【正文】 ( s) = 2 + ? 2 s +1 s + 3 2 5 ∴ F ( s) ? 2δ (t ) + (3e ? e 2 t 3 ? t 2 )ε ( t ) 90 （5）拉氏變換發(fā)求解微分方程算例 例27 在上例中，若已知L＝1H，C＝1F，R＝lΩ，且 在上例中，若已知L 1H， 1F， lΩ， 電容上初始電壓u (0)=，初始電流i(0)= i(0)=， 電容上初始電壓uo(0)=，初始電流i(0)=，電源電 1V。 ( 0 ) L? ? = s F (s) ? s n ? dt ? ? ? ? ? ? ? ? ? sf ( n ? 2 ) ( 0 ) ? f ( n ? 1 ) ( 0 ) 證明： 證明： d f (t ) ]= L [ dt ∫0 ∞ = e st ∞ f (t) ? ? 0 d f (t ) ? st e dt dt ∫ ∞ 0 ( ? s )e ? st f ( t ) dt ? = sF ( s ) ? f ( 0 ? ) 同理可得 d f 2 (t ) ]= L [ 2 dt ∫0 ∞ d f 2 ( t ) ? st e dt 2 dt d df ( t ) ? st [ ]e dt = ∫ ? 0 dt dt df ( t ) ? = s [ sF ( s ) ? f ( 0 )] ? dt t = 0 ? ∞ 依此類推,可得 依此類推 可得 ′( 0 ? ) = s F ( s ) ? sf ( 0 ) ? f 2 ? d n f (t ) ] = s n F ( s ) ? s n ?1 f (0? ) ? L ? f ( n ?1) (0? ) L[ dt n 為有始函數(shù),則 若f(t)為有始函數(shù) 則 為有始函數(shù) df (t )ε (t ) f (t ) = f (t )ε (t ), L [ ] = sF ( s ) dt 81 當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都為零時(shí)： 及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都為零時(shí)： d f (t ) ? n L? ? = s F (s) ? dt ? n 5 、時(shí)域積分 設(shè) L [ f (t )] = F ( s ), 則 ∫0 t F (s) f (λ )d λ ? s 證明： 證明：由定義 L [∫ t 0? f (λ )d λ ] = ∫0 ∞ [∫ ? t 0? f ( λ ) d λ ]e ? s t d t ∞ 0? e ? st =[ s F (s) = s ∫ t 0? ∞ 1 f ( λ )dλ ? + s 0 ∫ f ( t ) e ? st dt ] 83 所以 L [∫ t ?∞ f (λ )d λ ] = f 1 (0 ? ) F (s) + s s t 1 如已知 ε ( t ) ? ，而 tε ( t ) = ∫ ? ε ( λ ) d λ 0 s 1 1 1 (t 所以 tε (t ) ? ( ) = 2 s s s 84 ⑷ 拉氏反變換 1 σ + j∞ f (t ) = F ( s )e st ds ( s = σ + jω , t 0) 拉氏反演積 定義： 定義： 2πj ∫σ ? j∞ 分 求拉氏逆變換的方法 在實(shí)際使用時(shí)，采用部分分式展開(kāi)法， 在實(shí)際使用時(shí)，采用部分分式展開(kāi)法，即將復(fù) 雜函數(shù)展開(kāi)成簡(jiǎn)單函數(shù)的和 F 當(dāng)： ( s) = F1 ( s) + F2 ( s ) + ? ? ? ? ? ? + Fn ( s ) 時(shí) L?1[F ( s )] = L?1 F1 ( s ) + L?1 F2 ( s ) + ? ? ? ? ? ? + L?1 Fn ( s ) = f1 (t ) + f 2 (t ) + ? ? ? ? ? ? + f n (t ) 1 其中： f i (t ) = L [Fi ( s )] 其中： [ ] [ ] [ ] 可查表。 βF2 (t )] = αf1 ( s ) 177。 βf 2 (t )] = αF1 ( s ) 177。 拉氏變換對(duì)。 原函數(shù)。 數(shù)和簡(jiǎn)化微分方程的求解。 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。對(duì)于后者的要求，顯然用微分方程去描述難以實(shí) 關(guān)系。 作量大大增加。 信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。通過(guò)對(duì)它求解， 數(shù)學(xué)模型。 數(shù)，而恒值控制系統(tǒng)也可視為程序控制系統(tǒng)的特例。 