè)利潤(rùn)各不相同。 ?比如，一個(gè)企業(yè)選擇什么價(jià)格依賴(lài)于其實(shí)力；一個(gè)人能干什么事情依賴(lài)于其能力，等等。 ?海薩尼通過(guò)引入虛擬的參與人 —— ”自然” (Nature)，將不完全信息博弈轉(zhuǎn)換為完全但不完美信息的博弈，從而可用完全信息博弈論進(jìn)行處理，這就是著名的“海薩尼轉(zhuǎn)換” (Harsanyi Transformation) 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?圖 ，經(jīng)過(guò)海薩尼轉(zhuǎn)換后，得到的博弈樹(shù)。 ?一般地，如果在位者有 T種可能的不同成本函數(shù)，進(jìn)入者似乎是在與 T個(gè)不同在位者博弈。 ?進(jìn)入者進(jìn)入的期望支付是 p(40)+(1p)(10) ?進(jìn)入者不進(jìn)入的期望支付是 0 ?比較上面兩個(gè)表達(dá)式，可知進(jìn)入者的最優(yōu)選擇為 ?如果 p≥1/5，進(jìn)入；如果 p1/5，不進(jìn)入。 表 31 市場(chǎng)進(jìn)入博弈：不完全信息 一個(gè)簡(jiǎn)例：市場(chǎng)進(jìn)入博弈 在位者 高成本情況 低成本情況 默許 斗爭(zhēng) 默許 斗爭(zhēng) 進(jìn)入者 進(jìn)入 不進(jìn)入 40. 50 10, 0 30, 80 10, 100 0, 300 0, 300 0, 400 0, 400 但進(jìn)入者不知道在位者究竟是高成本還是低成本，因此，進(jìn)入者的最優(yōu)選擇依賴(lài)于他對(duì)在位者成本的信念。 一個(gè)簡(jiǎn)例：市場(chǎng)進(jìn)入博弈 表 31 市場(chǎng)進(jìn)入博弈：不完全信息 在位者 高成本情況 低成本情況 默許 斗爭(zhēng) 默許 斗爭(zhēng) 進(jìn)入者 進(jìn)入 不進(jìn)入 40. 50 10, 0 30, 80 10, 100 0, 300 0, 300 0, 400 0, 400 如果在位者是高成本 一個(gè)簡(jiǎn)例：市場(chǎng)進(jìn)入博弈 在位者 高成本情況 低成本情況 默許 斗爭(zhēng) 默許 斗爭(zhēng) 進(jìn)入者 進(jìn)入 不進(jìn)入 40. 50 10, 0 30, 80 10, 100 0, 300 0, 300 0, 400 0, 400 進(jìn)入者最優(yōu)行為是進(jìn)入，在位者最優(yōu)行為是默許。 ?假定在位者有兩種可能成本函數(shù)：高成本和低成本。不完全信息靜態(tài)博弈 STATIC GAME OF INCOMPLETE INFORMATION ——摘自 《 莊子 》 子非魚(yú) , 安知魚(yú)之樂(lè)？ 子非我 , 安知我不知魚(yú)之樂(lè)？ 不完全信息 ?在前面的分析中，我們假定支付函數(shù)是所有參與人的共同知識(shí) (Common Knowledge) ?如果在博弈中至少有一個(gè)參與人不知道其他參與人的支付函數(shù)，則稱(chēng)該博弈為不完全信息博弈。 不完全信息