【正文】 16 個． 又滿足條件 n ≥ m ＋ 2 的事件有： (1,3) ， ( 1,4) ， (2 ,4) ， 共 3 個． 所以滿足條件 n ≥ m ＋ 2 的事件的概率為 P1＝316. 故滿足條件 n m ＋ 2 的事件的概率為 1 － P1＝ 1 －316＝1316. 考題分析 本題考查了古典概型、對立事件、概率間的關(guān)系．重點是計算 基本事件總數(shù)，可用 列舉法完成．考查考生運用基礎(chǔ)知識、基本方法解決問題的能力． 易錯提醒 ( 1) 第 ( 1) 問的基本事件是取兩個球．取到1 號球和 2 號球為一個基本事件，考生誤以為取到 1號球和 2 號球與取到 2 號球和 1 號球為兩個基本事件． ( 2) 第 ( 2 ) 問的基本事件是數(shù)對 ( m ， n ) ．?dāng)?shù)對中的數(shù)是有序的．故 ( 1,2) 和 ( 2,1) 是兩個不同的基本事件． ( 3) 事件 n ≥ m ＋ 2 與 n m ＋ 2 是對立事件．考生易錯為：n m ＋ 2 與 n m ＋ 2 為對立事件． 主干知識梳理 1 ．隨機(jī)事件 ( 1) 必然事件； ( 2) 不可能事件； ( 3) 隨機(jī)事件． 2 ．頻率與概率的關(guān)系 概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值． 3 ．概率的基本性質(zhì) ( 1) 隨機(jī)事件 A 的概率： 0 ≤ P ( A ) ≤ 1. ( 2) 必然事件的概率為 1. ( 3) 不可能事件的概率為 0. ( 4) 如果事件 A 與事件 B 互斥，則 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ． ( 5) 如果事件 A 與事件 B 互為對立事件，那么 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 1 ，即 P ( A ) ＝ 1 － P ( B ) ． 4 ．古典概型 ( 1) 特點：有限性，等可能性． ( 2) 概率公式： P ( A ) ＝A 中所含的基本事件數(shù)基本事件總數(shù). 5 ．幾何概型 ( 1) 特點：無限性，等可能性． ( 2) 概率公式： P ( A ) ＝構(gòu)成事件 A 的區(qū)域長度 ? 面積或體積 ?試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 ? 面積或體積 ?. 熱點分類突破 題型一 古典概型的概率問題 例 1 袋中裝有 6 個球，其中 4 個白球， 2 個紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率： ( 1) A ：取出的 2 球都是白球； ( 2) B ：取出的 2 球， 1 個是白球，另 1 個是紅球． 思維啟迪 要先計算出從 6 個球中任取 2 個球的基本事件總數(shù)，可以用列舉法． 解 設(shè) 4 個白球的編號為 1 、 2 、 3 、 4,2 個紅球的編號為 5 、 6. 從袋中的 6 個小球中任取 2 個的方法為( 1,2) ， ( 1,3) ， ( 1,4) ， ( 1, 5) ， ( 1,6) ， ( 2,3) ， ( 2,4) ， ( 2,5) ，( 2,6) ， ( 3,4) ， ( 3,5) ， ( 3,6 ) ， ( 4,5) ， ( 4,6) ， ( 5,6) 共 15 個． ( 1) 從袋中的 6 個球中任取 2 個，所取的 2 球全是白球的總數(shù)，即是從 4 個白球中任取 2 個的方法總數(shù)，共有 6 個，即為 ( 1,2) ， ( 1,3) ， ( 1, 4) ， ( 2,3) ， ( 2,4) ， ( 3,4) ． ∴ 取出的兩個球全是白球的概率為 P ( A ) ＝615＝25. ( 2) 從袋中的 6 個球中任取 2 個，其中 1 個為白球，而另 1 個為紅球，其取法包括 ( 1,5) ， ( 1,6) ， ( 2,5) ， ( 2,6) ，( 3,5) ， ( 3,6) ， ( 4,5 ) ， ( 4, 6) 共 8 個． ∴ 取出的 2 個球 1 個是白球，另 1 個是紅球的概率為 P ( B ) ＝815. 探究提高 在古典概型條件下，當(dāng)基本事件總數(shù)為 n時，每一個基本事件發(fā)生的概率均為1n，要求事件 A的概率，關(guān)鍵是求出基本事件總數(shù) n 和事件 A 中所含基本事件數(shù) m ，再由古典概型概率公式 P ( A ) ＝mn求出事件 A 的概率． 變式訓(xùn)練 1 袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個，現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取 3 次，每次摸取一個球． ( 1) 試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果； ( 2) 若摸到紅球時得 2 分，摸到黑球時得 1 分，求 3次摸球所得總分為 5 的概率． 解 ( 1) 一共有 8 種不同的結(jié)果，列舉如下： ( 紅，紅，紅 ) 、 ( 紅，紅，黑 ) 、 ( 紅，黑 ，紅 ) 、 ( 紅，黑，黑 ) ， ( 黑，紅，紅 ) 、 ( 黑，紅，黑 ) ， ( 黑，黑，紅 ) ， ( 黑，黑，黑 ) ． ( 2) 記 “ 3 次摸球所得總分為 5 ” 為事件 A . 事件 A 包含的基本事件為： ( 紅，紅，黑 ) 、 ( 紅，黑，紅 ) 、 ( 黑，紅，紅 ) ，事件 A 包含的基本事件數(shù)為 3. 由 ( 1) 可知，基本事件總數(shù)為 8 ，所以事件 A 的概率為P ( A ) ＝38. 