火炮系統(tǒng)，衛(wèi)星控制系統(tǒng)等。例如， 析、設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是研究被控量跟隨的快速性和準(zhǔn)確性。 統(tǒng)要求輸出量以盡可能小的誤差跟隨輸入信號(hào)的變化。系 輸入信號(hào)是時(shí)間的任意函數(shù)，其變化規(guī)律事先不知道。 舵儀、冶金部門(mén)的恒溫系統(tǒng)等。 當(dāng)外界有擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)要求被控量保持為一個(gè)恒定的希望值。(t ) + y(t ) y(t ) + y2 (t ) = r(t ) amp。 三、非線性控制系統(tǒng) 系統(tǒng)中只要有一個(gè)元部件的輸入輸出特性是非線性的, 系統(tǒng)中只要有一個(gè)元部件的輸入輸出特性是非線性的, ,要用非線性微分(或差分) ,要用非線性微分(或差分) 方程來(lái)描述其特性. 方程來(lái)描述其特性. 非線性方程的特點(diǎn)是系數(shù)與變量有關(guān) 或者方程中含有變 非線性方程的特點(diǎn)是系數(shù)與變量有關(guān),或者方程中含有變 系數(shù)與變量有關(guān), 量及其導(dǎo)數(shù)的高次冪或乘積項(xiàng), 量及其導(dǎo)數(shù)的高次冪或乘積項(xiàng),例如 amp。 離散系統(tǒng)一般要用差分方程來(lái)描述. 式為 a0c( k + n ) + a1c( k + n ? 1) + L + an ?1c( k + 1) + an c( k ) = b0 r ( k + m) + b1r ( k + m ? 1) + L + bm ?1r ( k + 1) + bm r (k ) 式中, 式中, m≤n, n為差分方程的次數(shù),a0,a1,…,an；b0,b1,…,bm 為差分方程的次數(shù), 為常系數(shù), 分別為輸入和輸出采樣序列. 為常系數(shù),r(k),c(k)分別為輸入和輸出采樣序列. 工業(yè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)就是典型的離散系統(tǒng)，如前述的爐 工業(yè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)就是典型的離散系統(tǒng)， 溫微機(jī)控制系統(tǒng)等。系數(shù)a0,a1,…,an； 時(shí)變系統(tǒng). 隨時(shí)間t變化時(shí),稱為時(shí)變系統(tǒng) b0,b1,…,bm隨時(shí)間t變化時(shí),稱為時(shí)變系統(tǒng). 2. 線性定常離散系統(tǒng) 離散系統(tǒng)指系統(tǒng)的某處或多處的信號(hào)為脈沖序列或數(shù)碼形 離散系統(tǒng)指系統(tǒng)的某處或多處的信號(hào)為脈沖序列或數(shù)碼形 因而信號(hào)在時(shí)間上是離散的，連續(xù)信號(hào)經(jīng)采樣 采樣轉(zhuǎn)換成離散 式,因而信號(hào)在時(shí)間上是離散的，連續(xù)信號(hào)經(jīng)采樣轉(zhuǎn)換成離散 信號(hào)。 1. 線性連續(xù)控制系統(tǒng) 這類系統(tǒng)可以用線性微分方程式描述, 這類系統(tǒng)可以用線性微分方程式描述,其一般形式為 dn d n ?1 d a0 n c(t ) + a1 n ?1 c(t ) + L + an ?1 c(t ) + an c(t ) dt dt dt dm d m ?1 d = b0 m r (t ) + b1 m ?1 r (t ) + L + bm ?1 r (t ) + bm r (t ) dt dt dt 式中, 式中,c(t)是被控量,r(t),a1,…,an； 是被控量, 是輸入量. 定常系統(tǒng)。 線性系統(tǒng)具有齊次性和使用疊加原理。在條件許可的條件下，應(yīng)該同時(shí)用試驗(yàn)法 和分析法建模， 和分析法建模，以互相補(bǔ)充 第三節(jié)自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類 一、控制系統(tǒng)的分類 開(kāi)環(huán)控制 反饋控制 復(fù)合控制 機(jī)械系統(tǒng) 電氣系統(tǒng) 機(jī)電系統(tǒng) 液壓系統(tǒng) 氣動(dòng)系統(tǒng) 生物系統(tǒng) 閉環(huán)控制 溫度控制系統(tǒng) 壓力控制系統(tǒng) 張力控制系統(tǒng) 線性控制系統(tǒng) 非線性控制系統(tǒng) 恒值控制系統(tǒng) 隨動(dòng)系統(tǒng) 程序控制系統(tǒng) 律主要可分為 二、線性控制系統(tǒng) 線性控制系統(tǒng)：組成控制系統(tǒng)的元件都具有線性特性。 