【正文】 ?直觀地看，這些假定的作用是便于分離回歸模型中每個因素的單獨影響，在回歸分析的參數(shù)估計和統(tǒng)計檢驗理論中，許多結論都以這些假定作為基礎，換句話說，這些假定的成立與否將直接影響回歸分析中統(tǒng)計推斷的結論。正是這個中心極限定理為的正態(tài)性假定提供了理論依據(jù)，故正態(tài)性假定通常也不作檢驗。 ?擾動項代表大量未明確引入回歸模型的獨立變量（對于被解釋變量）的聯(lián)合影響，但這些被略去的變量所產(chǎn)生的影響都較小， 有的可以度量，有的不可度量，可看作隨機因素 。 0)]()][([),( ???? jjiiii XEXuEuEuXC o v： ui～ N(0， ) ?即假定 ui服從均值為零 、 方差為 的正態(tài)分布 ， 假設 5也表明被解釋變量 Yi服從均值為 、 方差為 的正態(tài)分布 ， 即 : Yi～N( ， ) . ?如果只利用最小二乘法進行參數(shù)估計 ,不需要誤差項 ui服從正態(tài)分布這個假定條件 ,如果要進行 假設檢驗 和預測 ， 就必須知道總體 Yi的分布情況 ， 如果 Xi為非隨機變量 ,總體 Yi與誤差項 ui之間僅有均值 E(Yi) 的差別 。 4． u與解釋變量無關 ?此假定表示擾動項與解釋變量不相關，即 Xi項與 ui項不趨向于共同變化，各自分別獨立對 Yi產(chǎn)生影響。 0)]() ] [([),( ???? jjiiji uEuuEuEuuC o v)( )()()( jiuEuEuuE jiji ??0)()()())()()()(()]()][([),(??????????jijijiijjijijjiijiuEuEuuEuEuEuEuuEuuuEuEuuEuEuuC o v 該假定同時表明，被解釋變量 Yi的序列值 Y1， Y2,… ， Yn之間也是互不相關的。 3． u的協(xié)方差等于零 （ COV(ui,uj)=0 （ i≠j）） ?即隨機誤差項之間是互不相關，互不影響的。且方差都等于某個常數(shù) ， 如圖 。 在此假定下 ， 才有： ?E(Yi/Xi)=E[E(Yi/Xi)]+E(ui/Xi)=E(Yi/Xi)+ E(ui/ Xi)=E(Yi/ Xi)= ?顯然，這里暗含著的假定條件，也就是假定總體回歸直線通過 X與 Y的條件均值組成的點。隨機擾動項是總體的殘差。即 （ 219） ? 是 的二次函數(shù)并且是非負的，連續(xù)可微的，所以存在極小值； ?根據(jù)微分學分別對 求一階偏導數(shù)，并令其等于零，就可以得到求 的正規(guī)方程 ? ? ? ?????? 2102102 )??(m i n)??(m i nm i n iiiii XYXYe ?????????????? ????????? ??????0201210121002)X()X??Y(?e)()X??Y(?eiiiiiii??????210 ?? iiii XXYX ????? ??ii XnY ???? 10 ?? ??10 ?? ?,?10 ?? ?,?2102 )??( XYe ?? ????? 10 ?? ?,? 解方程 ?根據(jù)正規(guī)方程，可解得 ， 如下： ?稱為回歸參數(shù)的最小二乘估計式（ Ordinary Least squares Estimator）簡稱為 OLSE ?其中： n為樣本容量 ， 1??0??XYXYn ii 110 ?)(1? ??? ?????? ?222221)(?XnXYXnYXXXnYXYXnXXXnYXXYniiiiiiiiiiiiiiii?????????????????????nYYnXX ???? ,回歸系數(shù) 與相關系數(shù) r關系 ?