題型二 幾何概型的概率問題 例 2 在平面直角坐標(biāo)系 x O y 中，設(shè) D 是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于 2 的點構(gòu)成的區(qū)域， E 是到原點的距離不大于 1 的點構(gòu)成的區(qū)域，向 D 中隨機(jī)投一點，則落入 E 中的概率為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 思維啟迪 本題是幾何概型求概率問題，可以先計算出試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積和所求事件構(gòu)成的區(qū)域面積，然后根據(jù)幾何概型的概率公式求解 ． 解析 如圖所示，區(qū)域 D 表示邊長為 4 的正方形的內(nèi)部( 含邊界 ) ，區(qū)域 E 表示單位圓及其內(nèi)部，因此 P ＝π 124 4＝π16. 答案 π16 探究提高 ( 1 ) 當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解； ( 2 ) 利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域． 變式訓(xùn)練 2 ( 2022 本專題的目的就是指導(dǎo)和幫助考生在有限的時間內(nèi)以最高的效率復(fù)習(xí)，使考生在數(shù)學(xué)能力上有較大提升，在高考成績上有較大突破。專題三 專題三 數(shù)列、推理與證明 專題內(nèi)容反映了作者近年來高考輔導(dǎo)的成功經(jīng)驗和高考命題研究的最新成果，具有把握高考脈搏準(zhǔn)確、信息及時全面、材料新穎、方法靈活、講解透徹、點拔到位、注重分析、注重提高的特點。專題以提高能力和提高成績?yōu)橹笇?dǎo)思想，一方面，立足基礎(chǔ)，突出重點主干知識，注重分析，即在分析解題過程中，揭示題目的本質(zhì)結(jié)構(gòu)、解析難點、點撥疑點、舉一反三、提升能力；另一方面，明確、細(xì)化、歸納高考知識點，分析命題趨勢，有的放矢，提高成績。 一、感悟高考 明確考向 二、主干知識梳理 三、熱點分類突破（探究提高、變式訓(xùn)練、題型類型、規(guī)律方法總結(jié)） 四、知能提升演練 本專題由共四大板塊構(gòu)成 專題六 概率與統(tǒng)計 第 1 講 概 率 感 悟 高 考 明 確 考 向 ( 2022 遼寧 ) AB CD 為長方形， AB ＝ 2 ， BC＝ 1 ， O 為 AB 的中點，在長方形 AB CD 內(nèi)隨機(jī)取一點，取到的點到 O 的距離大于 1 的概率為 ( ) A.π4 B ． 1 －π4 C.π8 D ． 1 －π8 解析 如圖，要使圖中點到 O 的距離 大于 1 ，則該點需取在圖中陰影部分， 故概率為 P ＝2 －π22＝ 1 －π4. B 題型三 互斥事件、對立事件的概率問題 例 3 據(jù)統(tǒng)計，某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)是 0,1,2 的概率分別為 , ，則該企業(yè)在一個月內(nèi)共被消費者 投訴不超過 1 次的概率為________ ． 解析 設(shè)事件 A 表示 “ 一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0 ” ， B 表示 “ 一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)為 1 ” ，則 “ 該企業(yè)在一個月內(nèi)共被消費者投訴不超過 1 次 ” 的事件為 A ＋ B . 又事件 A 與 B 為互斥事件，所以 P ( A ＋ B )＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ ＋ 0. 5 ＝ . 探究提高 求解互斥事件、對立事件的概率問題時，一要先利用條件判斷所給的事件是互斥事件，還是對立事件；二要將所求事件的概率轉(zhuǎn)化為互斥事件、對立事件的概率；三要準(zhǔn)確利用互斥事件、對立事件的概率公式去計算所求事件的概率． 變式訓(xùn)練 3 袋中有質(zhì)地、大小完全相同的 5 個球，編號分別為 1,2,3,4,5 ，甲、乙兩人玩一種游戲： 甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏． (1) 求甲贏且編號的和為 6 的事件發(fā)生的概率； (2) 這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由． 解 (1) 設(shè) “ 甲贏且兩編號之和為 6 ” 為事件 A ，事件 A包含的基本事件為 (1,5) ， (2,4) ， (3,3) ， (4,2) ， (5 ,1) ，共5 個． 又甲、乙兩人取出的編號共有 5 5 ＝ 25( 個 ) 等可能的結(jié)果，所以 P ( A ) ＝525＝15. 所以甲贏且編號的和為 6 的概率為15. ( 2) 這種游戲規(guī)則不公平． 設(shè) “ 甲贏 ” 為事件 B ， “ 乙贏 ” 為 事件 C ，則甲贏即兩編號之和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)為 13 個： ( 1,1) ， ( 1,3) ， ( 1,5) ， ( 2, 2) ， ( 2,4) ， ( 3,1) ， ( 3,3) ， ( 3,5) ，( 4,2) ， ( 4,4) ， ( 5,1 ) ， ( 5, 3) ， ( 5,5) ． 所以甲贏的概率 P ( B ) ＝1325，從而乙贏的概率 P ( C ) ＝ 1－1