由于分析法 由于分析法可以彌補(bǔ)試驗(yàn)法所得的模型在反映內(nèi)在機(jī)理 分析法可以彌補(bǔ)試驗(yàn)法所得的模型在反映內(nèi)在機(jī)理 方面的不足。 而試驗(yàn)法所得到的模型只反映輸入輸出之間的特性，對(duì) 試驗(yàn)法所得到的模型只反映輸入輸出之間的特性 所得到的模型只反映輸入輸出之間的特性， 系統(tǒng)的內(nèi)在信息反映不出來(lái)。這種情況下機(jī)理模型事實(shí) 上很難推導(dǎo)出來(lái)，只能采用試驗(yàn)法加以確定。 有些復(fù)雜對(duì)象，人們對(duì)其規(guī)律的認(rèn)識(shí)還很不清楚，或者其 有些復(fù)雜對(duì)象，人們對(duì)其規(guī)律的認(rèn)識(shí)還很不清楚， 中重要的參數(shù)不能準(zhǔn)確的確定。 一般應(yīng)將微分方程寫(xiě)為標(biāo)準(zhǔn)形式，即與輸入量有關(guān) 一般應(yīng)將微分方程寫(xiě)為標(biāo)準(zhǔn)形式， 的項(xiàng)寫(xiě)在方程的右端， 的項(xiàng)寫(xiě)在方程的右端，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在方程的 左端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。 綜上所述，列寫(xiě)元件微分方程的步驟可歸納如下： 綜上所述，列寫(xiě)元件微分方程的步驟可歸納如下： 根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確 根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用， 定其輸入量和輸出量； 定其輸入量和輸出量； 分析元件工作中所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律，列寫(xiě)相 分析元件工作中所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律， 應(yīng)的微分方程； 應(yīng)的微分方程； 消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微 消去中間變量， 分方程，便是元件時(shí)域的數(shù)學(xué)模型。 (2) 為控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ). 為控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ). (3) 二階系統(tǒng)是一個(gè)十分典型的、有代表性的系統(tǒng). 二階系統(tǒng)是一個(gè)十分典型的、有代表性的系統(tǒng). 有上面兩個(gè)例子可以看出，用分析法建立數(shù)學(xué)模型時(shí)， 有上面兩個(gè)例子可以看出，用分析法建立數(shù)學(xué)模型時(shí)， 對(duì)于對(duì)象中所出現(xiàn)的物理過(guò)程或化學(xué)過(guò)程， 對(duì)于對(duì)象中所出現(xiàn)的物理過(guò)程或化學(xué)過(guò)程，需要十分詳 盡的了解，所得到的數(shù)學(xué)模型稱為機(jī)理模型 機(jī)理模型。 前述的RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)和彈簧 質(zhì)量無(wú)源網(wǎng)絡(luò)和彈簧前述的RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)和彈簧質(zhì)量阻尼器機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué) 模型均是二階微分方程，我們稱之為相似系統(tǒng) 相似系統(tǒng). 模型均是二階微分方程，我們稱之為相似系統(tǒng). 相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的本質(zhì)相似關(guān)系，利用 相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的本質(zhì)相似關(guān)系， 它可以 (1) 用一個(gè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)去研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)。 