如果用變量值 X和 Y與其平均數(shù)的離差形式表示 ,則： 1??SxSyrnXXnYYrxyryxxyxyxxxyxyxXXYYXXiiiiii?????????????????????????????2222222222221)()()())((??22 yxxysns)YY)(XX(ryx ???????? 二、擬合直線的性質 ?１．樣本回歸直線經(jīng)過樣本均值點 ?２．估計殘差的均值為零 ?３． Y的真實值和擬合值有共同的均值 ?４．估計殘差與自變量不相關 ?５．估計殘差與擬合值不相關 １．樣本回歸直線經(jīng)過樣本均值點 ?根據(jù) 正規(guī)方程 : ?兩邊同除以 n得： ?因此有： ?所以樣本回歸線 必然通過均值點（ ） ii XnY ???? 10 ?? ?? ii XnYn ????1??110 ?? XY 10 ?? ?? ??YX ,ii X??Y? 10 ?? ???????????????????????????020210100iiiiiiiiX)X??Y(?e)X??Y(?e??????２．估計殘差和為零 （ ） ?由 ?因為 ?所以 ?即： 0)??(2? )( 1002?????????iii XYe ???0)??( 10 ?????? nen XY iii ??0??? nee ii?????????????????)XeX)X??Y(e)X??Y(iiiiiiii0等價于 (0) 0 等價于 (01010?????????????????????????????020210100iiiiiiiiX)X??Y(?e)X??Y(?e??????0?e3． Y的真實值和擬合值有共同的均值 （ ） ?因為 而 ?所以 ?即 ?這說明，對 的每一個預測值都可估計出 ，由各個樣本觀測值所估計的 的均值與實際樣本觀測值 的均值 相等。 最小二乘法的數(shù)學原理 ?最好 也就是使剩余 ei（ 或殘差 ） 都很小 ， 可是 ，因為 ei有正有負 ， 簡單代數(shù)和 相互抵消 ?將所有縱向距離平方后相加 ， 即得誤差平方和 ，“ 最好 ” 直線就是使誤差平方和最小的直線? “ 擬合總誤差達到最小 ” ； 公式： ?于是可以運用微分學中求極小值的原理 ， 將求最好擬合直線問題轉換為求誤差平方和最小 。 也就是實際觀察點的 Y坐標減去根據(jù)直線方程計算出來的 Y的 擬合值 。 ?橫向距離 ——點沿 （ 平行 ） X軸方向到直線的距離 。 ? 直觀地 ,從幾何意義上講 ， 應該使樣本回歸曲線盡量靠近這些數(shù)據(jù)點 。任務 ？ ——找出一條能夠 最好地 描述 Y與 X（ 代表所有點 ） 之間的直線 。 也就是直線中的截距 β0=？ ；直線的斜率 β1=？ 解決問題的思路 ——可能性 ?由于 Y=β0+β1X+u中的截距 β０ 和斜率 β１ 不可能得到 ， 只能獲得來自于總體的樣本 ， 假設從總體中獲取了一組 （ Xi， Yi） 的樣本觀察值 （ X1， Y1） ，（ X2， Y2） ， … ， （ Xn， Yn） ； ?于是 ， 可采用不同的方法確定樣本回歸直線以擬合樣本觀察值 , 尋找變量之間直線關系的方法很多 ，比如直觀畫線法 ， 幾何劃線法 （ 兩點連線 ） ， 半數(shù)平均法等； ?那么如何從這些曲線中選擇一條最佳擬合直線 ？ 最小二乘法的思路 ?1． 為了精確地描述 Y與 X之間的關系 ， 必須使用這兩個變量的每一對觀察值 ， 才不至于以點概面 。 第二節(jié) 回歸模型的參數(shù)估計 一、普通最小二乘估計 二、擬合直線的性質 三、回歸模型的基本假定 四、 OLS估計式的特性 五、參數(shù)的估計誤差與置信區(qū)間 一 .普通最小二乘估計 （ Ordinary Least Square) 簡稱 OLS ） 問題的提出 ——必要性 ?通過 相關系數(shù) 或協(xié)方差證實變量之間存在關系 ， 僅僅只是知道變量之間線性相關的性質——正 （ 負 ） 相關和相關程度的大小 。 ?