比較上面兩個(gè)微分方程 d 2uo (t ) du (t ) LC + RC o + uo (t ) = ui (t ) dt 2 dt d 2 x(t ) dx(t ) +f + Kx(t ) = F (t ) m 2 dt dt 物理結(jié)構(gòu)不同的元件或系統(tǒng),可以具有相同形式的數(shù)學(xué)模型。 F2 (t ) = Kx (t ) ——彈簧剛度 K——彈簧剛度 d 2 x(t ) F (t ) ? F1 (t ) ? F2 (t ) = m dt 2 dx (t ) F1 (t ) = f dt F2 (t ) = Kx (t ) F(t) F2(t) F(t) m f a) 圖22 x(t) K m x(t) F1(t) 聯(lián)立以上三式并整理得： 聯(lián)立以上三式并整理得： d 2 x (t ) dx (t ) m +f + Kx(t ) = F (t ) 2 dt dt b) 機(jī)械位移系統(tǒng) 假定m 假定m、k、f均為常數(shù)，上式就是二階常系數(shù)線性微分方程。其大小與運(yùn)動(dòng)速度成正比，方向與運(yùn)動(dòng)方 向相反， 向相反，阻尼系數(shù)為f，即： F1 (t ) = f dx (t ) dt F2 (t ) ——彈簧力。 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有： 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有： d 2 x (t ) F (t ) ? F1 (t ) ? F2 (t ) = m dt 2 F(t) F2(t) F(t) m f a) 圖22 x(t) K m x(t) F1(t) b) 機(jī)械位移系統(tǒng) 式中: 式中: ——阻尼器阻力 其大小與運(yùn)動(dòng)速度成正比， 阻尼器阻力。 之間的關(guān)系。 質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)。 兩端電壓 uc 的變化規(guī)律。 方程,也就是上圖無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型。 識(shí)法。這種方法也稱為系統(tǒng)辨 并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。 實(shí)驗(yàn)法是是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的。 量，從而求得系統(tǒng)輸入和輸出的數(shù)學(xué)關(guān)系式。 寫(xiě)每一個(gè)元件的輸入－輸出關(guān)系式。 內(nèi)部特性。 在現(xiàn)代控制理論中，采用的是狀態(tài)空間表達(dá)式。 描述了系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系。這種模型主要 結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖等均可由方程導(dǎo)出。 數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 其引起的誤差同樣靠閉環(huán)負(fù)反饋進(jìn)行抑制。系統(tǒng)對(duì)谷物流量變化這個(gè)干擾未加測(cè)量， 也影響輸出谷物的濕度。在加水量相同的情況下，谷物流量的大小 能由閉環(huán)負(fù)反饋進(jìn)行抑制。 在閥門(mén)開(kāi)度相同的情況下，水源水壓的高低影響進(jìn)水量的多少。 時(shí)，這個(gè)干擾必須是能夠測(cè)量的。 統(tǒng)的精度，減輕了閉環(huán)控制回路的負(fù)擔(dān)。這是通過(guò)開(kāi)環(huán)控制的方式進(jìn)行補(bǔ)償。這是通過(guò)開(kāi)環(huán)控制的方式進(jìn)行補(bǔ)償。這個(gè)信號(hào)由 入口處的濕度測(cè)量裝置測(cè)量的是加水前谷物的濕度。 起的偏差都可由閉環(huán)負(fù)反饋得到抑制。這是通過(guò)閉環(huán)負(fù)反饋減少偏差的過(guò)程， 向變化。若輸出谷物的濕度與設(shè)在調(diào)節(jié)器中 將這個(gè)信號(hào)反饋到調(diào)節(jié)器。 所示。系統(tǒng)的方框圖如下圖 量包括輸入谷物的濕度、谷物流量和水源水壓。 試畫(huà)出系統(tǒng)方塊圖。 度以及水壓都是對(duì)谷物濕度控制的擾動(dòng)作用。加水過(guò)程中，谷物流量、