總之 ， 由于樣本對總體存在代表性誤差 ， 樣本回歸函數(shù)幾乎總是與總體回歸函數(shù)存在差異 。 ?再次 ， 總體回歸函數(shù)中的 是不可直觀測的 。 樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的區(qū)別 ?其次 ， 總體回歸函數(shù)是依據(jù)總體全體觀測資料建立的 ， 其參數(shù) 是確定的 常數(shù) 。 iii YYe ???iii eY?Y ?? iii eX??Y ??? 10 ??樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關系 ?進行回歸分析的主要目的，就是要根據(jù)樣本回歸模型作出對總體回歸模型的估計，在所舉家庭收入的例子中，也就是要用 來估計 ?更確切地，就是根據(jù)有可能獲得的樣本回歸函數(shù)對總體回歸函數(shù)做出合理的估計 ? 可是，樣本終究不等于總體，樣本回歸函數(shù) SRF幾乎 總是 和總體回歸函數(shù) PRF存在著差異，這從圖 ， iii eX??Y ??? 10 ?? iiiuXY ??? 10 ??樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的區(qū)別 ?首先 ， 總體回歸模型描述總體中變量 Y與 X之間的關系 ， 總體回歸函數(shù)雖然未知 ， 但它是確定的 (一條 )。 若是總體回歸線為 ， ?則樣本回歸線可表示為： （ 212） ?其中 是樣本回歸線上與 X相對應的值 ， 可視為總體條件均值的估計； 是樣本回歸函數(shù)的截距系數(shù) ， 是樣本回歸函數(shù)的斜率系數(shù) 。 隨機擾動項意義： （ SRF） 隨機樣本（一） 消費支出 Y(元 ) 700 650 900 950 1100 1150 1200 1400 1550 1500 可支配收入 X(元 ) 800 1000 1200 1400 1600 1800 2022 2200 2400 2600 消費支出 Y(元 ) 550 880 900 800 1180 1200 1450 1350 1450 1750 可支配收入 X(元 ) 800 1000 1200 1400 1600 1800 2022 2200 2400 2600 例圖 ?為了反映總體的變化情況 ， 我們只能由樣本 “ 信息 ” 來估計總體 ， 根據(jù)樣本資料所做出的 ， 用以估計總體回歸函數(shù)的函數(shù) ， 就稱為樣本回歸函數(shù) ，記為 SRF（ Sample Regression Function） 。 ?誤差的隨機性使得 Y與 X之間呈現(xiàn)出一種 隨機的 因果關系，由于經(jīng)濟變量之間大多數(shù)量是不確定的相關關系，因此，用這種形式描述經(jīng)濟關系更加準確。 0 1 i( / ) Xi i i i iY Y X u u??? ? ? ? ? ?0 1 i( / ) XiE Y X ?????在計量經(jīng)濟學中，可以這樣來解釋變量間聯(lián)系的真實關系，如果其他條件都保持不變，則 Y的變化完全可以由 X的變化來解釋。為了更完善地描述個別家庭消費者支出的變化情況，特引進一個變量 。 總體回歸函數(shù)具體取什么函數(shù)形式 ， 需要根據(jù)實實踐經(jīng)驗和經(jīng)濟理論來確定 ， 最簡單的是 線性 總體回歸函數(shù) 。 ?例如研究家庭消費支出對家庭可支配收入的依存關系： 例 : 60戶家庭可支配收入和消費支出情況 每月家庭消 費支出 YY 的條件均值 )|( iXYE家庭每月可支配收入 X（元） 800 1000 1200 1400 1600 1800 2022 2200 2400 2600 每 月 家 庭 消 費 支 出